Teorema do Valor Médio para Integrais.

Mostre que se $f:\ [a, b]\ \rightarrow\ \mathbb{R}$ é contínua, então existe $c \in [a, b]$ tal que

$\displaystyle\int_a^b f(x)\ dx = f(c)(b - a)$.

Resolução:

O Teorema do Valor Médio afirma: seja  $g$ uma função contínua em $[a, b]$ e derivável em $(a, b)$, então, existe $c \in (a, b)$ tal que

$g'(c) \cdot (b - a) = g(b) - g(a)$.

$g'(c) \cdot (b - a) = \displaystyle\int_a^b g'(x)\ dx$

Seja $f(x) = g'(x)$:

$\fbox{$\displaystyle\int_a^b f(x)\ dx = (b - a)f(c)$}$

C.Q.D.