Seja um espaço vetorial $V$ sobre $\mathbb{R}$, e sejam $f: V \rightarrow \mathbb{R}$ e $g: V \rightarrow \mathbb{R}$ duas aplicações lineares. Mostre que $F: V \rightarrow \mathbb{R}^2$ definida por $F(v) \mapsto (f(v), g(v))$ é linear.

Seja um espaço vetorial $V$ sobre $\mathbb{R}$, e sejam $f: V \rightarrow \mathbb{R}$ e $g: V \rightarrow \mathbb{R}$ duas aplicações lineares. Mostre que $F: V \rightarrow \mathbb{R}^2$ definida por $F(v) \mapsto (f(v), g(v))$ é linear.

Seja um escalar $k$. $F(kv) = F(f(kv), g(kv)) = (kf(v), kg(v)) = k(f(v), g(v)) = kF(v)$.

Sejam $v$ e $v´$ elementos de $V$.

$ F(v + v´) = (f(v + v´), g(v + v´)) = (f(v) + f(v´), g(v) + g(v´)) =$

 

$= (f(v), g(v)) + (f(v´), g(v´)) = F(v) + F(v´)$.

Quod Erat Demonstrandum.