Sejam $A$, $B$ e $C$ pontos distintos do $\mathbb{R}^n$, se $B - A$ e $C - A$ são linearmente independentes, mostrar que $A$, $B$ e $C$ não são colineares.

Sejam $A$, $B$ e $C$ pontos distintos do $\mathbb{R}^n$, se $B - A$ e $C - A$ são linearmente independentes, mostrar que $A$, $B$ e $C$ não são colineares.

$a(B - A) + b(C - A) = O\ \Leftrightarrow\ a = b = 0$, $a$ e $b$ escalares.

Transladando o sistema de modo a $A$ coincidir com $O$:

$aB + bC = A\ \Leftrightarrow\ a = b = 0$

Logo tomando um escalar $k$ de modo que $a = \dfrac{1}{k}$ com $k \neq 0$ e $k \neq 1$, e $b = 0$:

$\dfrac{B}{k} \neq A\ \Rightarrow B \neq kA$    (I)

Procedendo de modo análogo para com $C$, com $k´ \neq 0$ e $k´ \neq 1$:

$\dfrac{C}{k´} \neq A\ \Rightarrow C \neq k´ A$    (II)

Tomando agora $a = 1$ e $b = \dfrac{-1}{k"}$, com $k" \neq 0$:

$C \neq k" (B - A)$    (III)

Por (I), (II) e (III), $A$, $B$ e $C$ não são colineares.

Quod Erat Demonstrandum.