Basta discutir o sistema:
$\begin{cases}x + 2y = 1\\ -3x - y = k\\ 2x + y = 5\end{cases}$,
que é consistente para $k = -8$.
Organização sem fins lucrativos, voltada para a pesquisa e educação em Matemática.
Basta discutir o sistema:
$\begin{cases}x + 2y = 1\\ -3x - y = k\\ 2x + y = 5\end{cases}$,
que é consistente para $k = -8$.
Rotacionamos apenas o eixo $Ox$ de $\theta_x - \theta_y$, e, depois, rotacionamos o sistema inteiro de $\theta_y$ obtendo as novas coordenadas:
$x_r = \dfrac{x}{\cos \left(\theta_x - \theta_y\right)}\cos \theta_y + \left[y - x\tan \left(\theta_x - \theta_y\right)\right]\sin \theta_y$;
$y_r = -\dfrac{x}{\cos \left(\theta_x - \theta_y\right)}\sin \theta_y + \left[y - x\tan \left(\theta_x - \theta_y\right)\right]\cos \theta_y$.
$\mathcal{L}\{f(t)\} = \displaystyle\int_0^{+\infty} f(t)e^{-st}\ dt = \displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-st}\cos t\ dt = \left.\left(e^{-st}\sin t\right)\right|_0^{+\infty} + s\displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-st}\sin t\ dt =$
$= \left.\left(e^{-st}\sin t\right)\right|_0^{+\infty} - \left.\left(se^{-st}\cos t\right)\right|_0^{+\infty} - s^2\underset{\mathcal{L}\{\cos t\}}{\underbrace{\displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-st}\cos t\ dt}}$
$\mathcal{L}\{\cos t\} = \dfrac{\left.\left(e^{-st}\sin t\right)\right|_0^{+\infty} - \left.\left(se^{-st}\cos t\right)\right|_0^{+\infty}}{1 + s^2}$, que converge para $s > 0$.
$\fbox{$\mathcal{L}\{\cos t\} = \dfrac{s}{1 + s^2},\ s > 0$}$
$\mathcal{L}\{f(t)\} = \displaystyle\int_0^{+\infty} f(t)e^{-st}\ dt = \displaystyle\int_0^{+\infty} te^{-st}\ dt = \left.-\dfrac{te^{-st}}{s}\right|_0^{+\infty} + \dfrac{1}{s}\displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-st}\ dt =$
$= \left.-\dfrac{te^{-st}}{s}\right|_0^{+\infty} - \left.\dfrac{e^{-st}}{s^2}\right|_0^{+\infty}$, que converge para $s > 0$.
Logo $\fbox{$\mathcal{L}\{t\} = \dfrac{1}{s^2},\ s > 0$}$.
Vamos supor que exista um $u \in U$ que não pertença a $W$, e que exista um $w \in W$ que não pertença a $U$.
$U \cup W$ é subespaço, logo $k_1 u + k_2 w \in U \cup W$, ou seja, $\underset{p}{\underbrace{k_1 u + k_2 w \in U}}\ \vee\ \underset{q}{\underbrace{k_1 u + k_2 w \in W}}$.
Em $p$, tomando $k_1 = 0$ e $k_2 = 1$ chegamos a um absurdo. Igualmente para $q$ tomando $k_1 = 1$ e $k_2 = 0$.
Quod Erat Demonstrandum.
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b^3$
$(a - b)^3 = a^3 - 2a^2 b + 2ab^2 - b^3$
$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$
$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$
$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$
Vamos partir de uma simples fórmula que pode ser escrita de duas formas:
$\cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1 = 1 - 2\sin^2 \alpha$.
Tomando $\theta = 2\alpha$:
$\cos \theta = 2\cos^2 \dfrac{\theta}{2} - 1\ \Rightarrow\ \fbox{$\cos \dfrac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\dfrac{\cos \theta + 1}{2}}$}$;
$\cos \theta = 1 - 2\sin^2 \dfrac{\theta}{2}\ \Rightarrow\ \fbox{$\sin \dfrac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\dfrac{1 - \cos \theta}{2}}$}$;
$\fbox{$\tan \dfrac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\dfrac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta}}$}$; $\fbox{$\cot \dfrac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\dfrac{1 + \cos \theta}{1 - \cos \theta}}$}$;
$\fbox{$\sec \dfrac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\dfrac{2}{\cos \theta + 1}}$}$; $\fbox{$\csc \dfrac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\dfrac{2}{1 - \cos \theta}}$}$;
$\fbox{$cord\ \dfrac{\theta}{2} = \sqrt{2\left(1 \pm \sqrt{\dfrac{1 + \cos \theta}{2}}\right)}$}$.
$|2x + 1| = 6 + |x - 3|$
$p:\ 2x + 1 = 6 + |x - 3|\ \vee\ q:\ 2x + 1 = -6 - |x - 3|$
$p:\ |x - 3| = 2x - 5\ \Rightarrow\ x - 3 = 2x - 5\ \vee\ 5 - 2x = x - 3\ \Rightarrow$
$\Rightarrow\ x = 2\ \vee\ x = \dfrac{8}{3}$
$q:\ |x - 3| = -7 - 2x\ \Rightarrow\ x - 3 = -7 - 2x\ \vee\ x - 3 = 7 + 2x\ \Rightarrow$
$\Rightarrow\ x = -\dfrac{4}{3}\ \vee\ x = -10$
$\fbox{$S = \left\{2, \dfrac{8}{3}, -\dfrac{4}{3}, -10\right\}$}$
Sejam $U$ e $W$ dois subespaços de $V$, e $v',v'_1, v'_2 \in U \cap W$.
$O \in U\ \wedge\ O \in W\ \Rightarrow\ O \in U \cap W\ {\large (I)}$
$v' \in U\ \Rightarrow\ kv' \in U\ {\large (II)}$
$ v' \in W\ \Rightarrow\ kv' \in W\ {\large (III)}$
${\large (II)}\ \wedge\ {\large (III)}\ \Rightarrow\ kv' \in U \cap W\ {\large (IV)}$
$v'_1 \in U\ \wedge\ v'_2 \in U\ \Rightarrow\ v'_1 + v'_2 \in U\ {\large (V)}$
$v'_1 \in W\ \wedge\ v'_2 \in W\ \Rightarrow\ v'_1 + v'_2 \in W\ {\large (VI)}$
${\large (V)}\ \wedge\ {\large (VI)}\ \Rightarrow\ v'_1 + v'_2 \in U \cap W\ {\large (VII)}$
${\large (I)}$, ${\large (IV)}$ e ${\large (VII)}$ são suficientes para demonstrar o teorema.
Quod Erat Demonstrandum.
Seja $V$ o espaço vetorial de todas as funções do corpo $\mathbb{R}$ em $\mathbb{R}$. Mostrar que $W = \{f : |f(x)| \le M,\ M \in \mathbb{R},\ \forall x \in \mathbb{R}\}$, ou seja, o conjunto das funções reais limitadas, é um subespaço de $V$.
$W$ é não vazio, pois, dentre outras, $f(x) = c,\ c \in \mathbb{R}$ pertencem a $W$. ${\large (I)}$
$|f(x)| \le M\ \Rightarrow\ |kf(x)| \le |k|M$ ${\large (II)}$
$|f(x)| \le M\ \wedge\ |g(x)| \le N\ \Rightarrow\ |f(x) + g(x)| \le M + N$ ${\large (III)}$
${\large (I)}\ \wedge\ {\large (II)}\ \wedge\ {\large (III)}$ demonstram o teorema.
Quod Erat Demonstrandum.
Sejam $X_1$ e $X_2$ duas soluções, $A(X_1 + X_2) = AX_1 + AX_2 = B + B \neq B$. Logo o conjunto das soluções não é fechado quanto à soma.
Quod Erat Demonstrandum.
$\dfrac{x}{\sqrt{1 - \cos x}} \overset{x \in \left]0, \dfrac{\pi}{2}\right[}{=} \dfrac{x\sqrt{1 + \cos x}}{\sin x}$
$\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0_+} \dfrac{x\sqrt{1 + \cos x}}{\sin x} = \cancelto{1}{\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0_+} \dfrac{x}{\sin x}} \cdot \displaystyle\lim_{x \rightarrow 0_+} \sqrt{1 + \cos x}= \sqrt{2}$
$2^{\sqrt{x}} = 2^{3x}\ \Rightarrow\ 9x^2 - x = 0\ \Rightarrow\ x = 0\ \vee\ x = \dfrac{1}{9}$
Como houve uma quadração, devemos verificar cada uma das soluções na equação original, e ambas satisfazem. Logo:
$\fbox{$S = \left\{0, \dfrac{1}{9}\right\}$}$.
Derivando implicitamente:
$4x - 3y^2 y' = 0\ \Rightarrow\ \fbox{$y' = \dfrac{4x}{3y^2}$}$.
Utilizando a regra da cadeia: $\fbox{$f'(x) = -3\left(\csc^2 x^3\right)x^2$}$.
Seja $A = (a_{ij})$ tal que $a_{ij} = \begin{cases}\sin \left(\dfrac{\pi}{2}i\right)\text{, se } i = j\\ \cos \left(\pi i\right)\text{, se } i \neq j\end{cases}$. Encontrar $\left(A^2\right)^t$.
$A = \begin{bmatrix}1 & -1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}\ \Rightarrow\ A^2 = \begin{bmatrix}0 & -1 \\ 1 & -1\end{bmatrix}\ \Rightarrow\ \left(A^2\right)^t = \begin{bmatrix}0 & 1 \\ -1 & -1\end{bmatrix}$
Sejam $w_1 = (\alpha, 0, \gamma)$ e $w_2 = (0, \beta, \gamma)$, $\alpha \neq 0$ e $\beta \neq 0$, elementos de $W$:
$w_1 + w_2 = (\alpha, \beta, 2\gamma)$ não pertence a $W$, logo, como $W$ não é fechado com relação à soma, não é subespaço de $\mathbb{R}^3$.
Quod Erat Demonstrandum.
Sejam $A =\begin{bmatrix}2^x & -1 & 2^x & 10^{-1}\end{bmatrix}$ e $B =\begin{bmatrix}2^{x + 1} & 2^x & -4 & 20\end{bmatrix}$. Determinar $x$ de modo que $A \cdot B^t = \begin{bmatrix}0\end{bmatrix}$.
$2 \cdot 2^{2x} -5 \cdot 2^x + 2 = 0\ \Rightarrow\ x = -1\ \vee x = 1$
$O$ pertence a $W$.
Sejam $(a_i, b_i, c_i)$ e $(a_j, b_j, c_j)$ elementos de $W$. $a_i + a_j \le b_i + b_j \le c_i + c_j$. $W$ é fechado com relação à soma.
No entanto, seja um $k < 0$, $a_i \le b_i \le c_i\ \Rightarrow\ ka_i \ge kb_i \ge kc_i$. Donde concluímos que $W$ não é fechado por multiplicação por escalar. Logo $W$ não é subespaço do $\mathbb{R}^3$.
Quod Erat Demonstrandum.
Basta mostrar que $O \in W$, o que é evidente ${\large (I)}$, que $W$ é fechado quanto à multiplicação por escalar, e que $W$ é fechado com relação à soma.
$k(a_i, b_i, c_i) = (ka_i, kb_i, kc_i) = (2kb_i, kb_i, kc_i)$ ${\large (II)}$
$(a_1, b_1, c_1) + (a_2, b_2, c_2) = (a_1 + a_2, b_1 + b_2, c_1 + c_2) = (2(b_1 + b_2), b_1 + b_2, c_1 + c_2)$ ${\large (III)}$
Com ${\large (I)}$, ${\large (II)}$ e ${\large (III)}$, provamos.
Quod Erat Demonstrandum.
Cicloide é o nome dado à curva construída pela trajetória de um ponto na extremidade de uma roda que se desloca sobre uma superfície sem deslizar.
Para obter suas equações paramétricas, basta tomar as equações paramétricas da circunferência e adicionar uma velocidade horizontal de modo que esta velocidade seja a metade da taxa de variação horizontal do ponto para quando $t = \dfrac{\pi}{2}$.
$\begin{cases}x = a + -rt + r\cos t\\ y = b + r\sin t\end{cases}$, $a$ e $b$ parâmetros de translação, $r$ o raio da circunferência, $t \in \mathbb{R}$.
$u - u = O\ \Rightarrow\ u + \underbrace{v - v}_O - u = O\ \Rightarrow\ u + v\ \underbrace{- (v + u) + (v + u)}_O = v + u\ \Rightarrow$
$\Rightarrow\ \fbox{$ u + v = v + u$}$
$r = \dfrac{g}{2} = 3\sqrt{3}$, $h = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot g = 9$.
$V = \dfrac{\pi r^2 h}{3} = \dfrac{243\pi }{3} = \fbox{$81\pi$}$
Seja ${\small V = \{(a_i, b_i) \in \mathbb{R}^2\ :\ (a_k, b_k) + (a_\ell, b_\ell) = (a_k a_\ell, b_k b_\ell)\ \wedge\ \alpha(a_k, b_k) = (\alpha a_k, \alpha b_k),\ \alpha\ \text{escalar}\}}$. Mostrar que $V$ não é espaço vetorial.
Basta mostrar que ao menos um elemento de $V$ não obedece a uma propriedade que caracteriza espaços vetoriais.
Sejam $\beta$ e $\gamma$ escalares:
$\beta (a_1, b_1) + \gamma (a_1, b_1) = (\beta a_1, \beta b_1) + (\gamma a_1, \gamma b_1) = (\beta \gamma a_1^2, \beta \gamma b_1^2) \neq (\beta + \gamma) (a_1, b_1)$.
Quod Erat Demonstandum.
O elemento da segunda linha e quarta coluna de $A^t$ trata-se do elemento da quarta linha e segunda coluna de $A$. Logo:
$a_{42} = 2 \cdot 4 + 2 = 10$.
$\dfrac{a}{3} = -\dfrac{10}{6}\ \Rightarrow\ \fbox{$a = -5$}$
$P(5) = 1050\ \Rightarrow\ 8 \cdot 125 + a \cdot 25 - 11 \cdot 5 + 5 = 1050\ \Rightarrow\ \fbox{$a = 4$}$
Seja $P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ tal polinômio.
Se ele é divisível por $x - 1$, $P(1) = 0$. Logo:
$\fbox{$a + b + c + d = 0$}$.