Exercício: margem de erro em aproximação numérica.

(Fuvest-SP) A diferença entre $\dfrac{1}{3}$ e seu valor aproximado $0,333$ é igual a $x\ \%$ do valor exato. Qual o valor de $x$?

Resolução:

$\dfrac{1}{3}\ =\ 0,\overline{3}$

$0,\overline{3} - 0,333\ =\ 0,000\overline{3}\ =\ \dfrac{3}{9000}\ =\ \dfrac{1}{3000}$

$\dfrac{x}{100}\ =\ \dfrac{\dfrac{1}{3000}}{\dfrac{1}{3}}\ =\ \dfrac{1}{1000}$

$x\ =\ 0,1$

Exercício: frações de terrenos.

(Cesgranrio-RJ) Um terreno será dividido em três lotes de tamanhos diferentes. A área do lote 3 é $10\%$ maior que a do lote 2, enquanto que esta é $20\%$ maior do que a do lote 1. A que percentual da área desse terreno corresponde, aproximadamente, o lote 1?

Resolução:

Chamemos de $A_1$ a área do lote 1, de $A_2$ a do lote 2, e de $A_3$ a do lote 3.

$A_2\ =\ (1 + 20\%)\ \cdot\ A_1$

$A_3\ =\ (1 + 10\%)\ \cdot\ A_2$

Assim:

$A_3\ =\ 1,1\ \cdot\ 1,2\ \cdot\ A_1\ =\ 1,32\ \cdot\ A_1$

A fração de $A_1$ com relação à área total será:

$\dfrac{A_1}{\sum_{i=1}^3\ A_i}\ =\ \dfrac{A_1}{(1 + 1,2 + 1,32)\ \cdot\ A_1}\ =\ \dfrac{1}{3,52}\ \approx\ 28,4\ \%$

Exercício: leve 3 e pague 2.

(Vunesp-SP) As promoções do tipo "leve 3 pague 2", comuns no comércio, acenam com um desconto, sobre cada unidade vendida em que percentual?

Resolução:

Chamemos de $P$ o preço unitário de uma mercadoria e $d$ o desconto equivalente.

$2P\ =\ (1 - d)\ \cdot\ 3P$

$d\ =\ 1 - \dfrac{2}{3}$

$d\ =\ \dfrac{1}{3}\ =\ \dfrac{100}{3}\ \%$

Exercício: desconto ilusório.

(FGV-SP) Uma loja anuncia um desconto sobre o valor total, $X$, das compras de cada cliente, de acordo com o seguinte esquema:

1) Desconto de $10\%$ para $10000\ \le\ X\ <\ 20000$.
2) Desconto de $15\%$ para $X\ \ge\ 20000$.

Um cliente compra um par de sapatos por $Cr\$\ 18.000,00$ e um par de meias por $Cr\$\ 2.000,00$. O vendedor muito gentilmente se oferece para reduzir o preço das meias para $Cr\$\ 1.500,00$ e o cliente aceita a oferta. No caixa são aplicadas as regras do desconto promocional. Nessas condições, qual foi o lucro ou o prejuízo do cliente?

Resolução:

Mantendo-se o preço do par de meias em $Cr\$\ 2.000,00$, o valor total da compra seria de $2000 + 18000\ =\ 20000$, tendo direito sobre um desconto total de $15\%$, pagando no total:

$20000\ \cdot\ (1 - 15\%)\ =\ 20000 - 3000\ =\ Cr\$ 17.000,00$

Mas, com primeiro desconto oferecido pelo vendedor, o valor integral da compra será de $1500 + 18000\ =\ 19500$, tendo direito a um desconto de $10\%$, pagando no total:

$19500\ \cdot\ (1 - 10\%)\ =\ 19500 - 1950\ =\ Cr\$\ 17.550,00$

Logo o cliente na verdade terá um prejuízo de $17550 - 17000\ =\ Cr\$\ 550,00$.

Exercício: percentual de carros roubados.

(ENEM) Uma companhia de seguros levantou dados sobre os carros de determinada cidade e constatou que são roubados, em média, $150$ carros por ano. O número de carros roubados da marca X é o dobro do número de carros roubados da marca Y, e as marcas X e Y juntas respondem por cerca de $60\%$ dos carros roubados. Qual o número esperado de carros roubados da marca Y?

Resolução:

Chamemos de $c_x$ o número de carros roubados da marca X, e de $c_y$ o da marca Y.

$c_x + c_y\ =\ 60\%\ \cdot\ 150$

$2c_y + c_y\ =\ 90$

$c_y\ =\ 30$

Exercício: criação de coelhos.

(UFMG) Uma criação de coelhos foi iniciada há exatamente um ano e, durante esse período, o número de coelhos duplicou a cada $4$ meses. Hoje, parte dessa criação deverá ser vendida para se ficar com a quantidade inicial de coelhos. Para que isso ocorra, qual a porcentagem da população atual dessa criação de coelhos deve ser vendida?

Resolução:

Chamemos de $c$ a quantidade inicial de coelhos.

Como em um ano temos $3$ períodos de $4$ meses, o número de coelhos será multiplicada por $2^3\ =\ 8$.

Assim, chamando de $p$ o percentual a ser vendido, teremos:

$c\ =\ (1 - p)\ \cdot\ 8c$

$p\ =\ 1 - \dfrac{1}{8}\ =\ 87,5\ \%$

Exercício: porcentagem de acertos em uma prova.

(Fuvest-SP) Em uma prova de $25$ questões, cada resposta certa vale $+0,4$ e cada resposta errada vale $-0,1$. Um aluno resolveu todas as questões e teve nota $0,5$. Qual a porcentagem de acertos desse aluno?

Resolução:

Chamemos de $a$ o número de acertos, e de $e$ o número de erros.

$0,4\ \cdot\ a\ -\ 0,1\ \cdot\ e\ =\ 0,5$

$4a - e\ =\ 5$.....[1]

Da primeira sentença temos:

$a + e\ =\ 25$.....[2]

Somando [1] e [2]:

$5a\ =\ 30\ \Rightarrow\ a\ =\ 6$

A porcentagem de acertos será $\dfrac{6}{25}\ =\ 24\ \%$.

Exercício: determinando preço de custo e preço de venda.

(MACK-SP) Numa loja, para um determinado produto, a diferença entre o preço de venda solicitado e o preço de custo é $3.000$. Se esse produto for vendido com $20\%$ de desconto, ainda assim dará um lucro de $30\%$ à loja. Qual a soma entre os preços de venda e de custo?

Resolução:

Chamemos de $P_c$ o preço de custo, e de $P_v$ o preço de venda.

$P_v\ \cdot\ (1 - 20\%)\ =\ P_c\ \cdot\ (1 + 30\%)$

$P_v\ =\ P_c\ \cdot\ \dfrac{1,3}{0,8}$.....[1]

Da primeira sentença temos:

$P_v - P_c\ =\ 3000$.....[2]

Substituindo [1] em [2]:

$P_c - P_c\ \cdot\ \dfrac{13}{8}\ =\ 3000$

$P_c\ \cdot\ \dfrac{5}{8}\ =\ 3000$

$P_c\ =\ 4800$

Logo:

$P_v\ =\ 4800 + 3000\ =\ 7800$

Donde:

$P_v + P_c\ =\ 12600$

Exercício: massa apos desidratação.

(Fuvest-SP) $95\%$ da massa de uma melancia de $10\ kg$ é constituída por água. A fruta é submetida a um processo de desidratação (que elimina apenas água) até que a participação de água na massa da melancia se reduza a $90\%$. Qual será a massa da melancia após esse processo de desidratação?

Resolução:

Teremos $95\%\ \cdot\ 10\ =\ 9,5\ kg$ de pura água, logo teremos inicialmente na melancia $10 - 9,5\ =\ 0,5\ kg$ de melancia pura.

Após a desidratação essa massa corresponderá a $1 - 90\%\ =\ 10\%$ do total da melancia. Assim $0,5\ =\ 10\%\ \cdot\ M$, onde $M$ é a massa da melancia. Logo $M\ =\ 5\ kg$.

Exercício: número de questões de um teste.

(UFF-RJ) Ao responder a um teste, um aluno acertou $20$ das $30$ primeiras questões e errou $64\%$ do número restante de questões. Feita a correção, verificou-se que o total de acertos correspondia a $47,5\%$ do número de questões propostas. Qual o total de questões do teste?

Resolução:

Chamemos de $r$ o número de questões restantes.

$47,5\%\ \cdot\ (30 + r)\ =\ 20\ +\ (1 - 64\%)\ \cdot\ r$

$14,25\ +\ 47,5\%\ \cdot\ r\ =\ 20\ +\ 36\%\ \cdot\ r$

$11,5\%\ \cdot\ r\ =\ 5,75$

$r\ =\ 50$

Logo o número total de questões será $30 + 50\ =\ 80$.

Exercício: prevendo margem para desconto na negociação.

(Fuvest-SP) Um lojista sabe que, para não ter prejuízo, o preço de venda de seus produtos deve ser no mínimo $44\%$ superior ao preço de custo. Porém ele prepara a tabela de preços de venda acrescentando $80\%$ ao preço de custo, porque sabe que o cliente gosta de obter desconto no momento da compra. Qual é o maior desconto que ele pode conceder ao cliente, sobre o preço da tabela, de modo a não ter prejuízo?

Resolução:

Chamemos de $P_c$ o preço de custo de um produto e $d$ o desconto oferecido no momento da venda.

$(1 - d) (1 + 80\%)\ \cdot\ P_c\ \ge\ (1 + 44\%)\ \cdot\ P_c$

$(1 - d) (1 + 80\%)\ \ge\ (1 + 44\%)$

$d\ \le\ \frac{1,8 - 1,44}{1,8}$

$d\ \le\ \frac{1}{5}$

Logo o desconto máximo oferecido no momento da venda, de modo ao lojista não ter prejuízo, é de $20\%$.

Exercício: cálculo de parcela de débito.

(Cesgranrio-RJ) Carlos contraiu uma dívida que foi paga com uma taxa de juros ao mês e constante. Porém, o recibo do mês de fevereiro extraviou-se e Carlos necessita deste valor para o cálculo do Imposto de Renda. Os valores conhecidos são:

Janeiro	->	$R\$\ 1.000,00$
Março	->	$R\$\ 1.210,00$
Abril	->	$R\$\ 1.331,00$

Com base nos dados acima, qual foi a quantia que Carlos pagou em fevereiro?

Resolução:

Chamemos de $P_f$ a parcela de fevereiro, e $i$ a taxa de juros. Teremos:

$1210\ =\ (1 + i)^2\ \cdot\ 1000$

$(1 + i)\ =\ \sqrt{\dfrac{1210}{1000}}$

$i\ =\ 1,1 - 1 = 10\ \%$

Assim:

$P_f\ =\ (1 + 10\%)\ \cdot\ 1000\ =\ R\$\ 1.100,00$

Observemos que:

$1000\ \cdot\ (1,1)^3\ =\ R\$\ 1.331,00$

Exatamente a parcela de abril.

Exercício: repasse de preço com lucro de comerciantes.

(PUC-SP) Uma cooperativa compra a produção de pequenos horticultores, revendendo-a para atacadistas com um lucro de $50\%$, em média. Estes repassam o produto para os feirantes, com um lucro de $50\%$, em média. Os feirantes vendem o produto para o consumidor e lucram, também, $50\%$ em média. Qual o acréscimo médio do preço pago pelo consumidor em relação ao preço dos horticultores?

Resolução:

Chamemos de $P_o$ o preço de venda original das hortaliças, sem lucro; $P_h$ o preço médio de venda dos horticultores; $P_a$ o preço médio de venda dos atacadistas; e $P_f$ o preço médio de venda dos feirantes.

$P_h\ =\ (1 + 50\%)\ \cdot\ P_o$

$P_a\ =\ (1 + 50\%)\ \cdot\ P_h $

$ P_f\ =\ (1 + 50\%)\ \cdot\ P_a$

Donde:

$P_f\ =\ (1 + 50\%)^3\ \cdot\ P_o\ =\ 3,375\ \cdot\ P_o$

$3,375 - 1\ =\ 237,5\%$

Exercício: enumeração com certa quantidade de algarismos.

(Fuvest-SP) Um estudante terminou um trabalho que tinha $n$ páginas. Para numerar todas essas páginas, iniciando com a página $1$, ele escreveu $270$ algarismos. Qual o valor de $n$?

Resolução:

Consideremos primeiramente os números que possuem apenas $1$ algarismo. Tais são os inteiros que variam de $1$ a $9$, são portando $9$ números.

Consideremos agora os números com $2$ algarismos. Tais são os inteiros que variam de $10$ a $99$, são portando $99 - 10 + 1\ =\ 90$ números. Como estes possuem $2$ algarismos, eles terão ao total $90\ \cdot\ 2\ =\ 180$ algarismos.

Sobraram $270 - (180 + 9)\ =\ 81$ algarismos para serem contados.

Como os próximos números possuem $3$ algarismos cada, teremos $\frac{81}{3}\ =\ 27$ números.

Como o último número a ser computado foi o $99$, $n\ =\ 99 + 27\ =\ 126$.

Demonstração: dados $(p,q)\in{\mathbb{R}^*_+}^2$, $MG_{p,q} \ge MH_{p,q}$.

Dados dois reais positivos $p$ e $q$, chamemos de $MG_{p,q}$ a média geométrica entre os mesmos, e $MH_{p,q}$ a média harmônica. Consideremos ainda um real $x$ tal que:

$x\ =\ MG_{p,q}\ -\ MH_{p,q}$

Desenvolvendo, teremos:

$x\ =\ \sqrt{pq}\ -\ \dfrac{2}{\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q}}$

$x\ =\ \sqrt{pq}\ -\ \dfrac{2}{\dfrac{p+q}{pq}}$

$x\ =\ \sqrt{pq}\ -\ \dfrac{2pq}{p+q}$

$x\ =\ \sqrt{pq}(1 -\ \dfrac{2\sqrt{pq}}{p+q})$

$x\ =\ \sqrt{pq}(\dfrac{p + q - 2\sqrt{pq}}{p+q})$

$x\ =\ \sqrt{pq}(\dfrac{(\sqrt{p}-\sqrt{q})^2}{p+q})$

Consideremos agora duas possibilidades:

a) Se $p\ =\ q$, $\sqrt{pq}$ é positivo, $p + q$ é positivo, e $(\sqrt{p}-\sqrt{q})^2$ é nulo. Logo $x\ =\ 0$

b) Se $p\ \neq\ q$, $\sqrt{pq}$ é positivo, $p + q$ é positivo, e $(\sqrt{p}-\sqrt{q})^2$ é positivo. Logo $x\ >\ 0$

Assim $MG_{p,q}\ \ge\ MH_{p,q}$.

Velocidade como média harmônica e aritmética no MRU.

Consideremos um móvel que se desloca em um trajetória em dois regimes de velocidade constante, chamado em Cinemática de movimento uniforme. No primeiro regime ele possui velocidade $v_1$, desloca-se $S_1$ unidades de comprimento em $t_1$ unidades de tempo. No segundo regime ele possui velocidade $v_2$, desloca-se $S_2$ unidades de comprimento em $t_2$ unidades de tempo. Chamemos de $v_m$ a velocidade média do móvel em todo trajeto.

a) Se $S_1\ =\ S_2\ =\ S$, ou seja, se ele percorre metade do percurso com velocidade $v_1$ e a outra metade com velocidade $v_2$, teremos:

$v_m\ =\ \dfrac{S_1 + S_2}{t_1 + t_2}\ =\ \dfrac{2S}{\dfrac{S}{v_1} + \dfrac{S}{v_2}}\ =\ \dfrac{2}{\dfrac{1}{v_1} + \dfrac{1}{v_2}}$

Ou seja, a velocidade média será a média harmônica das duas velocidades.
__

b) Se $t_1\ =\ t_2\ =\ t$, ou seja, se ele percorre metade do tempo com velocidade $v_1$ e a outra metade com velocidade $v_2$, teremos:

$v_m\ =\ \dfrac{S_1 + S_2}{t_1 + t_2}\ =\ \dfrac{v_1\ \cdot\ t\ +\ v_2\ \cdot\ t}{2t}\ =\ \dfrac{v_1 + v_2}{2}$

Ou seja, a velocidade média será a média aritmética das duas velocidades.

Médias harmônica, aritmética, e aritmética ponderada em uma solução.

Consideremos uma solução composta de duas substâncias de densidades $d_1$ e $d_2$, massas $m_1$ e $m_2$, e volumes $v_1$ e $v_2$. Podemos calcular a densidade $d$ da solução empregando o conceito de médias, facilitando a computação da mesma.

1º caso: $v_1\ =\ v_2\ =\ v$:

$d\ =\ \dfrac{m_1 + m_2}{2v}\ =\ \dfrac{d_1\ \cdot\ v + d_2\ \cdot\ v}{2v}\ =\ \dfrac{d_1 + d_2}{2}$

Logo, se as duas substâncias possuem o mesmo volume, a densidade da solução será a média aritmética das densidades das substâncias componentes.
__

2º caso: $m_1\ =\ m_2\ =\ m$:

$d\ =\ \dfrac{2m}{v_1 + v_2}\ =\ \dfrac{2m}{\dfrac{m}{d_1} + \dfrac{m}{d_2}}\ =\ \dfrac{2}{\dfrac{1}{d_1} + \dfrac{1}{d_2}}$

Logo, se as duas substâncias possuem a mesma massa, a densidade da solução será a média harmônica das densidades das substâncias componentes.
__

3ºcaso: $m_1$, $m_2$, $v_1$, e $v_2$ quaisquer:

$d\ =\ \dfrac{m_1 + m_2}{v_1 + v_2}\ =\ \dfrac{v_1\ \cdot d_1\ +\ v_2\ \cdot\ d_2}{v_1 + v_2}$

Logo, a densidade de uma solução de duas substâncias é igual a média aritmética ponderada das densidades das substâncias componentes cujos pesos são seus respectivos volumes.

Exercício: porcentagem de gêneros conhecidos seus desempenhos.

(Fuvest-SP) Numa classe de um colégio existem estudantes de ambos os sexos. Numa prova, as médias aritméticas das notas dos meninos e das meninas foram respectivamente iguais a $6,2$ e $7,0$. A média aritmética das notas de toda a classe foi igual a $6,5$.

a) A maior parte dos estudantes dessa classe é composta de meninos ou meninas? Justifique sua resposta.

b) Que porcentagem do total de alunos da classe é do sexo masculino?

Resolução:

a) Como a média geral está mais próxima de $6,2$ do que de $7,0$, a maioria da classe é composta de meninos: $| 6,5 - 6,2 | < | 6,5 - 7,0 |$.

b) Chamando de $h$ o percentual de meninos, teremos:

$6,5\ =\ \dfrac{h\ \cdot\ 6,2\ +\ (1 - h)\ \cdot\ 7,0}{h\ +\ (1 - h)}\ =\ \dfrac{7,0 - 0,8h}{1}$

Logo:

$h\ =\ \dfrac{-0,5}{-0,8}\ =\ 62,5\ \%$

Exercício: determinar número dos gêneros conhecidas suas idades.

(Unicamp-SP) A média aritmética de um grupo de $120$ pessoas é de $40$ anos. Se a média aritmética das idades das mulheres é de $35$ anos e a dos homens é de $50$ anos, qual o número de pessoas de cada sexo, no grupo?

Resolução:

A média de 40 anos pode ser tomada como a média aritmética ponderada das idades dos homens e mulheres cujos pesos serão respectivamente a quantidade de cada um deles.

Chamando de $h$ o número de homens, teremos:

$40\ =\ \dfrac{50h + 35(120 - h)}{120}$

$4800\ =\ 15h + 4200$

$h\ =\ 40$

Logo teremos $40$ homens e $120 - 40\ =\ 80$ mulheres.

Demonstração: dados $(p,q)\in(\mathbb{R}_+)^2$, a média aritmética é maior ou igual à média geométrica.

Consideremos o real $x$ tal que:

$x\ =\ \dfrac{p + q}{2}\ -\ \sqrt{pq}$

$x\ =\ \dfrac{p + q - 2\sqrt{pq}}{2}\ =\ \dfrac{(\sqrt{p} - \sqrt{q})^2}{2}$

Como $(\sqrt{p} - \sqrt{q})^2$ é não-negativo, concluímos que $x$ é positivo ou nulo, logo $\dfrac{p + q}{2}\ \ge \sqrt{pq}$.

Como queríamos demonstrar.

Exercício: demonstrar racionalidade de $\sqrt{8+2\sqrt{7}}-\sqrt{8-2\sqrt{7}}$.

Chamemos $x\ =\ \sqrt{8 + 2\sqrt{7}} - \sqrt{8 - 2\sqrt{7}}$.

Como $\sqrt{8 + 2\sqrt{7}} > \sqrt{8 - 2\sqrt{7}}$, então $x\ >\ 0$.

$x^2\ =\ (\sqrt{8 + 2\sqrt{7}} - \sqrt{8 - 2\sqrt{7}})^2\ =$

$=\ 8 + 2\sqrt{7} - 2\sqrt{(8 + 2\sqrt{7})(8 - 2\sqrt{7})} + 8 - 2\sqrt{7}\ =$

$=\ 16 - 2\sqrt{64 - 28}\ =\ 16 - 12$

Logo:

$x^2\ =\ 4$

Como $x\ >\ 0 $, $ x\ =\ 2$, logo $\sqrt{8 + 2\sqrt{7}} - \sqrt{8 - 2\sqrt{7}}$ é racional.

Exercício: inflação e perda do poder de compra.

Numa inflação em que os preços sobem $25\%$ ao mês e seu salário permanece inalterado, de quanto diminui o seu poder de compra:

a) Mensalmente?

b) Bimestralmente?

Resolução 1:

a)

Vamos supor que em um mês todo o seu salário custeasse uma compra de valor $P$.

Depois de um mês de inflação, ele teria que desembolsar:

$P'\ =\ (1 + 25\%) P\ =\ 1,25P$

A fração do seu salário original, com poder de compra $P$, com relação ao novo valor que seria suficiente para pagar pelas mesmas mercadorias é:

$\dfrac{P}{1,25P}\ =\ \dfrac{1}{\dfrac{5}{4}}\ =\ \dfrac{4}{5}\ =\ 80\%$

Logo, em um mês, seu poder de compra fica reduzido em $20\%$.

b)

De modo análogo, a fração do poder de compra original com relação ao novo valor decorridos dois meses é de:

$\dfrac{P}{(1 + 25\%)(1 + 25\%)P}\ =\ \dfrac{1}{(\dfrac{5}{4})^2}\ =\ \dfrac{16}{25}$

$\dfrac{16}{25}\ =\ 64\%$

Logo, em dois meses, seu poder de compra fica reduzido em $36\%$.

_____

Resolução 2:

a)

Chamemos de $S$ o salário de um trabalhador, $n$ o número de mercadorias que ele poderá comprar ao preço de $p$. Temos:

$S\ =\ np$.....[1]

Decorrido um mês, o novo preço da mercadoria $p'$, será tal que:

$p'\ =\ (1 + 25\%) p\ =\ \dfrac{5p}{4}$.

Assim, com o mesmo salário, depois de um mês, ele será capaz de comprar $n'$ mercadorias de modo que:

$S\ =\ n'\ \cdot\ p'\ =\ n'\ \cdot\ \dfrac{5p}{4}$.....[2]

Substituindo [1] em [2], teremos:

$np\ =\ n'\ \cdot\ \dfrac{5p}{4}\ \Rightarrow\ \dfrac{n'}{n}\ =\ \dfrac{4}{5}\ =\ 80\%$

Logo, em um mês, seu poder de compra fica reduzido em $20\%$.

b)

De modo análogo:

$np\ =\ n'\ \cdot\ (\dfrac{5}{4})^2\ \cdot\ p\ \Rightarrow\ \dfrac{n'}{n}\ =\ (\dfrac{4}{5})^2\ =\ 64\%$

Logo, em dois meses, seu poder de compra fica reduzido em $36\%$.

Exercício: densidade de tráfego.

(UFRJ) A figura abaixo mostra um trecho de uma malha rodoviária de mão única. Dos veículos que passam por A, $45\%$ viram à esquerda. Dos veículos que passam por B, $35\%$ viram à esquerda. Daqueles que trafegam por C, $30\%$ dobram à esquerda.




Determine o percentual dos veículos que, passando por A, entram em E.

Resolução:

Pelo caminho BE passarão $45\%\ \cdot\ (1 - 35\%)\ =\ 29,25\%$

Pelo caminho CE passarão $(1 - 45\%)\ \cdot\ 30\%\ =\ 16,5\%$

Logo, do total de veículos que entram por A, $29,25\%\ +\ 16,5\%\ =\ 45,75\%$ passarão por E.

Exercício: juros ocultos.

(UFRJ) Uma loja oferece duas formas de pagamento para seus clientes: à vista ou em duas parcelas iguais. A loja anuncia, na sua vitrine, um vestido por um preço total de $R\$\ 200,00$ para pagamento em duas vezes, sendo $R\$\ 100,00$ no ato da compra e $R\$\ 100,00$ trinta dias após essa data. Para pagamento à vista, a loja oferece um desconto de $10\%$ sobre o preço total de $R\$\ 200,00$, anunciado na vitrine. Considerando o preço à vista como o preço real do vestido, determine a taxa de juros cobrada pela loja no pagamento em duas vezes.

Resolução:

Pagos à vida $R\$\ 100,00$, sobram $R\$\ 100,00$ para pagamento trinta dias após a compra, mas como o preço real é de $(1 - 10\%)\ \cdot\ 200\ =\ R\$\ 180,00$, sobram na verdade $R\$\ 80,00$ de débito para serem quitados. Ou seja, o comprador pagará de juros $R\$\ 20,00$.

Pagará $ \dfrac{20}{80}\ =\ \dfrac{1}{4}\ =\ 25\ \% $ de juros.

Exercício: evaporação de uma solução e aumento da salinidade.

(Unicamp-SP) Uma quantidade de $6240$ litros de água apresentava um índice de salinidade de $12\%$. Devido à evaporação esse índice subiu para $18\%$. Calcule, em litros, a quantidade de água que evaporou.

Resolução:

Chamemos de $a$ a quantidade em volume de água da solução, $s$ a quantidade em volume de sal, e $e$ a quantidade em volume de água que evaporou. Temos:

$\dfrac{s}{a}\ =\ 12\%$.....[1]

$\dfrac{s}{a - e}\ =\ 18\%$

Delas podemos concluir:

$\dfrac{a}{s}\ =\ \dfrac{100}{12}$.....[2]

$\dfrac{a - e}{s}\ =\ \dfrac{a}{s}\ -\ \dfrac{e}{s}\ =\ \dfrac{100}{18}$.....[3]

Substituindo [2] em [3]:

$\dfrac{e}{s}\ =\ \dfrac{100}{12}\ -\ \dfrac{100}{18}\ =\ \dfrac{100}{36}$

$e\ =\ s\ \cdot\ \dfrac{100}{36}$.....[4]

Substituindo [1] em [4]:

$e\ =\ a\ \cdot\ \dfrac{12}{100}\ \cdot\ \dfrac{100}{36}\ =\ \dfrac{a}{3}$

Logo:

$e\ =\ \dfrac{6240}{3}\ =\ 2080\ \ell$

Exercício: aumento da área com aumento dos lados de um retângulo.

Se a base de um retângulo aumentar $10\%$ e a altura, $20\%$, sua área aumentará em quanto?

Resolução:

Chamemos $A$ a área do retângulo, $b$ a base, e $h$ a altura.

$b'\ =\ (1 + 10\%)\ \cdot\ b$ será a nova base.

$h'\ =\ (1 + 20\%)\ \cdot\ h$ será a nova altura.

$A'\ =\ b'\ \cdot\ h'$ será a nova área.

$b'\ \cdot\ h'\ =\ (1 + \dfrac{10}{100})(1 + \dfrac{20}{100})\ \cdot\ bh$

$b'\ \cdot\ h'\ =\ \dfrac{11}{10}\ \cdot\ \dfrac{6}{5}\ \cdot\ bh$

$A'\ =\ \dfrac{66}{50}\ \cdot\ A$

O aumento percentual será dado por:

$(\dfrac{66}{50}\ -\ 1)\ =\ 32\%$

Exercício: câmara escura com orifício.

Um objeto linear encontra-se a $15\ cm$ de uma câmara escura de orifício e sua imagem projetada tem altura $i_1$. Aumentando-se a distância do objeto à câmara para $20\ cm$, a altura da imagem passa a ser $i_2$. Determine a relação $\dfrac{i_1}{i_2}$.

Resolução:

Chamando $i$ o tamanho da imagem projetada, $o$ o tamanho do objeto, $d'$ a distância do orifício à imagem, e $d$ a distância do objeto ao orifício, conhecemos a relação:

$\dfrac{i}{o}\ =\ \dfrac{d'}{d}$

No problema citado $i$ e $d$ serão variáveis, e $o$ e $d'$ constantes.

Modificando a relação fundamental, teremos:

$i\ \cdot\ d\ =\ o\ \cdot\ d'$

Ou seja, $i$ e $d$ são inversamente proporcionais.

Se $d$ alterou seu valor de $15$ para $20$, foi multiplicada pelo fator $\dfrac{4}{3}$, logo $i$ terá seu novo valor dividido pelo mesmo valor, ou seja:

$i_2 = \dfrac{i_1}{\dfrac{4}{3}}$

Logo:

$\dfrac{i_1}{i_2}\ =\ \dfrac{4}{3}$

Exercício: duas torneiras enchendo um tanque.

Uma torneira enche um tanque em $4$ horas. outra torneira enche o mesmo tanque em $6$ horas. Em quanto tempo as duas torneiras encherão o tanque se forem abertas simultaneamente?
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Resolução 1:

Chamemos de $v_1$ a vazão da primeira torneira, $v_2$ a vazão da segunda torneira, e $C$ a capacidade do tanque.

$v_1\ =\ \dfrac{C}{4}$

$v_2\ =\ \dfrac{C}{6}$

Somando as duas vazões, teremos:

$v_1 + v_2\ =\ \dfrac{C}{4} + \dfrac{C}{6}\ =\ \dfrac{5C}{12}$

Como desejamos conhecer o tempo para preenchimento da capacidade $C$, teremos:

$v_1 + v_2\ =\ \dfrac{5C}{12}\ \cdot\ \dfrac{5}{5}\ =\ \dfrac{C}{\dfrac{12}{5}}$

Logo o tempo será $\dfrac{12}{5}\ =\ 2,4$ horas, ou 2 horas e 24 minutos.
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Resolução 2:

Em 1 hora a primeira torneira encherá $\dfrac{1}{4}$ do tanque.

Em 1 hora a segunda torneira encherá $\dfrac{1}{6}$ do tanque.

Em 1 hora as duas torneiras juntas encherão $\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{12}$ do tanque.

Em $\dfrac{1}{5}$ de hora as duas torneiras encherão $\dfrac{1}{12}$ do tanque.

Em $\dfrac{12}{5}$ de hora as duas torneiras encherão $\dfrac{12}{12} = 1$ do tanque.

$\dfrac{12}{5}\ =\ 2,4$

Exercício: calcular: $\sum_{i=1}^4 (5i-1)$.

Pela força-bruta teremos:

$S\ =\ \sum_{i=1}^4 (5i-1)\ =\ (5\ \cdot\ 1\ -\ 1)\ +\ (5\ \cdot\ 2\ -\ 1)\ +$
$+\ (5\ \cdot\ 3\ -\ 1)\ +\ (5\ \cdot\ 4\ -\ 1)$

$S = 4 + 9 + 14 + 19 = 46$

Mas usando as propriedades do somatório podemos refinar os cálculos:

$\sum_{i=1}^4 (5i-1)\ =\ (\sum_{i=1}^4 5i) - 4\ =\ 5(\sum_{i=1}^4 i) - 4$

$(\sum_{i=1}^4 i)$ é a soma dos 4 primeiros inteiros positivos. A fórmula genérica para tal cálculo é:

$\sum_{i=1}^n i\ =\ \dfrac{n(n+1)}{2}$

Logo:

$S = 5 \dfrac{4\ \cdot\ 5}{2} - 4\ =\ 46$

Exercício: resolver: $x^2 - 4x + \sqrt{x^2 - 4x + 11} = 9$.

Resolver no universo $\mathbb{R}$:

$x^2 - 4x + \sqrt{x^2 - 4x + 11} = 9$

Resolução:

Chamemos $x^2 - 4x$ de $y$. Teremos então:

$y + \sqrt{y + 11} = 9$

$y - 9 = - \sqrt{y + 11}$

$(y - 9)^2 = (- \sqrt{y + 11})^2$

$y^2 - 18y + 81 = y + 11$

$y^2 - 19y + 70 = 0$

Donde $y = 14$ ou $y = 5$.

Como a identidade foi exponenciada a um operador par, devemos verificar se foram acrescentadas à nova identidade raízes falsas.

Tomando $y = 14$, teremos:

$14 + \sqrt{14 + 11} = 9\ \Rightarrow\ 14 + 5 = 9$

O que é uma falsidade.

Tomando agora $y = 5$, teremos:

$5 + \sqrt{5 + 11} = 9\ \Rightarrow\ 5 + 4 = 9$

Logo $y = 5$ é a única raiz da equação em $y$.

Tomando agora $5 = x^2 - 4x$, teremos $x^2 - 4x - 5 = 0$, donde:

$S\ =\ \{5\ ,\ -1\}$

Exercício: desistência do churrasco.

Um grupo de amigos se reuniu para organizar um churrasco que custou $R\$\ 180,00$, em cima da hora, três amigos desistiram, fazendo com que a despesa de cada um dos outros aumentasse em $R\$\ 2,00$. Quantos eram os amigos no grupo inicial?

Resolução:

Chamemos de $n$ o número de amigos, e de $p$ o preço cobrado de cada um deles.

Inicialmente tínhamos:

$n\ \cdot\ p\ =\ 180$ [1]

Após a desistência e do acréscimo do preço para custear o projeto inicial, teremos:

$(p+2)(n-3)\ =\ 180$ [2]

Substituindo [1] em [2], teremos:

$(\dfrac{180}{n} + 2)(n-3)\ =\ 180$

$n^2 - 3n - 270 = 0$

Admitindo apenas o valor positivo para $n$, teremos $S\ =\ \{18\}$.

Exercício: equação do 2º grau: operações entre raízes.

Sendo $r_1$ e $r_2$ as raízes da equação $x^2 - 9x + 6 = 0$, determine os valores de:

a) $r_1 + r_2$.	c) $\dfrac{1}{r_1} + \dfrac{1}{r_2}$.	e) ${r_1}^3 + {r_2}^3$.
b) $r_1 \cdot r_2$.	d) ${r_1}^2 + {r_2}^2$.	f) $r_1 - r_2$.

Resolução:

De imediato:

a) $r_1 + r_2 = 9$.

b) $r_1 \cdot r_2 = 6$.

Daqui em diante temos que encontrar relações similares às que são dadas, envolvendo soma e produto das raízes:

c) $\dfrac{1}{r_1} + \dfrac{1}{r_2} = \dfrac{r_1 + r_2}{r_1 r_2} = \dfrac{3}{2}$.

d) ${r_1}^2 + {r_2}^2 = (r_1 + r_2)^2 - 2 r_1 r_2 = 81 - 12 = 69$.

e) ${r_1}^3 + {r_2}^3 = (r_1 + r_2)({r_1}^2 - r_1 r_2 + {r_2}^2) = 9(69 - 6) = 567$.

f) $r_1 - r_2 = \pm \sqrt{{r_1}^2 + {r_2}^2 - 2 r_1 r_2} = \pm \sqrt{69 - 12} = \pm \sqrt{57}$.