Suponha que $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ é contínua e $f(x) \in \mathbb{Q}$ para todo $x \in \mathbb{R}$. Prove que $f(x)$ é constante para todo $x \in \mathbb{R}$.
Resolução:
Suponhamos que $f(x)$ não seja constante, ou seja, existem $a$ e $b$ reais tais que $f(a) \neq f(b)$. Sem perda de generalidade suponhamos que $f(a) < f(b)$.
Sendo $f$ contínua, existe um real $c$ tal que $f(a) < f(c) < f(b)$ e $f(c) \in \mathbb{Q'}$, o que é um absurdo, pois, por hipótese, $f(x) \in \mathbb{Q},\ \forall x \in \mathbb{R}$, logo $f$ é constante.
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