Encontrar a área entre os gráficos de $2\sin x$ e $\sin 2x$, $0 \le x \le \pi$.

Encontrar a área entre os gráficos de $2\sin x$ e $\sin 2x$, $0 \le x \le \pi$.

Resolvendo a equação $2\sin x\ =\ \sin 2x$:

$2\sin x\ =\ 2(\sin x)(\cos x)$

Duas soluções são $x = 0$ e $x = \pi$. Para $x \neq 0$ e $x \neq \pi$, $\cos x\ =\ 1$, que não tem solução no universo considerado.

Logo, sendo $A$ a área procurada, $A\ =\ \left| \displaystyle\int_0^\pi [2\sin x\ - 2(\sin x)(\cos x)]\ dx \right|\ =\ 2\left| \displaystyle\int_0^\pi (\sin x)(1 - \cos x)\ dx \right|$.

Seja $u = 1 - \cos x$, $du = \sin x\ dx$.

$A = 2\left| \displaystyle\int_0^2 u\ du \right| = 2 \left| \left. \dfrac{u^2}{2} \right|_0^2 \right| = \left| \left. u^2 \right|_0^2 \right| = \fbox{$4$}$