Sabendo que $y(0) = 0$, resolver a equação diferencial $y' = y + 1$, $y$ função de $x$, $y$ no universo das funções reais.

Se $y(b) = -1$, consideremos $x \neq b$. Assim podemos fazer:

$\dfrac{y'}{y + 1} = 1$

$\displaystyle\int_a^x \dfrac{y'}{y + 1} dx = \displaystyle\int_a^x dx$

$\left.\left(\log |y + 1|\right)\right|_a^x = x - a$

$\log |y(x) + 1| - \log |y(a) + 1| = x - a$

$\log \left|\dfrac{y(x) + 1}{y(a) + 1}\right| = x - a$

$e^{x - a} = \dfrac{y(x) + 1}{y(a) + 1}$

$y(x) + 1 = e^{x - a}(y(a) + 1)$

$y(x) = e^{x - a}(y(a) + 1) - 1$

$\fbox{$y(x) = e^x - 1$}$