Esboce a região finita $R$ entre os gráficos de $y = x^3$ e $y = -2x^2$.
a) Calcule a área da região $R$.
b) Determine o volume do sólido $E$ obtido com a rotação da região $R$ em torno da reta $y = 2$.
Resolução:
Inicialmente vamos encontrar as intersecções entre os gráficos.
$x^3 + 2x^2 = 0\ \Rightarrow\ \text{Os pontos são}\ (0, 0)\ \text{e}\ (-2, -8)$
A área é $\left| \displaystyle\int_{-2}^0 (x^3 + 2x^2)\ dx \right| = \left| \left. (\dfrac{x^4}{4} + \dfrac{2x^3}{3})\right|_{-2}^0 \right| = \fbox{$\dfrac{4}{3}$}$
O volume procurado é $\pi \left| \displaystyle\int_{-2}^0 [(x^3 - 2)^2 - (-2x^2 - 2)^2]\ dx \right| = \pi \left| \left. (\dfrac{x^7}{7} - x^4 + 4x - \dfrac{4x^5}{5} - \dfrac{8x^3}{3} - 4x) \right|_{-2}^0 \right| = \fbox{$\dfrac{1328\pi}{105}$}$
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