Demonstração: existência de um valor que satisfaz a proposição.

Mostre que existe ao menos um $x_0 \in \mathbb{R}$ tal que $x_0 + 2\sin(x_0) = 1$.

Resolução:

Consideremos a função $f(x) = x + 2\sin(x) - 1$, observemos que ela é contínua; o que queremos provar é que $f$ tem ao menos uma raiz, ou seja, que existe um $x_0$ tal que $f(x_0) = 0$.

Observemos que $f(0) = -1 < 0$ e que $f(\dfrac{\pi}{2}) = \dfrac{\pi}{2} + 1 > 0$, logo, pelo TVI (teorema do valor intermediário), existe um $x_0 \in [0, \dfrac{\pi}{2}]$ tal que $f(x_0) = 0$.