Meme: sabe Matemática, LaTeX e programação.

 

Encontrar $\displaystyle\int \sin^3 x\ dx$.

$I\ =\ \displaystyle\int \sin^3 x\ dx\ =\ \displaystyle\int (\sin x)(1 - \cos^2 x) x\ dx\ =$

$=\ -(\cos x)(1 - \cos^2 x) + 2\displaystyle\int (\cos^2 x)(\sin x)\ dx\ =$

$=\ -\cos x + \cos^3 x + 2\displaystyle\int (1 - \sin^2 x)(\sin x)\ dx\ =$

$=\ -\cos x + \cos^3 x + 2\displaystyle\int \sin x\ dx - 2\underset{I}{\underbrace{\displaystyle\int\sin^3 x\ dx}}$

$\fbox{$\displaystyle\int \sin^3 x\ dx\ =\ \dfrac{\cos^3 x}{3} - \cos x + c$}$

Simplificar $\cos^4 x - \sin^4 x$.

$\cos^4 x - \sin^4 x = \underset{1}{\underbrace{(\cos^2 x + \sin^2 x)}}(\cos^2 x - \sin^2 x) = \cos 2x$

Sejam $u = (1, -3, 2)$ e $v = (2, -1, 1)$, qual o valor de $k$ para que $(1, k, 5)$ seja uma combinação linear de $u$ e $v$?

Basta discutir o sistema:

$\begin{cases}x + 2y = 1\\ -3x - y = k\\ 2x + y = 5\end{cases}$,

que é consistente para $k = -8$.

Novas coordenadas cartesianas para rotações $\theta_x$ e $\theta_y$ dos eixos.

Rotacionamos apenas o eixo $Ox$ de $\theta_x - \theta_y$, e, depois, rotacionamos o sistema inteiro de $\theta_y$ obtendo as novas coordenadas:

$x_r = \dfrac{x}{\cos \left(\theta_x - \theta_y\right)}\cos \theta_y + \left[y - x\tan \left(\theta_x - \theta_y\right)\right]\sin \theta_y$;

$y_r = -\dfrac{x}{\cos \left(\theta_x - \theta_y\right)}\sin \theta_y + \left[y - x\tan \left(\theta_x - \theta_y\right)\right]\cos \theta_y$.

Encontrar a transformada de Laplace de $f(t) = \cos t$.

$\mathcal{L}\{f(t)\} = \displaystyle\int_0^{+\infty} f(t)e^{-st}\ dt = \displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-st}\cos t\ dt = \left.\left(e^{-st}\sin t\right)\right|_0^{+\infty} + s\displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-st}\sin t\ dt =$

$= \left.\left(e^{-st}\sin t\right)\right|_0^{+\infty} - \left.\left(se^{-st}\cos t\right)\right|_0^{+\infty} - s^2\underset{\mathcal{L}\{\cos t\}}{\underbrace{\displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-st}\cos t\ dt}}$

$\mathcal{L}\{\cos t\} = \dfrac{\left.\left(e^{-st}\sin t\right)\right|_0^{+\infty} - \left.\left(se^{-st}\cos t\right)\right|_0^{+\infty}}{1 + s^2}$, que converge para $s > 0$.

$\fbox{$\mathcal{L}\{\cos t\} = \dfrac{s}{1 + s^2},\ s > 0$}$

Encontrar a transformada de Laplace de $f(t) = t$.

$\mathcal{L}\{f(t)\} = \displaystyle\int_0^{+\infty} f(t)e^{-st}\ dt = \displaystyle\int_0^{+\infty} te^{-st}\ dt = \left.-\dfrac{te^{-st}}{s}\right|_0^{+\infty} + \dfrac{1}{s}\displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-st}\ dt =$

$= \left.-\dfrac{te^{-st}}{s}\right|_0^{+\infty} - \left.\dfrac{e^{-st}}{s^2}\right|_0^{+\infty}$, que converge para $s > 0$.

Logo $\fbox{$\mathcal{L}\{t\} = \dfrac{1}{s^2},\ s > 0$}$.

Sejam $U$ e $W$ subespaços de um espaço vetorial $V$, se $U \cup W$ também é subespaço, mostrar que $U \subset W$ ou $W \subset U$.

Vamos supor que exista um $u \in U$ que não pertença a $W$, e que exista um $w \in W$ que não pertença a $U$.

$U \cup W$ é subespaço, logo $k_1 u + k_2 w \in U \cup W$, ou seja, $\underset{p}{\underbrace{k_1 u + k_2 w \in U}}\ \vee\ \underset{q}{\underbrace{k_1 u + k_2 w \in W}}$.

Em $p$, tomando $k_1 = 0$ e $k_2 = 1$ chegamos a um absurdo. Igualmente para $q$ tomando $k_1 = 1$ e $k_2 = 0$.

Quod Erat Demonstrandum.

Produtos notáveis.

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b^3$

$(a - b)^3 = a^3 - 2a^2 b + 2ab^2 - b^3$

$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$

$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

Arco metade.

Vamos partir de uma simples fórmula que pode ser escrita de duas formas:

$\cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1 = 1 - 2\sin^2 \alpha$.

Tomando $\theta = 2\alpha$:

$\cos \theta = 2\cos^2 \dfrac{\theta}{2} - 1\ \Rightarrow\ \fbox{$\cos \dfrac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\dfrac{\cos \theta + 1}{2}}$}$;

$\cos \theta = 1 - 2\sin^2 \dfrac{\theta}{2}\ \Rightarrow\ \fbox{$\sin \dfrac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\dfrac{1 - \cos \theta}{2}}$}$;

$\fbox{$\tan \dfrac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\dfrac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta}}$}$; $\fbox{$\cot \dfrac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\dfrac{1 + \cos \theta}{1 - \cos \theta}}$}$;

$\fbox{$\sec \dfrac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\dfrac{2}{\cos \theta + 1}}$}$; $\fbox{$\csc \dfrac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\dfrac{2}{1 - \cos \theta}}$}$;

$\fbox{$cord\ \dfrac{\theta}{2} = \sqrt{2\left(1 \pm \sqrt{\dfrac{1 + \cos \theta}{2}}\right)}$}$.

Resolver em $\mathbb{R}$: $|2x + 1| - |x - 3| = 6$.

$|2x + 1| = 6 + |x - 3|$

$p:\ 2x + 1 = 6 + |x - 3|\ \vee\ q:\ 2x + 1 = -6 - |x - 3|$

$p:\ |x - 3| = 2x - 5\ \Rightarrow\ x - 3 = 2x - 5\ \vee\ 5 - 2x = x - 3\ \Rightarrow$

$\Rightarrow\ x = 2\ \vee\ x = \dfrac{8}{3}$

$q:\ |x - 3| = -7 - 2x\ \Rightarrow\ x - 3 = -7 - 2x\ \vee\ x - 3 = 7 + 2x\ \Rightarrow$

$\Rightarrow\ x = -\dfrac{4}{3}\ \vee\ x = -10$

$\fbox{$S = \left\{2, \dfrac{8}{3}, -\dfrac{4}{3}, -10\right\}$}$

A intersecção de subespaços de $V$ é um subespaço de $V$.

Sejam $U$ e $W$ dois subespaços de $V$, e $v',v'_1, v'_2 \in U \cap W$.

$O \in U\ \wedge\ O \in W\ \Rightarrow\ O \in U \cap W\ {\large (I)}$

$v' \in U\ \Rightarrow\ kv' \in U\ {\large (II)}$

$ v' \in W\ \Rightarrow\ kv' \in W\ {\large (III)}$

${\large (II)}\ \wedge\ {\large (III)}\ \Rightarrow\ kv' \in U \cap W\ {\large (IV)}$

$v'_1 \in U\ \wedge\ v'_2 \in U\ \Rightarrow\ v'_1 + v'_2 \in U\ {\large (V)}$

$v'_1 \in W\ \wedge\ v'_2 \in W\ \Rightarrow\ v'_1 + v'_2 \in W\ {\large (VI)}$

${\large (V)}\ \wedge\ {\large (VI)}\ \Rightarrow\ v'_1 + v'_2 \in U \cap W\ {\large (VII)}$

${\large (I)}$, ${\large (IV)}$ e ${\large (VII)}$ são suficientes para demonstrar o teorema.

Quod Erat Demonstrandum.

Subespaço vetorial das funções limitadas.

Seja $V$ o espaço vetorial de todas as funções do corpo $\mathbb{R}$ em $\mathbb{R}$. Mostrar que $W = \{f : |f(x)| \le M,\ M \in \mathbb{R},\ \forall x \in \mathbb{R}\}$, ou seja, o conjunto das funções reais limitadas, é um subespaço de $V$.

$W$ é não vazio, pois, dentre outras, $f(x) = c,\ c \in \mathbb{R}$ pertencem a $W$. ${\large (I)}$

$|f(x)| \le M\ \Rightarrow\ |kf(x)| \le |k|M$ ${\large (II)}$

$|f(x)| \le M\ \wedge\ |g(x)| \le N\ \Rightarrow\ |f(x) + g(x)| \le M + N$ ${\large (III)}$

${\large (I)}\ \wedge\ {\large (II)}\ \wedge\ {\large (III)}$ demonstram o teorema.

Quod Erat Demonstrandum.

Seja $AX = B$ um sistema linear não homogêneo de $n$ incógnitas sobre um corpo $K$, mostrar que as soluções não são um subespaço de $K^n$.

Sejam $X_1$ e $X_2$ duas soluções, $A(X_1 + X_2) = AX_1 + AX_2 = B + B \neq B$. Logo o conjunto das soluções não é fechado quanto à soma.

Quod Erat Demonstrandum.

Encontrar $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0_+} \dfrac{x}{\sqrt{1 - \cos x}}$.

$\dfrac{x}{\sqrt{1 - \cos x}} \overset{x \in \left]0, \dfrac{\pi}{2}\right[}{=} \dfrac{x\sqrt{1 + \cos x}}{\sin x}$

$\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0_+} \dfrac{x\sqrt{1 + \cos x}}{\sin x} = \cancelto{1}{\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0_+} \dfrac{x}{\sin x}} \cdot \displaystyle\lim_{x \rightarrow 0_+} \sqrt{1 + \cos x}= \sqrt{2}$

Resolver a equação $2^{\sqrt{x}} = 8^x$.

$2^{\sqrt{x}} = 2^{3x}\ \Rightarrow\ 9x^2 - x = 0\ \Rightarrow\ x = 0\ \vee\ x = \dfrac{1}{9}$

Como houve uma quadração, devemos verificar cada uma das soluções na equação original, e ambas satisfazem. Logo:

$\fbox{$S = \left\{0, \dfrac{1}{9}\right\}$}$.

Se $2x^2 - y^3 - 1 = 0$, encontrar $y'$.

Derivando implicitamente:

$4x - 3y^2 y' = 0\ \Rightarrow\ \fbox{$y' = \dfrac{4x}{3y^2}$}$.

Se $f(x) = \cot x^3$, encontrar $f'(x)$.

Utilizando a regra da cadeia: $\fbox{$f'(x) = -3\left(\csc^2 x^3\right)x^2$}$.

Transposta do quadrado de uma matriz dada a lei de formação.

Seja $A = (a_{ij})$ tal que $a_{ij} = \begin{cases}\sin \left(\dfrac{\pi}{2}i\right)\text{, se } i = j\\ \cos \left(\pi i\right)\text{, se } i \neq j\end{cases}$. Encontrar $\left(A^2\right)^t$.

$A = \begin{bmatrix}1 & -1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}\ \Rightarrow\ A^2 = \begin{bmatrix}0 & -1 \\ 1 & -1\end{bmatrix}\ \Rightarrow\ \left(A^2\right)^t = \begin{bmatrix}0 & 1 \\ -1 & -1\end{bmatrix}$

Seja $W = \{(a, b, c) \in \mathbb{R}^3 : ab = 0\}$, mostrar que $W$ não é subespaço do $\mathbb{R}^3$.

Sejam $w_1 = (\alpha, 0, \gamma)$ e $w_2 = (0, \beta, \gamma)$, $\alpha \neq 0$ e $\beta \neq 0$, elementos de $W$:

$w_1 + w_2 = (\alpha, \beta, 2\gamma)$ não pertence a $W$, logo, como $W$ não é fechado com relação à soma, não é subespaço de $\mathbb{R}^3$.

Quod Erat Demonstrandum.

Determinando uma incógnita em uma equação matricial.

Sejam $A =\begin{bmatrix}2^x & -1 & 2^x & 10^{-1}\end{bmatrix}$ e $B =\begin{bmatrix}2^{x + 1} & 2^x & -4 & 20\end{bmatrix}$. Determinar $x$ de modo que $A \cdot B^t = \begin{bmatrix}0\end{bmatrix}$.

$2 \cdot 2^{2x} -5 \cdot 2^x + 2 = 0\ \Rightarrow\ x = -1\ \vee x = 1$

Seja $W = \{(a, b, c) : a \le b \le c\}$ um subconjunto do $\mathbb{R}^3$, mostrar que $W$ não é subespaço do $\mathbb{R}^3$.

$O$ pertence a $W$.

Sejam $(a_i, b_i, c_i)$ e $(a_j, b_j, c_j)$ elementos de $W$. $a_i + a_j \le b_i + b_j \le c_i + c_j$. $W$ é fechado com relação à soma.

No entanto, seja um $k < 0$, $a_i \le b_i \le c_i\ \Rightarrow\ ka_i \ge kb_i \ge kc_i$. Donde concluímos que $W$ não é fechado por multiplicação por escalar. Logo $W$ não é subespaço do $\mathbb{R}^3$.

Quod Erat Demonstrandum.

Seja $W = \{(a, b, c) : a = 2b\}$ um subconjunto do $\mathbb{R}^3$, mostrar que $W$ é subespaço do $\mathbb{R}^3$.

Basta mostrar que $O \in W$, o que é evidente ${\large (I)}$, que $W$ é fechado quanto à multiplicação por escalar, e que $W$ é fechado com relação à soma.

$k(a_i, b_i, c_i) = (ka_i, kb_i, kc_i) = (2kb_i, kb_i, kc_i)$ ${\large (II)}$

$(a_1, b_1, c_1) + (a_2, b_2, c_2) = (a_1 + a_2, b_1 + b_2, c_1 + c_2) = (2(b_1 + b_2), b_1 + b_2, c_1 + c_2)$ ${\large (III)}$

Com ${\large (I)}$, ${\large (II)}$ e ${\large (III)}$, provamos.

Quod Erat Demonstrandum.

Equações paramétricas da cicloide.

Cicloide é o nome dado à curva construída pela trajetória de um ponto na extremidade de uma roda que se desloca sobre uma superfície sem deslizar.

Para obter suas equações paramétricas, basta tomar as equações paramétricas da circunferência e adicionar uma velocidade horizontal de modo que esta velocidade seja a metade da taxa de variação horizontal do ponto para quando $t = \dfrac{\pi}{2}$.

$\begin{cases}x = a + -rt + r\cos t\\ y = b + r\sin t\end{cases}$, $a$ e $b$ parâmetros de translação, $r$ o raio da circunferência, $t \in \mathbb{R}$.

Meme: $\sqrt{x^2} = x$.

 

Meme: fiel à Matemática.

 

Redundante propriedade comutativa de um espaço vetorial.

$u - u = O\ \Rightarrow\ u + \underbrace{v - v}_O - u = O\ \Rightarrow\ u + v\ \underbrace{- (v + u) + (v + u)}_O = v + u\ \Rightarrow$

$\Rightarrow\ \fbox{$ u + v = v + u$}$

Qual o volume de um cone equilátero de geratriz $6\sqrt{3}$?

$r = \dfrac{g}{2} = 3\sqrt{3}$, $h = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot g = 9$.

$V = \dfrac{\pi r^2 h}{3} = \dfrac{243\pi }{3} = \fbox{$81\pi$}$

Meme: mais variáveis para demonstrar o teorema.

 

Um conjunto que não é espaço vetorial.

Seja ${\small V = \{(a_i, b_i) \in \mathbb{R}^2\ :\ (a_k, b_k) + (a_\ell, b_\ell) = (a_k a_\ell, b_k b_\ell)\ \wedge\ \alpha(a_k, b_k) = (\alpha a_k, \alpha b_k),\ \alpha\ \text{escalar}\}}$. Mostrar que $V$ não é espaço vetorial.

Basta mostrar que ao menos um elemento de $V$ não obedece a uma propriedade que caracteriza espaços vetoriais.

Sejam $\beta$ e $\gamma$ escalares:

$\beta (a_1, b_1) + \gamma (a_1, b_1) = (\beta a_1, \beta b_1) + (\gamma a_1, \gamma b_1) = (\beta \gamma a_1^2, \beta \gamma b_1^2) \neq (\beta + \gamma) (a_1, b_1)$.

Quod Erat Demonstandum.

Seja $A = (a_{ij}) = (2i + j)$, Qual o elemento da segunda linha e quarta coluna de $A^t$?

O elemento da segunda linha e quarta coluna de $A^t$ trata-se do elemento da quarta linha e segunda coluna de $A$. Logo:

$a_{42} = 2 \cdot 4 + 2 = 10$.

Determinar $a$ de modo que $r:\ ax + 3y - 7 = 0$ e $s:\ 10x - 6y + 13 = 0$ são retas paralelas.

$\dfrac{a}{3} = -\dfrac{10}{6}\ \Rightarrow\ \fbox{$a = -5$}$