Mostrar que a série $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n\sqrt{n}}$ é convergente.

Observemos que $\dfrac{1}{n\sqrt{n}}$ é contínua, positiva, e decrescente para $n \ge 1$, logo podemos utilizar o método da integral.

$\displaystyle\int_1^\infty \dfrac{1}{n\sqrt{n}} = \displaystyle\lim_{b \rightarrow \infty} \left.\left(\dfrac{-2}{\sqrt{n}}\right)\right|_1^b = 2$

Como a integral converge, a série também converge.

Quod Erat Demonstrandum.