Área sob uma parábola com concavidade para baixo dadas as intersecções com $Ox$ e a ordenada do vértice.

Sejam $P(x)$ a parábola em questão, $a$ e $b$, $b > a$ as intersecções com $Ox$, e $y_V$ a ordenada do vértice de $[-x^2 + (a+b)x - ab]$, e $h$ a ordenada do vértice de $P(x)$, $h > 0$.

$P(x) = \dfrac{h}{y_V}[-x^2 + (a+b)x - ab]$, é a equação cartesiana de tal parábola.

$y_V = \dfrac{\Delta}{4} = \dfrac{(a+b)^2 - 4ab}{4}$

Logo $P(x) = \dfrac{4h}{(a+b)^2 - 4ab}[-x^2 + (a+b)x - ab]$.

Logo a área $A$ será $A = \dfrac{4h}{(a+b)^2 - 4ab} \displaystyle\int_a^b -x^2 + (a+b)x - ab\ dx = \dfrac{4h}{(a+b)^2 - 4ab} \left. [-\dfrac{x^3}{3} + \dfrac{(a+b)x^2}{2} - abx] \right|_a^b$.

$\fbox{$A = \dfrac{4h}{(a+b)^2 - 4ab}[-\dfrac{b^3}{3} + \dfrac{(a+b)b^2}{2} - ab^2 + \dfrac{a^3}{3} - \dfrac{(a+b)a^2}{2} + a^2b]$}$

Exemplo:

Sejam $a = 0$, $b = 1$, e $h = 1$:

$A = 4(-\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2}) = \dfrac{2}{3}$.