Demonstração da irracionalidade de $\sqrt{2}$.

Visando chegar a uma contradição, vamos supor que $\sqrt{2}$ seja racional, ou seja, $\sqrt{2} = \dfrac{p}{q},\ p,q \in \mathbb{Q},\ q \neq 0,\ \dfrac{p}{q}\text{ fração irredutível}$.

$2 = \dfrac{p^2}{q^2}\ \Rightarrow\ p^2 = 2q^2$ (I)

Por (I), $p$ deve ser par, logo podemos escrever, para um $s$ inteiro, $p = 2s$.

$p = 2s\ \wedge\ \text{(I)}\ \Rightarrow\ 4s^2 = 2q^2\ \Rightarrow\ 2s^2 = q^2\ \Rightarrow\ q\text{ é par.}$ (II)

(II) é um absurdo, pois, por hipótese, $\dfrac{p}{q}$ é uma fração irredutível.

Logo, $\sqrt{2}$ é irracional.