Seja $V$ um espaço vetorial sobre $K$, e $F: V \rightarrow W$ uma aplicação linear. Seja $U$ o subconjunto de $V$ dos elementos $u$ tais que $F(u) = O$. Mostrar que $U$ é espaço vetorial.

Seja $V$ um espaço vetorial sobre $K$, e $F: V \rightarrow W$ uma aplicação linear. Seja $U$ o subconjunto de $V$ dos elementos $u$ tais que $F(u) = O$. Mostrar que $U$ é espaço vetorial.

Basta mostrar que $U$ é subespaço de $V$. Para tanto basta mostrar que:

$\bullet$ $O$ pertence a $U$. De fato, se $F$ é linear, $F(O) = O$.

$\bullet$ Seja $k$ um escalar e $u$ um elemento de $U$, $F(ku) = kF(u) = kO = O$.

$\bullet$ Sejam $u$ e $u´$ elementos de $U$, $F(u + u´) = F(u) + F(u´) = O$.

Quod Erat Demonstrandum.