Calculadora: equação cartesiana de uma elipse dados os focos e a distância constante.

Entre com uma string contendo, separados por ponto e vírgula ";", primeiro: a abscissa do primeiro foco; segundo: a ordenada do primeiro foco; terceiro: a abscissa do segundo foco; quarto: a ordenada do segundo foco; e quinto: a distância soma constante de um ponto da elipse aos focos.




Equação cartesiana da elipse:

Número de galinhas e coelhos em um quintal.

Num quintal há galinhas e coelhos. Se o total de cabeças é $32$ e o total de pés é $102$, determine o número de galinhas.

 

Sejam $g$ o número de galinhas e $c$ o número de coelhos.

$\begin{cases}g + c = 32\\ 2g + 4c = 102\end{cases}\ \Rightarrow\ 2c = 38\ \Rightarrow\ \fbox{$g = 13$}$

Discutir a equação em $x$, $m^2 x + 1 = x + m$, de acordo com o parâmetro real $m$.

$x(m + 1)(m - 1) = m - 1$

Para $m = 1$, $S = \mathbb{R}$.

Para $m = -1$, $S = \varnothing$.

Para $m \neq 1\ \wedge\ m \neq - 1$, $S = \left\{\dfrac{1}{m + 1}\right\}$.

Meme: eu sou a Matemática, precisa me amar.

 

Quantos divisores positivos possui o inteiro $300$?

Vamos decompor $300$ em fatores primos.

$\begin{array}{r | l}300 & 2\\ 150 & 2\\ 75 & 3\\ 25 & 5\\ 5 & 5\\ 1 & \overline{2^2 \cdot 3 \cdot 5^2}\end{array}$

Após a decomposição em fatores primos, o número de divisores positivos será o produto dos expoentes somados com uma unidade.

$n\left[D_+ (300)\right] = 3 \cdot 2 \cdot 3 = \fbox{$18$}$

Qual o algarismo das unidades de $3^{1999}$?

Observemos que

$\begin{array}{l c l c l}3^0 = 1 & & 3^1 = 3 & & 3^2 = 9\\ 3^3 = 27 & & 3^4 = 81 & & 3^5 = 243\end{array}$

O algarismo das unidades assume ciclicamente os valores de $1$, $3$, $9$ e $7$. Assim, como $1999 = 4 \cdot 499 + 3$, o algarismo das unidades de $3^{1999}$ é $\fbox{$7$}$.

M.m.c, m.d.c e produtos de dois números.

Dados os números $N_1 = 2^a \cdot 3^b \cdot 5^c$ e $N_2 = 2^{a+1} \cdot 3^{b+1} \cdot 5^c$, determinar

$\begin{array}{l l}\text{a)} & m.m.c. (N_1, N_2)\text{;}\\ \text{b)} & m.d.c. (N_1, N_2)\text{;}\\ \text{c)} & N_1 \cdot N_2\text{;}\\ \text{d)} & m.m.c. (N_1, N_2) \cdot m.d.c. (N_1, N_2)\text{.}\end{array}$

Resolução:

a) $m.m.c. (N_1, N_2) = 2^{a+1} \cdot 3^{b+1} \cdot 5^c$

b) $m.d.c. (N_1, N_2) = 2^a \cdot 3^b$

c) $N_1 \cdot N_2 = 2^{2a+1} \cdot 3^{2b+1} \cdot 5^c$

d) $m.m.c. (N_1, N_2) \cdot m.d.c. (N_1, N_2) = 2^{2a+1} \cdot 3^{2b+1} \cdot 5^c = N_1 \cdot N_2$

O número $7941063852325$ é quadrado perfeito?

Como termina em $25$, pode ser somente um quadrado perfeito de um número que termina em $5$; devemos verificar se as centenas formam um número que é produto de dois inteiros consecutivos.

Como as centenas formam um número ímpar, ele não pode ser um quadrado perfeito.

Se $2^x + 2^{-x} = n$, encontrar, em função de $n$, $16^x + 16^{-x}$.

$2^x + 2^{-x} = n\ \Rightarrow\ 4^x + 4^{-x} = n^2 - 2\ \Rightarrow$

 

$\Rightarrow\ 16^x + 16^{-x} = (n^2 - 2)^2 - 2 = \fbox{$n^4 - 4n^2 + 2$}$

Racionalizar o denominador de $\dfrac{2}{\sqrt{3} + 1 + \sqrt{2}}$.

$\dfrac{2}{\sqrt{3} + 1 + \sqrt{2}} = \dfrac{2[(\sqrt{3} + 1) - \sqrt{2}]}{[(\sqrt{3} + 1) + \sqrt{2}][(\sqrt{3} + 1) - \sqrt{2}]} = \dfrac{2(\sqrt{3} + 1 - \sqrt{2})]}{2 + 2\sqrt{3}} =$

 

$= \dfrac{(\sqrt{3} + 1 - \sqrt{2})(1 - \sqrt{3})}{-2} = \fbox{$\dfrac{\sqrt{2} - \sqrt{6} + 2}{2}$}$

Racionalizar o denominador de $\dfrac{15}{\sqrt[3]{49} - 2\sqrt[3]{7} + 4}$.

$\dfrac{15}{\sqrt[3]{49} - 2\sqrt[3]{7} + 4} = \dfrac{15(\sqrt[3]{7} + 2)}{(\sqrt[3]{49} - 2\sqrt[3]{7} + 4)(\sqrt[3]{7} + 2)} =$

 

$= \dfrac{15(\sqrt[3]{7} + 2)}{7 + 8} = \fbox{$\sqrt[3]{7} + 2$}$

Um truque para encontrar quadrados de inteiros "terminados" em $5$.

Seja um inteiro positivo $n$ "terminado" em $5$, ou seja, $n = 10a + 5$, sendo $a$ o número de dezenas que compõe o número:

$n^2 = (10a + 5)^2 = 100a^2 + 100a + 25 = 100a(a + 1) + 25$.

Ou seja, para encontrar o quadrado de tal número, tal quadrado "terminará" em $25$ e, antes, será o produto de $a$ pelo seu consecutivo.

Exemplos:

$\begin{array}{l c r}15^2 = \underset{1 \cdot 2}{\underbrace{2}}25 & & 205^2 = \underset{20 \cdot 21}{\underbrace{420}}25\end{array}$

Pensamento: Amar cada detalhe da Matemática. Amar para viver...

 

Pensamento: a Matemática e o prazer de compreender Matemática.

 

Meme: benefícios de estudar logo pela manhã.

 

Meme: começou a programar.

 

Calculadora: equação cartesiana de uma parábola dados a reta geratriz e o foco.

Entre com uma string contendo, separados por ponto e vírgula ";", primeiro: o coeficiente de $x$ da equação da reta; segundo: o coeficiente de $y$ da reta; terceiro: o coeficiente independente da reta; quarto: a abscissa do foco; quinto: a ordenada do foco. A reta é da forma $ax + by + c = 0$.




Equação cartesiana da parábola:

Equação de uma parábola dadas a reta geratriz e o foco.

Por definição, uma parábola é, em um plano, o conjunto de pontos que equidistam de uma reta - chamada geratriz - e um ponto, chamado de foco.

Sejam $a_r x + b_r y + c_r = 0$ a reta geratriz e $(a, b)$ o foco:

$\dfrac{|a_r x + b_r y + c_r|}{\sqrt{a_r^2 + b_r^2}} = \sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2}$

${\scriptsize \fbox{$\left(\dfrac{b_r^2}{a_r^2 + b_r^2}\right)x^2 + \left(\dfrac{a_r^2}{a_r^2 + b_r^2}\right)y^2 - \left(\dfrac{2a_r b_r}{a_r^2 + b_r^2}\right)xy - \left[\dfrac{2a_r c_r + 2a(a_r^2 + b_r^2)}{a_r^2 + b_r^2}\right]x - \left[\dfrac{2b_r c_r + 2b(a_r^2 + b_r^2)}{a_r^2 + b_r^2}\right]y + \left(a^2 + b^2\right) = 0$}}$.

Meme: tranquilo manter a rotina de estudos.

 

Pensamento: orgulhosamente fanático por Matemática.

 

Meme: um método de estudos.

 

Meme: meus softwares e os computadores da atualidade.

 

Dada a função custo $C(x) = 50x + 10000$, obtenha o custo marginal e interprete o resultado.

$C_{mg}(x) = 50$, que é, aproximadamente, a variação do custo na produção da $(x + 1)$-ésima unidade.

Exercício: percentual limite para um terreno quadrangular.

O governo cedeu terrenos para que famílias construíssem suas residências com a condição de que no mínimo $94\ \%$ da área do terreno fosse mantida como área de preservação ambiental. Ao receber o terreno retangular $ABCD$, em que $AB = \dfrac{BC}{2}$ , Antônio demarcou uma área quadrada no vértice $A$, para a construção de sua residência, de acordo com o desenho, no qual $AE = \dfrac{AB}{5}$ é lado do quadrado.

 

Nesse caso, a área definida por Antônio atingiria exatamente o limite determinado pela condição se ele

$\enclose{circle}{A}$ duplicasse a medida do lado do quadrado.

$\enclose{circle}{B}$ triplicasse a medida do lado do quadrado.

$\enclose{circle}{C}$ triplicasse a área do quadrado.

$\enclose{circle}{D}$ ampliasse a medida do lado do quadrado em $4\ \%$.

$\enclose{circle}{E}$ ampliasse a área do quadrado em $4\ \%$.

Resolução:

Seja $\ell = AB$.

No máximo, $6\ \%$ do total de $2\ell^2$ devem ser destinados à residência, ou seja, $0,12\ell^2$.

Como a atual área da residência de Antônio é $0,04\ell^2$, ele atingiria o limite se triplicasse a área.

Alternativa $\enclose{circle}{C}$.

Exercício: tempo de percurso de um ônibus em um bairro.

O mapa abaixo representa um bairro de determinada cidade, no qual as flechas indicam o sentido das mãos do tráfego. Sabe-se que esse bairro foi planejado e que cada quadra representada na figura é um terreno quadrado, de lado igual a $200$ metros.

 

 

Desconsiderando-se a largura das ruas, qual seria o tempo, em minutos, que um ônibus, em velocidade constante e igual a $40$ km/h, partindo do ponto $X$, demoraria para chegar até o ponto $Y$?

No mínimo, $5$ quadras serão percorridas, ou seja, um total de $1$ km.

$t = \dfrac{60}{40} = \fbox{$1,5\ \text{min}$}$

Fórmula da integração por partes.

Pela fórmula do produto para derivadas, $(h \cdot g)'(x) = h'(x)g(x) + h(x)g'(x)$.

Seja $f(x) = h'(x)$ e $F$ a primitiva de $f$.

$\displaystyle\int (F \cdot g)'(x)\ dx\ =\ \displaystyle\int f(x)g(x)\ dx\ +\ \displaystyle\int F(x)g'(x)\ dx\ \Rightarrow$

 

$\Rightarrow\ \fbox{$\displaystyle\int f(x)g(x)\ dx\ =\ F(x)g(x) - \displaystyle\int F(x)g'(x)\ dx$}$

Obter a derivada de $f(x) = e^x + 3^x$.

$f(x) = e^x + e^{x\log 3}$

$f'(x) = e^x + e^{x\log 3} \cdot \log 3 = \fbox{$e^x + 3^x \log 3$}$

Demonstração da regra do quociente para derivadas.

Pela regra do produto, $(f \cdot h)'(x) = f(x)h'(x) + h(x)f'(x)$.

Pela regra da cadeia, tomando $h(x) = \dfrac{1}{g(x)}$, $g(x) \neq 0$, $h'(x) = -\dfrac{g'(x)}{[g(x)]^2}$, logo

$\left[\dfrac{f(x)}{g(x)}\right]'(x) = \dfrac{f'(x)}{g(x)} - \dfrac{f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} = \fbox{$\dfrac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}$}$.

 

Quod Erat Demonstrandum.

Exercício: arrecadamento diário com desconto em preço unitário.

Um posto de combustível vende $10000$ litros de álcool por dia a R\$ $1,50$ cada litro. Seu proprietário percebeu que, para cada centavo de desconto que concedia por litro, eram vendidos $100$ litros a mais por dia. Por exemplo, no dia em que o preço do álcool foi R\$ $1,48$, foram vendidos $10200$ litros.

 

Considerando $x$ o valor, em centavos, do desconto dado no preço de cada litro, e $V$ o valor, em R\$, arrecadado por dia com a venda do álcool, qual a expressão que relaciona $V$ e $x$?

$V = \underset{\text{Quantidade}}{\underbrace{(10000 + 100x)}} \cdot \underset{\text{Valor unitário}}{\underbrace{(1,5 - 0,01x)}} = \fbox{$-x^2 + 50x + 15000$}$

Demonstração da regra do produto para derivadas.

Sejam $f$ e $g$ funções diferenciáveis,

$(f \cdot g)'(x) = \displaystyle\lim_{a \rightarrow 0} \dfrac{(f \cdot g)(x + a) - (f \cdot g)(x)}{a} =$

 

$= \displaystyle\lim_{a \rightarrow 0} \dfrac{f(x + a) \cdot g(x + a) - f(x) \cdot g(x) + f(x + a) \cdot g(x) - f(x + a) \cdot g(x)}{a} =$

$= \displaystyle\lim_{a \rightarrow 0} \dfrac{f(x + a)[g(x + a) - g(x)]}{a} + \displaystyle\lim_{a \rightarrow 0} \dfrac{g(x)[f(x + a) - f(x)]}{a} = f(x)g'(x) + g(x)f'(x)$.

Quod Erat Demonstrandum.

Exercício: percentual de um terreno.

Ao morrer, o pai de João, Pedro e José deixou como herança um terreno retangular de $3\ \text{km}\ \text{x}\ 2\ \text{km}$ que contém uma área de extração de ouro delimitada por um quarto de círculo de raio $1\ \text{km}$ a partir do canto inferior esquerdo da propriedade. Dado o maior valor da área de extração de ouro, os irmãos acordaram em repartir a propriedade de modo que cada um ficasse com a terça parte da área de extração, conforme mostra a figura.

Em relação à partilha proposta, qual a porcentagem do terreno que coube a João?

Resolução:

 

A área do triângulo que coube a João é $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\ \text{km}^2$.

A área total é de $6\ \text{km}^2$, assim, o percentual é de $\fbox{$\dfrac{100 \sqrt{3}}{9}\ \%$}$.

Demonstração da regra da cadeia.

Sejam $f$ e $g$ funções diferenciáreis,

$f'(u) = \displaystyle\lim_{\Delta u \rightarrow 0} \dfrac{f(u + \Delta u) - f(u)}{\Delta u} =  \displaystyle\lim_{\Delta u \rightarrow 0} \dfrac{\Delta f(u)}{\Delta u}$;

$g'(x) = \displaystyle\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{g(x + \Delta x) - g(x)}{\Delta x} = \displaystyle\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{\Delta g(x)}{\Delta x}$.

Observemos que $\Delta g(x) \rightarrow 0\ \Leftrightarrow\ \Delta x \rightarrow 0$.

 

$(f \circ g)'(x) = \displaystyle\lim_{\Delta g(x) \rightarrow 0} \dfrac{\Delta (f \circ g)(x)}{\Delta g(x)} = \displaystyle\lim_{\Delta g(x) \rightarrow 0} \left[\dfrac{\Delta (f \circ g)(x)}{\Delta x} \cdot \dfrac{\Delta g(x)}{\Delta g(x)}\right] =$

$= \displaystyle\lim_{\Delta g(x) \rightarrow 0} \dfrac{\Delta (f \circ g)(x)}{\Delta g(x)} \cdot \displaystyle\lim_{\Delta g(x) \rightarrow 0} \dfrac{\Delta g(x)}{\Delta x} = f'[g(x)] \cdot g'(x)$

Quod Erat Demonstrandum.