$\cos (a + b) = (\cos a)(\cos b) - (\sin a)(\sin b)$
No primeiro quadrante, tomemos $a = m(D\hat{A}B)$ e $b = m(B\hat{A}C)$.
$m(\overline{AH}) = \dfrac{\cos (a + b)}{\cos a}$
$m(\overline{HG}) = (\cos b) - m(\overline{AH}) = (\cos b) - \dfrac{\cos (a + b)}{\cos a}$
$(\sin a)(\sin b) = (\cos a)(\cos b) - \cos (a + b)$
Se, como um caso particular, $a$ está no segundo quadrante, podemos fazer a redução ao primeiro quadrante:
$\cos (a + b) = \cos (\pi - a´ + b) = [(\cos (\pi - a´)](\cos b) - [(\sin (\pi - a´)](\sin b) =$
$= - (\cos a´)(\cos b) - (\sin a´)(\sin b) = (\cos a)(\cos b) - (\sin a)(\sin b)$.
Analogamente, para $a$ ou $b$ em quaisquer dos quadrantes, verificando também quando $a$ ou $b$ pertencem aos eixos, teremos que a fórmula é válida para todos os valores.
Quod Erat Demonstrandum.
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