Desigualdade de Schwarz. Demonstração alternativa.

Sejam $u$ e $v$ vetores do $\mathbb{R}^n$.

$\langle u, v\rangle \le ||u|| ||v||$.

Demonstraremos outra afirmação:

Sejam $u = (u_i)_1^n$ e $v = (v_i)_1^n$,

$\langle u, v\rangle \le \displaystyle\sum_{i=1}^n |u_i v_i| \le ||u|| ||v||$. (I)

Se $u = O$ ou $v = O$, a demonstração é imediata. Se não, tomemos $||u|| ||v|| \neq 0$.

$\langle u, v\rangle = \displaystyle\sum_{i=1}^n u_i v_i \le \left|\displaystyle\sum_{i=1}^n u_i v_i\right| \le \displaystyle\sum_{i=1}^n |u_i v_i|$. (II)

Sejam $x$ e $y$ números reais, $0 \le (x - y)^2\ \Rightarrow\ 2xy \le x^2 + y^2$.

Tomando $x = \dfrac{|u_i|}{||u||}$ e $y = \dfrac{|v_i|}{||v||}$:

$2\dfrac{|u_i v_i|}{||u|| ||v||} \le \dfrac{|u_i|^2}{||u||^2} + \dfrac{|v_i|^2}{||v||^2}\ \Rightarrow 2\displaystyle\sum_{i=1}^n \dfrac{|u_i v_i|}{||u|| ||v||} \le \displaystyle\sum_{i=1}^n \left(\dfrac{u_i^2}{||u||^2} + \dfrac{v_i^2}{||v||^2}\right) =$

$= \displaystyle\sum_{i=1}^n \dfrac{u_i^2}{||u||^2} + \displaystyle\sum_{i=1}^n \dfrac{v_i^2}{||v||^2} = \dfrac{||u||^2}{||u||^2} + \dfrac{||v||^2}{||v||^2} = 2\ \Rightarrow\ \displaystyle\sum_{i=1}^n |u_i v_i| \le ||u|| ||v||$. (III)

Por (II) e (III) obtermos (I).

Quod Erat Demonstrandum.