Seja $u$ uma solução do sistema linear $AX = B$ (*), e $w$ uma solução do sistema homogêneo associado $AX = O$ (**). Se $U$ é o conjunto solução de (*) e $W$ é o conjunto solução de (**), $U = u + W = \{u + w,\ w \in W\}$.

$A(u + w) = Au + \cancelto{O}{Aw} = B$. Logo $u + w \in U\ \Rightarrow\ u + W \subset\ U.\ \large{(I)}$

Seja $v$ uma solução de (*), $v = u + (v - u)$.

$A(v - u) = Av - Au = B - B = O$. Logo $v - u \in W\ \Rightarrow\ v \in u + W\ \Rightarrow$

$\Rightarrow\ U \subset\ u + W\ \large{(II)}$

$\large{(I)}\ \wedge\ \large{(II)}\ \Rightarrow\ U = u + W$

Quod Erat Demonstrandum.