Volume do parabolóide de revolução.

Consideremos a função $f(x) = \sqrt{x}$, cujo gráfico é um trecho de parábola.

Rotacionando seu gráfico ao redor do eixo $x$ teremos um parabolóide de revolução.

Vamos calcular seu volume.

O método mais cabível à situação é o dos discos, que diz que o volume do sólido de revolução gerado pela rotação do gráfico de uma função qualquer não negativa em torno do eixo $x$, no intervalo $[a, b]$, é dado pela fórmula:

$V\ =\ \pi\int_a^b [f(x)]^2\ dx$

Procedendo, desejando conhecer o volume até uma certa altura $h$:

$V\ =\ \pi\int_0^h x\ dx\ =\ \dfrac{\pi x^2}{2}\mid_0^h\ =\ \dfrac{\pi h^2}{2}$

Generalizando o resultado para um parabolóide qualquer, partindo-se da função $g(x) = \sqrt{\alpha x}$, chega-se à fórmula:

$\fbox{$V = \dfrac{\pi \alpha h^2}{2}$}$