Comprimento do gráfico de uma função polinomial.

Seja o polinômio $P(x) = \sum_{i=0}^n a_i x^i,\ a_n \neq 0$, de domínio real.

Vamos encontrar o comprimento do seu gráfico no intervalo $[a, b]$. Para tal, do Cálculo, temos a fórmula, que nos dá o comprimento de uma função $f$ diferenciável, e de derivada contínua, qualquer, no intervalo $[a, b]$:

$L(\lambda)\ =\ \int_a^b \sqrt{1 + [f'(x)]^2}\ dx$

Assim:

$L\ =\ \int_a^b \sqrt{1 + (d\dfrac{\sum_{i=0}^n a_i x^i}{dx})^2}\ dx$

$\fbox{$L\ =\ \int_a^b \sqrt{1 + (\sum_{i=0}^{n-1} (i + 1)a_{i+1} x^i)^2}\ dx$}$

Exemplo:

Seja $P(x) = x^2$ e o intervalo $[0, x_0]$:

$L\ =\ \int_0^{x_0} \sqrt{1 + (2x)^2}\ dx$

Seja $x = \dfrac{\tan \theta}{2},\ \theta \in (-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2})$, $dx\ =\ \dfrac{\sec^2 x}{2}\ d\theta$.

$L\ =\ \int_0^{\arctan 2x_0} \dfrac{\sec^3 \theta}{2}\ d\theta\ =$

$= (\dfrac{\ln |\sec \theta + \tan \theta| + (\sec \theta)(\tan \theta)}{4})\mid_0^{\arctan 2x_0}$

$L = \dfrac{\ln |\sqrt{1 + 4x_0^2} + 2x_0| + 2x_0\sqrt{1 + 4x_0^2}}{4}$

Seja, por exemplo, $x_0 = 2$:

$L = \dfrac{\ln |\sqrt{17} + 4| + 4\sqrt{17}}{4} \approx 4,6468$

Agora, por exemplo, $x_0 = 3$:

$L = \dfrac{\ln |\sqrt{37} + 6| + 6\sqrt{37}}{4} \approx 9,7471$

Abaixo, em uma tabela, mais pares de valores de $x_0$ e $L$ aproximado para $P(x) = x^2$:

Seja agora, como outro exemplo, $P(x) = x^2 - x$ e o intervalo $[0, x_0]$:

Com um pouco de trabalho ou utilizando uma calculadora ou software, pode-se chegar a:

$L = \dfrac{8x_0^3\sqrt{u} + 4x_0^2 \ln |2x_0 - 1 + \sqrt{u}|}{16x_0^2 - 16x_0 + 8} -$

$- \dfrac{12x_0^2\sqrt{u} - 4x_0 \ln |2x_0 - 1 +\sqrt{u}|}{16x_0^2 - 16x_0 + 8} +$

$+ \dfrac{8x_0\sqrt{u} + 2 \ln |2x_0 - 1| + \sqrt{u} - 2\sqrt{u}}{16x_0^2 - 16x_0 + 8} -$

$- \dfrac{\ln (\sqrt{2} - 1) - \sqrt{2}}{4}$

Com $u = 4x_0^2 - 4x_0 + 2$.

Construindo a tabela com auxílio de um software: