Numa inflação em que os preços sobem $25\%$ ao mês e seu salário permanece inalterado, de quanto diminui o seu poder de compra:
a) Mensalmente?
b) Bimestralmente?
Resolução 1:
a)
Vamos supor que em um mês todo o seu salário custeasse uma compra de valor $P$.
Depois de um mês de inflação, ele teria que desembolsar:
$P'\ =\ (1 + 25\%) P\ =\ 1,25P$
A fração do seu salário original, com poder de compra $P$, com relação ao novo valor que seria suficiente para pagar pelas mesmas mercadorias é:
$\dfrac{P}{1,25P}\ =\ \dfrac{1}{\dfrac{5}{4}}\ =\ \dfrac{4}{5}\ =\ 80\%$
Logo, em um mês, seu poder de compra fica reduzido em $20\%$.
b)
De modo análogo, a fração do poder de compra original com relação ao novo valor decorridos dois meses é de:
$\dfrac{P}{(1 + 25\%)(1 + 25\%)P}\ =\ \dfrac{1}{(\dfrac{5}{4})^2}\ =\ \dfrac{16}{25}$
$\dfrac{16}{25}\ =\ 64\%$
Logo, em dois meses, seu poder de compra fica reduzido em $36\%$.
_____
Resolução 2:
a)
Chamemos de $S$ o salário de um trabalhador, $n$ o número de mercadorias que ele poderá comprar ao preço de $p$. Temos:
$S\ =\ np$.....[1]
Decorrido um mês, o novo preço da mercadoria $p'$, será tal que:
$p'\ =\ (1 + 25\%) p\ =\ \dfrac{5p}{4}$.
Assim, com o mesmo salário, depois de um mês, ele será capaz de comprar $n'$ mercadorias de modo que:
$S\ =\ n'\ \cdot\ p'\ =\ n'\ \cdot\ \dfrac{5p}{4}$.....[2]
Substituindo [1] em [2], teremos:
$np\ =\ n'\ \cdot\ \dfrac{5p}{4}\ \Rightarrow\ \dfrac{n'}{n}\ =\ \dfrac{4}{5}\ =\ 80\%$
Logo, em um mês, seu poder de compra fica reduzido em $20\%$.
b)
De modo análogo:
$np\ =\ n'\ \cdot\ (\dfrac{5}{4})^2\ \cdot\ p\ \Rightarrow\ \dfrac{n'}{n}\ =\ (\dfrac{4}{5})^2\ =\ 64\%$
Logo, em dois meses, seu poder de compra fica reduzido em $36\%$.
terça-feira, 4 de dezembro de 2012
Exercício: inflação e perda do poder de compra.
Numa inflação em que os preços sobem $25\%$ ao mês e seu salário permanece inalterado, de quanto diminui o seu poder de compra:
a) Mensalmente?
b) Bimestralmente?
Resolução 1:
a)
Vamos supor que em um mês todo o seu salário custeasse uma compra de valor $P$.
Depois de um mês de inflação, ele teria que desembolsar:
$P'\ =\ (1 + 25\%) P\ =\ 1,25P$
A fração do seu salário original, com poder de compra $P$, com relação ao novo valor que seria suficiente para pagar pelas mesmas mercadorias é:
$\dfrac{P}{1,25P}\ =\ \dfrac{1}{\dfrac{5}{4}}\ =\ \dfrac{4}{5}\ =\ 80\%$
Logo, em um mês, seu poder de compra fica reduzido em $20\%$.
b)
De modo análogo, a fração do poder de compra original com relação ao novo valor decorridos dois meses é de:
$\dfrac{P}{(1 + 25\%)(1 + 25\%)P}\ =\ \dfrac{1}{(\dfrac{5}{4})^2}\ =\ \dfrac{16}{25}$
$\dfrac{16}{25}\ =\ 64\%$
Logo, em dois meses, seu poder de compra fica reduzido em $36\%$.
_____
Resolução 2:
a)
Chamemos de $S$ o salário de um trabalhador, $n$ o número de mercadorias que ele poderá comprar ao preço de $p$. Temos:
$S\ =\ np$.....[1]
Decorrido um mês, o novo preço da mercadoria $p'$, será tal que:
$p'\ =\ (1 + 25\%) p\ =\ \dfrac{5p}{4}$.
Assim, com o mesmo salário, depois de um mês, ele será capaz de comprar $n'$ mercadorias de modo que:
$S\ =\ n'\ \cdot\ p'\ =\ n'\ \cdot\ \dfrac{5p}{4}$.....[2]
Substituindo [1] em [2], teremos:
$np\ =\ n'\ \cdot\ \dfrac{5p}{4}\ \Rightarrow\ \dfrac{n'}{n}\ =\ \dfrac{4}{5}\ =\ 80\%$
Logo, em um mês, seu poder de compra fica reduzido em $20\%$.
b)
De modo análogo:
$np\ =\ n'\ \cdot\ (\dfrac{5}{4})^2\ \cdot\ p\ \Rightarrow\ \dfrac{n'}{n}\ =\ (\dfrac{4}{5})^2\ =\ 64\%$
Logo, em dois meses, seu poder de compra fica reduzido em $36\%$.
a) Mensalmente?
b) Bimestralmente?
Resolução 1:
a)
Vamos supor que em um mês todo o seu salário custeasse uma compra de valor $P$.
Depois de um mês de inflação, ele teria que desembolsar:
$P'\ =\ (1 + 25\%) P\ =\ 1,25P$
A fração do seu salário original, com poder de compra $P$, com relação ao novo valor que seria suficiente para pagar pelas mesmas mercadorias é:
$\dfrac{P}{1,25P}\ =\ \dfrac{1}{\dfrac{5}{4}}\ =\ \dfrac{4}{5}\ =\ 80\%$
Logo, em um mês, seu poder de compra fica reduzido em $20\%$.
b)
De modo análogo, a fração do poder de compra original com relação ao novo valor decorridos dois meses é de:
$\dfrac{P}{(1 + 25\%)(1 + 25\%)P}\ =\ \dfrac{1}{(\dfrac{5}{4})^2}\ =\ \dfrac{16}{25}$
$\dfrac{16}{25}\ =\ 64\%$
Logo, em dois meses, seu poder de compra fica reduzido em $36\%$.
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Resolução 2:
a)
Chamemos de $S$ o salário de um trabalhador, $n$ o número de mercadorias que ele poderá comprar ao preço de $p$. Temos:
$S\ =\ np$.....[1]
Decorrido um mês, o novo preço da mercadoria $p'$, será tal que:
$p'\ =\ (1 + 25\%) p\ =\ \dfrac{5p}{4}$.
Assim, com o mesmo salário, depois de um mês, ele será capaz de comprar $n'$ mercadorias de modo que:
$S\ =\ n'\ \cdot\ p'\ =\ n'\ \cdot\ \dfrac{5p}{4}$.....[2]
Substituindo [1] em [2], teremos:
$np\ =\ n'\ \cdot\ \dfrac{5p}{4}\ \Rightarrow\ \dfrac{n'}{n}\ =\ \dfrac{4}{5}\ =\ 80\%$
Logo, em um mês, seu poder de compra fica reduzido em $20\%$.
b)
De modo análogo:
$np\ =\ n'\ \cdot\ (\dfrac{5}{4})^2\ \cdot\ p\ \Rightarrow\ \dfrac{n'}{n}\ =\ (\dfrac{4}{5})^2\ =\ 64\%$
Logo, em dois meses, seu poder de compra fica reduzido em $36\%$.
Exercício: densidade de tráfego.
(UFRJ) A figura abaixo mostra um trecho de uma malha rodoviária de mão única. Dos veículos que passam por A, $45\%$ viram à esquerda. Dos veículos que passam por B, $35\%$ viram à esquerda. Daqueles que trafegam por C, $30\%$ dobram à esquerda.
Determine o percentual dos veículos que, passando por A, entram em E.
Resolução:
Pelo caminho BE passarão $45\%\ \cdot\ (1 - 35\%)\ =\ 29,25\%$
Pelo caminho CE passarão $(1 - 45\%)\ \cdot\ 30\%\ =\ 16,5\%$
Logo, do total de veículos que entram por A, $29,25\%\ +\ 16,5\%\ =\ 45,75\%$ passarão por E.
Determine o percentual dos veículos que, passando por A, entram em E.
Resolução:
Pelo caminho BE passarão $45\%\ \cdot\ (1 - 35\%)\ =\ 29,25\%$
Pelo caminho CE passarão $(1 - 45\%)\ \cdot\ 30\%\ =\ 16,5\%$
Logo, do total de veículos que entram por A, $29,25\%\ +\ 16,5\%\ =\ 45,75\%$ passarão por E.
Exercício: densidade de tráfego.
(UFRJ) A figura abaixo mostra um trecho de uma malha rodoviária de mão única. Dos veículos que passam por A, $45\%$ viram à esquerda. Dos veículos que passam por B, $35\%$ viram à esquerda. Daqueles que trafegam por C, $30\%$ dobram à esquerda.
Determine o percentual dos veículos que, passando por A, entram em E.
Resolução:
Pelo caminho BE passarão $45\%\ \cdot\ (1 - 35\%)\ =\ 29,25\%$
Pelo caminho CE passarão $(1 - 45\%)\ \cdot\ 30\%\ =\ 16,5\%$
Logo, do total de veículos que entram por A, $29,25\%\ +\ 16,5\%\ =\ 45,75\%$ passarão por E.
Determine o percentual dos veículos que, passando por A, entram em E.
Resolução:
Pelo caminho BE passarão $45\%\ \cdot\ (1 - 35\%)\ =\ 29,25\%$
Pelo caminho CE passarão $(1 - 45\%)\ \cdot\ 30\%\ =\ 16,5\%$
Logo, do total de veículos que entram por A, $29,25\%\ +\ 16,5\%\ =\ 45,75\%$ passarão por E.
Exercício: juros ocultos.
(UFRJ) Uma loja oferece duas formas de pagamento para seus clientes: à vista ou em duas parcelas iguais. A loja anuncia, na sua vitrine, um vestido por um preço total de $R\$\ 200,00$ para pagamento em duas vezes, sendo $R\$\ 100,00$ no ato da compra e $R\$\ 100,00$ trinta dias após essa data. Para pagamento à vista, a loja oferece um desconto de $10\%$ sobre o preço total de $R\$\ 200,00$, anunciado na vitrine. Considerando o preço à vista como o preço real do vestido, determine a taxa de juros cobrada pela loja no pagamento em duas vezes.
Resolução:
Pagos à vida $R\$\ 100,00$, sobram $R\$\ 100,00$ para pagamento trinta dias após a compra, mas como o preço real é de $(1 - 10\%)\ \cdot\ 200\ =\ R\$\ 180,00$, sobram na verdade $R\$\ 80,00$ de débito para serem quitados. Ou seja, o comprador pagará de juros $R\$\ 20,00$.
Pagará $ \dfrac{20}{80}\ =\ \dfrac{1}{4}\ =\ 25\ \% $ de juros.
Resolução:
Pagos à vida $R\$\ 100,00$, sobram $R\$\ 100,00$ para pagamento trinta dias após a compra, mas como o preço real é de $(1 - 10\%)\ \cdot\ 200\ =\ R\$\ 180,00$, sobram na verdade $R\$\ 80,00$ de débito para serem quitados. Ou seja, o comprador pagará de juros $R\$\ 20,00$.
Pagará $ \dfrac{20}{80}\ =\ \dfrac{1}{4}\ =\ 25\ \% $ de juros.
Exercício: juros ocultos.
(UFRJ) Uma loja oferece duas formas de pagamento para seus clientes: à vista ou em duas parcelas iguais. A loja anuncia, na sua vitrine, um vestido por um preço total de $R\$\ 200,00$ para pagamento em duas vezes, sendo $R\$\ 100,00$ no ato da compra e $R\$\ 100,00$ trinta dias após essa data. Para pagamento à vista, a loja oferece um desconto de $10\%$ sobre o preço total de $R\$\ 200,00$, anunciado na vitrine. Considerando o preço à vista como o preço real do vestido, determine a taxa de juros cobrada pela loja no pagamento em duas vezes.
Resolução:
Pagos à vida $R\$\ 100,00$, sobram $R\$\ 100,00$ para pagamento trinta dias após a compra, mas como o preço real é de $(1 - 10\%)\ \cdot\ 200\ =\ R\$\ 180,00$, sobram na verdade $R\$\ 80,00$ de débito para serem quitados. Ou seja, o comprador pagará de juros $R\$\ 20,00$.
Pagará $ \dfrac{20}{80}\ =\ \dfrac{1}{4}\ =\ 25\ \% $ de juros.
Resolução:
Pagos à vida $R\$\ 100,00$, sobram $R\$\ 100,00$ para pagamento trinta dias após a compra, mas como o preço real é de $(1 - 10\%)\ \cdot\ 200\ =\ R\$\ 180,00$, sobram na verdade $R\$\ 80,00$ de débito para serem quitados. Ou seja, o comprador pagará de juros $R\$\ 20,00$.
Pagará $ \dfrac{20}{80}\ =\ \dfrac{1}{4}\ =\ 25\ \% $ de juros.
segunda-feira, 3 de dezembro de 2012
Exercício: evaporação de uma solução e aumento da salinidade.
(Unicamp-SP) Uma quantidade de $6240$ litros de água apresentava um índice de salinidade de $12\%$. Devido à evaporação esse índice subiu para $18\%$. Calcule, em litros, a quantidade de água que evaporou.
Resolução:
Chamemos de $a$ a quantidade em volume de água da solução, $s$ a quantidade em volume de sal, e $e$ a quantidade em volume de água que evaporou. Temos:
$\dfrac{s}{a}\ =\ 12\%$.....[1]
$\dfrac{s}{a - e}\ =\ 18\%$
Delas podemos concluir:
$\dfrac{a}{s}\ =\ \dfrac{100}{12}$.....[2]
$\dfrac{a - e}{s}\ =\ \dfrac{a}{s}\ -\ \dfrac{e}{s}\ =\ \dfrac{100}{18}$.....[3]
Substituindo [2] em [3]:
$\dfrac{e}{s}\ =\ \dfrac{100}{12}\ -\ \dfrac{100}{18}\ =\ \dfrac{100}{36}$
$e\ =\ s\ \cdot\ \dfrac{100}{36}$.....[4]
Substituindo [1] em [4]:
$e\ =\ a\ \cdot\ \dfrac{12}{100}\ \cdot\ \dfrac{100}{36}\ =\ \dfrac{a}{3}$
Logo:
$e\ =\ \dfrac{6240}{3}\ =\ 2080\ \ell$
Resolução:
Chamemos de $a$ a quantidade em volume de água da solução, $s$ a quantidade em volume de sal, e $e$ a quantidade em volume de água que evaporou. Temos:
$\dfrac{s}{a}\ =\ 12\%$.....[1]
$\dfrac{s}{a - e}\ =\ 18\%$
Delas podemos concluir:
$\dfrac{a}{s}\ =\ \dfrac{100}{12}$.....[2]
$\dfrac{a - e}{s}\ =\ \dfrac{a}{s}\ -\ \dfrac{e}{s}\ =\ \dfrac{100}{18}$.....[3]
Substituindo [2] em [3]:
$\dfrac{e}{s}\ =\ \dfrac{100}{12}\ -\ \dfrac{100}{18}\ =\ \dfrac{100}{36}$
$e\ =\ s\ \cdot\ \dfrac{100}{36}$.....[4]
Substituindo [1] em [4]:
$e\ =\ a\ \cdot\ \dfrac{12}{100}\ \cdot\ \dfrac{100}{36}\ =\ \dfrac{a}{3}$
Logo:
$e\ =\ \dfrac{6240}{3}\ =\ 2080\ \ell$
Exercício: evaporação de uma solução e aumento da salinidade.
(Unicamp-SP) Uma quantidade de $6240$ litros de água apresentava um índice de salinidade de $12\%$. Devido à evaporação esse índice subiu para $18\%$. Calcule, em litros, a quantidade de água que evaporou.
Resolução:
Chamemos de $a$ a quantidade em volume de água da solução, $s$ a quantidade em volume de sal, e $e$ a quantidade em volume de água que evaporou. Temos:
$\dfrac{s}{a}\ =\ 12\%$.....[1]
$\dfrac{s}{a - e}\ =\ 18\%$
Delas podemos concluir:
$\dfrac{a}{s}\ =\ \dfrac{100}{12}$.....[2]
$\dfrac{a - e}{s}\ =\ \dfrac{a}{s}\ -\ \dfrac{e}{s}\ =\ \dfrac{100}{18}$.....[3]
Substituindo [2] em [3]:
$\dfrac{e}{s}\ =\ \dfrac{100}{12}\ -\ \dfrac{100}{18}\ =\ \dfrac{100}{36}$
$e\ =\ s\ \cdot\ \dfrac{100}{36}$.....[4]
Substituindo [1] em [4]:
$e\ =\ a\ \cdot\ \dfrac{12}{100}\ \cdot\ \dfrac{100}{36}\ =\ \dfrac{a}{3}$
Logo:
$e\ =\ \dfrac{6240}{3}\ =\ 2080\ \ell$
Resolução:
Chamemos de $a$ a quantidade em volume de água da solução, $s$ a quantidade em volume de sal, e $e$ a quantidade em volume de água que evaporou. Temos:
$\dfrac{s}{a}\ =\ 12\%$.....[1]
$\dfrac{s}{a - e}\ =\ 18\%$
Delas podemos concluir:
$\dfrac{a}{s}\ =\ \dfrac{100}{12}$.....[2]
$\dfrac{a - e}{s}\ =\ \dfrac{a}{s}\ -\ \dfrac{e}{s}\ =\ \dfrac{100}{18}$.....[3]
Substituindo [2] em [3]:
$\dfrac{e}{s}\ =\ \dfrac{100}{12}\ -\ \dfrac{100}{18}\ =\ \dfrac{100}{36}$
$e\ =\ s\ \cdot\ \dfrac{100}{36}$.....[4]
Substituindo [1] em [4]:
$e\ =\ a\ \cdot\ \dfrac{12}{100}\ \cdot\ \dfrac{100}{36}\ =\ \dfrac{a}{3}$
Logo:
$e\ =\ \dfrac{6240}{3}\ =\ 2080\ \ell$
Exercício: aumento da área com aumento dos lados de um retângulo.
Se a base de um retângulo aumentar $10\%$ e a altura, $20\%$, sua área aumentará em quanto?
Resolução:
Chamemos $A$ a área do retângulo, $b$ a base, e $h$ a altura.
$b'\ =\ (1 + 10\%)\ \cdot\ b$ será a nova base.
$h'\ =\ (1 + 20\%)\ \cdot\ h$ será a nova altura.
$A'\ =\ b'\ \cdot\ h'$ será a nova área.
$b'\ \cdot\ h'\ =\ (1 + \dfrac{10}{100})(1 + \dfrac{20}{100})\ \cdot\ bh$
$b'\ \cdot\ h'\ =\ \dfrac{11}{10}\ \cdot\ \dfrac{6}{5}\ \cdot\ bh$
$A'\ =\ \dfrac{66}{50}\ \cdot\ A$
O aumento percentual será dado por:
$(\dfrac{66}{50}\ -\ 1)\ =\ 32\%$
Resolução:
Chamemos $A$ a área do retângulo, $b$ a base, e $h$ a altura.
$b'\ =\ (1 + 10\%)\ \cdot\ b$ será a nova base.
$h'\ =\ (1 + 20\%)\ \cdot\ h$ será a nova altura.
$A'\ =\ b'\ \cdot\ h'$ será a nova área.
$b'\ \cdot\ h'\ =\ (1 + \dfrac{10}{100})(1 + \dfrac{20}{100})\ \cdot\ bh$
$b'\ \cdot\ h'\ =\ \dfrac{11}{10}\ \cdot\ \dfrac{6}{5}\ \cdot\ bh$
$A'\ =\ \dfrac{66}{50}\ \cdot\ A$
O aumento percentual será dado por:
$(\dfrac{66}{50}\ -\ 1)\ =\ 32\%$
Exercício: aumento da área com aumento dos lados de um retângulo.
Se a base de um retângulo aumentar $10\%$ e a altura, $20\%$, sua área aumentará em quanto?
Resolução:
Chamemos $A$ a área do retângulo, $b$ a base, e $h$ a altura.
$b'\ =\ (1 + 10\%)\ \cdot\ b$ será a nova base.
$h'\ =\ (1 + 20\%)\ \cdot\ h$ será a nova altura.
$A'\ =\ b'\ \cdot\ h'$ será a nova área.
$b'\ \cdot\ h'\ =\ (1 + \dfrac{10}{100})(1 + \dfrac{20}{100})\ \cdot\ bh$
$b'\ \cdot\ h'\ =\ \dfrac{11}{10}\ \cdot\ \dfrac{6}{5}\ \cdot\ bh$
$A'\ =\ \dfrac{66}{50}\ \cdot\ A$
O aumento percentual será dado por:
$(\dfrac{66}{50}\ -\ 1)\ =\ 32\%$
Resolução:
Chamemos $A$ a área do retângulo, $b$ a base, e $h$ a altura.
$b'\ =\ (1 + 10\%)\ \cdot\ b$ será a nova base.
$h'\ =\ (1 + 20\%)\ \cdot\ h$ será a nova altura.
$A'\ =\ b'\ \cdot\ h'$ será a nova área.
$b'\ \cdot\ h'\ =\ (1 + \dfrac{10}{100})(1 + \dfrac{20}{100})\ \cdot\ bh$
$b'\ \cdot\ h'\ =\ \dfrac{11}{10}\ \cdot\ \dfrac{6}{5}\ \cdot\ bh$
$A'\ =\ \dfrac{66}{50}\ \cdot\ A$
O aumento percentual será dado por:
$(\dfrac{66}{50}\ -\ 1)\ =\ 32\%$
domingo, 2 de dezembro de 2012
Exercício: câmara escura com orifício.
Um objeto linear encontra-se a $15\ cm$ de uma câmara escura de orifício e sua imagem projetada tem altura $i_1$. Aumentando-se a distância do objeto à câmara para $20\ cm$, a altura da imagem passa a ser $i_2$. Determine a relação $\dfrac{i_1}{i_2}$.
Resolução:
Chamando $i$ o tamanho da imagem projetada, $o$ o tamanho do objeto, $d'$ a distância do orifício à imagem, e $d$ a distância do objeto ao orifício, conhecemos a relação:
$\dfrac{i}{o}\ =\ \dfrac{d'}{d}$
No problema citado $i$ e $d$ serão variáveis, e $o$ e $d'$ constantes.
Modificando a relação fundamental, teremos:
$i\ \cdot\ d\ =\ o\ \cdot\ d'$
Ou seja, $i$ e $d$ são inversamente proporcionais.
Se $d$ alterou seu valor de $15$ para $20$, foi multiplicada pelo fator $\dfrac{4}{3}$, logo $i$ terá seu novo valor dividido pelo mesmo valor, ou seja:
$i_2 = \dfrac{i_1}{\dfrac{4}{3}}$
Logo:
$\dfrac{i_1}{i_2}\ =\ \dfrac{4}{3}$
Resolução:
Chamando $i$ o tamanho da imagem projetada, $o$ o tamanho do objeto, $d'$ a distância do orifício à imagem, e $d$ a distância do objeto ao orifício, conhecemos a relação:
$\dfrac{i}{o}\ =\ \dfrac{d'}{d}$
No problema citado $i$ e $d$ serão variáveis, e $o$ e $d'$ constantes.
Modificando a relação fundamental, teremos:
$i\ \cdot\ d\ =\ o\ \cdot\ d'$
Ou seja, $i$ e $d$ são inversamente proporcionais.
Se $d$ alterou seu valor de $15$ para $20$, foi multiplicada pelo fator $\dfrac{4}{3}$, logo $i$ terá seu novo valor dividido pelo mesmo valor, ou seja:
$i_2 = \dfrac{i_1}{\dfrac{4}{3}}$
Logo:
$\dfrac{i_1}{i_2}\ =\ \dfrac{4}{3}$
Exercício: câmara escura com orifício.
Um objeto linear encontra-se a $15\ cm$ de uma câmara escura de orifício e sua imagem projetada tem altura $i_1$. Aumentando-se a distância do objeto à câmara para $20\ cm$, a altura da imagem passa a ser $i_2$. Determine a relação $\dfrac{i_1}{i_2}$.
Resolução:
Chamando $i$ o tamanho da imagem projetada, $o$ o tamanho do objeto, $d'$ a distância do orifício à imagem, e $d$ a distância do objeto ao orifício, conhecemos a relação:
$\dfrac{i}{o}\ =\ \dfrac{d'}{d}$
No problema citado $i$ e $d$ serão variáveis, e $o$ e $d'$ constantes.
Modificando a relação fundamental, teremos:
$i\ \cdot\ d\ =\ o\ \cdot\ d'$
Ou seja, $i$ e $d$ são inversamente proporcionais.
Se $d$ alterou seu valor de $15$ para $20$, foi multiplicada pelo fator $\dfrac{4}{3}$, logo $i$ terá seu novo valor dividido pelo mesmo valor, ou seja:
$i_2 = \dfrac{i_1}{\dfrac{4}{3}}$
Logo:
$\dfrac{i_1}{i_2}\ =\ \dfrac{4}{3}$
Resolução:
Chamando $i$ o tamanho da imagem projetada, $o$ o tamanho do objeto, $d'$ a distância do orifício à imagem, e $d$ a distância do objeto ao orifício, conhecemos a relação:
$\dfrac{i}{o}\ =\ \dfrac{d'}{d}$
No problema citado $i$ e $d$ serão variáveis, e $o$ e $d'$ constantes.
Modificando a relação fundamental, teremos:
$i\ \cdot\ d\ =\ o\ \cdot\ d'$
Ou seja, $i$ e $d$ são inversamente proporcionais.
Se $d$ alterou seu valor de $15$ para $20$, foi multiplicada pelo fator $\dfrac{4}{3}$, logo $i$ terá seu novo valor dividido pelo mesmo valor, ou seja:
$i_2 = \dfrac{i_1}{\dfrac{4}{3}}$
Logo:
$\dfrac{i_1}{i_2}\ =\ \dfrac{4}{3}$
Exercício: duas torneiras enchendo um tanque.
Uma torneira enche um tanque em $4$ horas. outra torneira enche o mesmo tanque em $6$ horas. Em quanto tempo as duas torneiras encherão o tanque se forem abertas simultaneamente?
_____
Resolução 1:
Chamemos de $v_1$ a vazão da primeira torneira, $v_2$ a vazão da segunda torneira, e $C$ a capacidade do tanque.
$v_1\ =\ \dfrac{C}{4}$
$v_2\ =\ \dfrac{C}{6}$
Somando as duas vazões, teremos:
$v_1 + v_2\ =\ \dfrac{C}{4} + \dfrac{C}{6}\ =\ \dfrac{5C}{12}$
Como desejamos conhecer o tempo para preenchimento da capacidade $C$, teremos:
$v_1 + v_2\ =\ \dfrac{5C}{12}\ \cdot\ \dfrac{5}{5}\ =\ \dfrac{C}{\dfrac{12}{5}}$
Logo o tempo será $\dfrac{12}{5}\ =\ 2,4$ horas, ou 2 horas e 24 minutos.
_____
Resolução 2:
Em 1 hora a primeira torneira encherá $\dfrac{1}{4}$ do tanque.
Em 1 hora a segunda torneira encherá $\dfrac{1}{6}$ do tanque.
Em 1 hora as duas torneiras juntas encherão $\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{12}$ do tanque.
Em $\dfrac{1}{5}$ de hora as duas torneiras encherão $\dfrac{1}{12}$ do tanque.
Em $\dfrac{12}{5}$ de hora as duas torneiras encherão $\dfrac{12}{12} = 1$ do tanque.
$\dfrac{12}{5}\ =\ 2,4$
_____
Resolução 1:
Chamemos de $v_1$ a vazão da primeira torneira, $v_2$ a vazão da segunda torneira, e $C$ a capacidade do tanque.
$v_1\ =\ \dfrac{C}{4}$
$v_2\ =\ \dfrac{C}{6}$
Somando as duas vazões, teremos:
$v_1 + v_2\ =\ \dfrac{C}{4} + \dfrac{C}{6}\ =\ \dfrac{5C}{12}$
Como desejamos conhecer o tempo para preenchimento da capacidade $C$, teremos:
$v_1 + v_2\ =\ \dfrac{5C}{12}\ \cdot\ \dfrac{5}{5}\ =\ \dfrac{C}{\dfrac{12}{5}}$
Logo o tempo será $\dfrac{12}{5}\ =\ 2,4$ horas, ou 2 horas e 24 minutos.
_____
Resolução 2:
Em 1 hora a primeira torneira encherá $\dfrac{1}{4}$ do tanque.
Em 1 hora a segunda torneira encherá $\dfrac{1}{6}$ do tanque.
Em 1 hora as duas torneiras juntas encherão $\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{12}$ do tanque.
Em $\dfrac{1}{5}$ de hora as duas torneiras encherão $\dfrac{1}{12}$ do tanque.
Em $\dfrac{12}{5}$ de hora as duas torneiras encherão $\dfrac{12}{12} = 1$ do tanque.
$\dfrac{12}{5}\ =\ 2,4$
Exercício: duas torneiras enchendo um tanque.
Uma torneira enche um tanque em $4$ horas. outra torneira enche o mesmo tanque em $6$ horas. Em quanto tempo as duas torneiras encherão o tanque se forem abertas simultaneamente?
_____
Resolução 1:
Chamemos de $v_1$ a vazão da primeira torneira, $v_2$ a vazão da segunda torneira, e $C$ a capacidade do tanque.
$v_1\ =\ \dfrac{C}{4}$
$v_2\ =\ \dfrac{C}{6}$
Somando as duas vazões, teremos:
$v_1 + v_2\ =\ \dfrac{C}{4} + \dfrac{C}{6}\ =\ \dfrac{5C}{12}$
Como desejamos conhecer o tempo para preenchimento da capacidade $C$, teremos:
$v_1 + v_2\ =\ \dfrac{5C}{12}\ \cdot\ \dfrac{5}{5}\ =\ \dfrac{C}{\dfrac{12}{5}}$
Logo o tempo será $\dfrac{12}{5}\ =\ 2,4$ horas, ou 2 horas e 24 minutos.
_____
Resolução 2:
Em 1 hora a primeira torneira encherá $\dfrac{1}{4}$ do tanque.
Em 1 hora a segunda torneira encherá $\dfrac{1}{6}$ do tanque.
Em 1 hora as duas torneiras juntas encherão $\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{12}$ do tanque.
Em $\dfrac{1}{5}$ de hora as duas torneiras encherão $\dfrac{1}{12}$ do tanque.
Em $\dfrac{12}{5}$ de hora as duas torneiras encherão $\dfrac{12}{12} = 1$ do tanque.
$\dfrac{12}{5}\ =\ 2,4$
_____
Resolução 1:
Chamemos de $v_1$ a vazão da primeira torneira, $v_2$ a vazão da segunda torneira, e $C$ a capacidade do tanque.
$v_1\ =\ \dfrac{C}{4}$
$v_2\ =\ \dfrac{C}{6}$
Somando as duas vazões, teremos:
$v_1 + v_2\ =\ \dfrac{C}{4} + \dfrac{C}{6}\ =\ \dfrac{5C}{12}$
Como desejamos conhecer o tempo para preenchimento da capacidade $C$, teremos:
$v_1 + v_2\ =\ \dfrac{5C}{12}\ \cdot\ \dfrac{5}{5}\ =\ \dfrac{C}{\dfrac{12}{5}}$
Logo o tempo será $\dfrac{12}{5}\ =\ 2,4$ horas, ou 2 horas e 24 minutos.
_____
Resolução 2:
Em 1 hora a primeira torneira encherá $\dfrac{1}{4}$ do tanque.
Em 1 hora a segunda torneira encherá $\dfrac{1}{6}$ do tanque.
Em 1 hora as duas torneiras juntas encherão $\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{12}$ do tanque.
Em $\dfrac{1}{5}$ de hora as duas torneiras encherão $\dfrac{1}{12}$ do tanque.
Em $\dfrac{12}{5}$ de hora as duas torneiras encherão $\dfrac{12}{12} = 1$ do tanque.
$\dfrac{12}{5}\ =\ 2,4$
Exercício: calcular: $\sum_{i=1}^4 (5i-1)$.
Pela força-bruta teremos:
$S\ =\ \sum_{i=1}^4 (5i-1)\ =\ (5\ \cdot\ 1\ -\ 1)\ +\ (5\ \cdot\ 2\ -\ 1)\ +$
$+\ (5\ \cdot\ 3\ -\ 1)\ +\ (5\ \cdot\ 4\ -\ 1)$
$S = 4 + 9 + 14 + 19 = 46$
Mas usando as propriedades do somatório podemos refinar os cálculos:
$\sum_{i=1}^4 (5i-1)\ =\ (\sum_{i=1}^4 5i) - 4\ =\ 5(\sum_{i=1}^4 i) - 4$
$(\sum_{i=1}^4 i)$ é a soma dos 4 primeiros inteiros positivos. A fórmula genérica para tal cálculo é:
$\sum_{i=1}^n i\ =\ \dfrac{n(n+1)}{2}$
Logo:
$S = 5 \dfrac{4\ \cdot\ 5}{2} - 4\ =\ 46$
$S\ =\ \sum_{i=1}^4 (5i-1)\ =\ (5\ \cdot\ 1\ -\ 1)\ +\ (5\ \cdot\ 2\ -\ 1)\ +$
$+\ (5\ \cdot\ 3\ -\ 1)\ +\ (5\ \cdot\ 4\ -\ 1)$
$S = 4 + 9 + 14 + 19 = 46$
Mas usando as propriedades do somatório podemos refinar os cálculos:
$\sum_{i=1}^4 (5i-1)\ =\ (\sum_{i=1}^4 5i) - 4\ =\ 5(\sum_{i=1}^4 i) - 4$
$(\sum_{i=1}^4 i)$ é a soma dos 4 primeiros inteiros positivos. A fórmula genérica para tal cálculo é:
$\sum_{i=1}^n i\ =\ \dfrac{n(n+1)}{2}$
Logo:
$S = 5 \dfrac{4\ \cdot\ 5}{2} - 4\ =\ 46$
Exercício: calcular: $\sum_{i=1}^4 (5i-1)$.
Pela força-bruta teremos:
$S\ =\ \sum_{i=1}^4 (5i-1)\ =\ (5\ \cdot\ 1\ -\ 1)\ +\ (5\ \cdot\ 2\ -\ 1)\ +$
$+\ (5\ \cdot\ 3\ -\ 1)\ +\ (5\ \cdot\ 4\ -\ 1)$
$S = 4 + 9 + 14 + 19 = 46$
Mas usando as propriedades do somatório podemos refinar os cálculos:
$\sum_{i=1}^4 (5i-1)\ =\ (\sum_{i=1}^4 5i) - 4\ =\ 5(\sum_{i=1}^4 i) - 4$
$(\sum_{i=1}^4 i)$ é a soma dos 4 primeiros inteiros positivos. A fórmula genérica para tal cálculo é:
$\sum_{i=1}^n i\ =\ \dfrac{n(n+1)}{2}$
Logo:
$S = 5 \dfrac{4\ \cdot\ 5}{2} - 4\ =\ 46$
$S\ =\ \sum_{i=1}^4 (5i-1)\ =\ (5\ \cdot\ 1\ -\ 1)\ +\ (5\ \cdot\ 2\ -\ 1)\ +$
$+\ (5\ \cdot\ 3\ -\ 1)\ +\ (5\ \cdot\ 4\ -\ 1)$
$S = 4 + 9 + 14 + 19 = 46$
Mas usando as propriedades do somatório podemos refinar os cálculos:
$\sum_{i=1}^4 (5i-1)\ =\ (\sum_{i=1}^4 5i) - 4\ =\ 5(\sum_{i=1}^4 i) - 4$
$(\sum_{i=1}^4 i)$ é a soma dos 4 primeiros inteiros positivos. A fórmula genérica para tal cálculo é:
$\sum_{i=1}^n i\ =\ \dfrac{n(n+1)}{2}$
Logo:
$S = 5 \dfrac{4\ \cdot\ 5}{2} - 4\ =\ 46$
Exercício: resolver: $x^2 - 4x + \sqrt{x^2 - 4x + 11} = 9$.
Resolver no universo $\mathbb{R}$:
$x^2 - 4x + \sqrt{x^2 - 4x + 11} = 9$
Resolução:
Chamemos $x^2 - 4x$ de $y$. Teremos então:
$y + \sqrt{y + 11} = 9$
$y - 9 = - \sqrt{y + 11}$
$(y - 9)^2 = (- \sqrt{y + 11})^2$
$y^2 - 18y + 81 = y + 11$
$y^2 - 19y + 70 = 0$
Donde $y = 14$ ou $y = 5$.
Como a identidade foi exponenciada a um operador par, devemos verificar se foram acrescentadas à nova identidade raízes falsas.
Tomando $y = 14$, teremos:
$14 + \sqrt{14 + 11} = 9\ \Rightarrow\ 14 + 5 = 9$
O que é uma falsidade.
Tomando agora $y = 5$, teremos:
$5 + \sqrt{5 + 11} = 9\ \Rightarrow\ 5 + 4 = 9$
Logo $y = 5$ é a única raiz da equação em $y$.
Tomando agora $5 = x^2 - 4x$, teremos $x^2 - 4x - 5 = 0$, donde:
$S\ =\ \{5\ ,\ -1\}$
$x^2 - 4x + \sqrt{x^2 - 4x + 11} = 9$
Resolução:
Chamemos $x^2 - 4x$ de $y$. Teremos então:
$y + \sqrt{y + 11} = 9$
$y - 9 = - \sqrt{y + 11}$
$(y - 9)^2 = (- \sqrt{y + 11})^2$
$y^2 - 18y + 81 = y + 11$
$y^2 - 19y + 70 = 0$
Donde $y = 14$ ou $y = 5$.
Como a identidade foi exponenciada a um operador par, devemos verificar se foram acrescentadas à nova identidade raízes falsas.
Tomando $y = 14$, teremos:
$14 + \sqrt{14 + 11} = 9\ \Rightarrow\ 14 + 5 = 9$
O que é uma falsidade.
Tomando agora $y = 5$, teremos:
$5 + \sqrt{5 + 11} = 9\ \Rightarrow\ 5 + 4 = 9$
Logo $y = 5$ é a única raiz da equação em $y$.
Tomando agora $5 = x^2 - 4x$, teremos $x^2 - 4x - 5 = 0$, donde:
$S\ =\ \{5\ ,\ -1\}$
Exercício: resolver: $x^2 - 4x + \sqrt{x^2 - 4x + 11} = 9$.
Resolver no universo $\mathbb{R}$:
$x^2 - 4x + \sqrt{x^2 - 4x + 11} = 9$
Resolução:
Chamemos $x^2 - 4x$ de $y$. Teremos então:
$y + \sqrt{y + 11} = 9$
$y - 9 = - \sqrt{y + 11}$
$(y - 9)^2 = (- \sqrt{y + 11})^2$
$y^2 - 18y + 81 = y + 11$
$y^2 - 19y + 70 = 0$
Donde $y = 14$ ou $y = 5$.
Como a identidade foi exponenciada a um operador par, devemos verificar se foram acrescentadas à nova identidade raízes falsas.
Tomando $y = 14$, teremos:
$14 + \sqrt{14 + 11} = 9\ \Rightarrow\ 14 + 5 = 9$
O que é uma falsidade.
Tomando agora $y = 5$, teremos:
$5 + \sqrt{5 + 11} = 9\ \Rightarrow\ 5 + 4 = 9$
Logo $y = 5$ é a única raiz da equação em $y$.
Tomando agora $5 = x^2 - 4x$, teremos $x^2 - 4x - 5 = 0$, donde:
$S\ =\ \{5\ ,\ -1\}$
$x^2 - 4x + \sqrt{x^2 - 4x + 11} = 9$
Resolução:
Chamemos $x^2 - 4x$ de $y$. Teremos então:
$y + \sqrt{y + 11} = 9$
$y - 9 = - \sqrt{y + 11}$
$(y - 9)^2 = (- \sqrt{y + 11})^2$
$y^2 - 18y + 81 = y + 11$
$y^2 - 19y + 70 = 0$
Donde $y = 14$ ou $y = 5$.
Como a identidade foi exponenciada a um operador par, devemos verificar se foram acrescentadas à nova identidade raízes falsas.
Tomando $y = 14$, teremos:
$14 + \sqrt{14 + 11} = 9\ \Rightarrow\ 14 + 5 = 9$
O que é uma falsidade.
Tomando agora $y = 5$, teremos:
$5 + \sqrt{5 + 11} = 9\ \Rightarrow\ 5 + 4 = 9$
Logo $y = 5$ é a única raiz da equação em $y$.
Tomando agora $5 = x^2 - 4x$, teremos $x^2 - 4x - 5 = 0$, donde:
$S\ =\ \{5\ ,\ -1\}$
sábado, 1 de dezembro de 2012
Exercício: desistência do churrasco.
Um grupo de amigos se reuniu para organizar um churrasco que custou $R\$\ 180,00$, em cima da hora, três amigos desistiram, fazendo com que a despesa de cada um dos outros aumentasse em $R\$\ 2,00$. Quantos eram os amigos no grupo inicial?
Resolução:
Chamemos de $n$ o número de amigos, e de $p$ o preço cobrado de cada um deles.
Inicialmente tínhamos:
$n\ \cdot\ p\ =\ 180$ [1]
Após a desistência e do acréscimo do preço para custear o projeto inicial, teremos:
$(p+2)(n-3)\ =\ 180$ [2]
Substituindo [1] em [2], teremos:
$(\dfrac{180}{n} + 2)(n-3)\ =\ 180$
$n^2 - 3n - 270 = 0$
Admitindo apenas o valor positivo para $n$, teremos $S\ =\ \{18\}$.
Resolução:
Chamemos de $n$ o número de amigos, e de $p$ o preço cobrado de cada um deles.
Inicialmente tínhamos:
$n\ \cdot\ p\ =\ 180$ [1]
Após a desistência e do acréscimo do preço para custear o projeto inicial, teremos:
$(p+2)(n-3)\ =\ 180$ [2]
Substituindo [1] em [2], teremos:
$(\dfrac{180}{n} + 2)(n-3)\ =\ 180$
$n^2 - 3n - 270 = 0$
Admitindo apenas o valor positivo para $n$, teremos $S\ =\ \{18\}$.
Exercício: desistência do churrasco.
Um grupo de amigos se reuniu para organizar um churrasco que custou $R\$\ 180,00$, em cima da hora, três amigos desistiram, fazendo com que a despesa de cada um dos outros aumentasse em $R\$\ 2,00$. Quantos eram os amigos no grupo inicial?
Resolução:
Chamemos de $n$ o número de amigos, e de $p$ o preço cobrado de cada um deles.
Inicialmente tínhamos:
$n\ \cdot\ p\ =\ 180$ [1]
Após a desistência e do acréscimo do preço para custear o projeto inicial, teremos:
$(p+2)(n-3)\ =\ 180$ [2]
Substituindo [1] em [2], teremos:
$(\dfrac{180}{n} + 2)(n-3)\ =\ 180$
$n^2 - 3n - 270 = 0$
Admitindo apenas o valor positivo para $n$, teremos $S\ =\ \{18\}$.
Resolução:
Chamemos de $n$ o número de amigos, e de $p$ o preço cobrado de cada um deles.
Inicialmente tínhamos:
$n\ \cdot\ p\ =\ 180$ [1]
Após a desistência e do acréscimo do preço para custear o projeto inicial, teremos:
$(p+2)(n-3)\ =\ 180$ [2]
Substituindo [1] em [2], teremos:
$(\dfrac{180}{n} + 2)(n-3)\ =\ 180$
$n^2 - 3n - 270 = 0$
Admitindo apenas o valor positivo para $n$, teremos $S\ =\ \{18\}$.
Exercício: equação do 2º grau: operações entre raízes.
Sendo $r_1$ e $r_2$ as raízes da equação $x^2 - 9x + 6 = 0$, determine os valores de:
Resolução:
De imediato:
a) $r_1 + r_2 = 9$.
b) $r_1 \cdot r_2 = 6$.
Daqui em diante temos que encontrar relações similares às que são dadas, envolvendo soma e produto das raízes:
c) $\dfrac{1}{r_1} + \dfrac{1}{r_2} = \dfrac{r_1 + r_2}{r_1 r_2} = \dfrac{3}{2}$.
d) ${r_1}^2 + {r_2}^2 = (r_1 + r_2)^2 - 2 r_1 r_2 = 81 - 12 = 69$.
e) ${r_1}^3 + {r_2}^3 = (r_1 + r_2)({r_1}^2 - r_1 r_2 + {r_2}^2) = 9(69 - 6) = 567$.
f) $r_1 - r_2 = \pm \sqrt{{r_1}^2 + {r_2}^2 - 2 r_1 r_2} = \pm \sqrt{69 - 12} = \pm \sqrt{57}$.
| a) $r_1 + r_2$. | c) $\dfrac{1}{r_1} + \dfrac{1}{r_2}$. | e) ${r_1}^3 + {r_2}^3$. |
| b) $r_1 \cdot r_2$. | d) ${r_1}^2 + {r_2}^2$. | f) $r_1 - r_2$. |
Resolução:
De imediato:
a) $r_1 + r_2 = 9$.
b) $r_1 \cdot r_2 = 6$.
Daqui em diante temos que encontrar relações similares às que são dadas, envolvendo soma e produto das raízes:
c) $\dfrac{1}{r_1} + \dfrac{1}{r_2} = \dfrac{r_1 + r_2}{r_1 r_2} = \dfrac{3}{2}$.
d) ${r_1}^2 + {r_2}^2 = (r_1 + r_2)^2 - 2 r_1 r_2 = 81 - 12 = 69$.
e) ${r_1}^3 + {r_2}^3 = (r_1 + r_2)({r_1}^2 - r_1 r_2 + {r_2}^2) = 9(69 - 6) = 567$.
f) $r_1 - r_2 = \pm \sqrt{{r_1}^2 + {r_2}^2 - 2 r_1 r_2} = \pm \sqrt{69 - 12} = \pm \sqrt{57}$.
Exercício: equação do 2º grau: operações entre raízes.
Sendo $r_1$ e $r_2$ as raízes da equação $x^2 - 9x + 6 = 0$, determine os valores de:
Resolução:
De imediato:
a) $r_1 + r_2 = 9$.
b) $r_1 \cdot r_2 = 6$.
Daqui em diante temos que encontrar relações similares às que são dadas, envolvendo soma e produto das raízes:
c) $\dfrac{1}{r_1} + \dfrac{1}{r_2} = \dfrac{r_1 + r_2}{r_1 r_2} = \dfrac{3}{2}$.
d) ${r_1}^2 + {r_2}^2 = (r_1 + r_2)^2 - 2 r_1 r_2 = 81 - 12 = 69$.
e) ${r_1}^3 + {r_2}^3 = (r_1 + r_2)({r_1}^2 - r_1 r_2 + {r_2}^2) = 9(69 - 6) = 567$.
f) $r_1 - r_2 = \pm \sqrt{{r_1}^2 + {r_2}^2 - 2 r_1 r_2} = \pm \sqrt{69 - 12} = \pm \sqrt{57}$.
| a) $r_1 + r_2$. | c) $\dfrac{1}{r_1} + \dfrac{1}{r_2}$. | e) ${r_1}^3 + {r_2}^3$. |
| b) $r_1 \cdot r_2$. | d) ${r_1}^2 + {r_2}^2$. | f) $r_1 - r_2$. |
Resolução:
De imediato:
a) $r_1 + r_2 = 9$.
b) $r_1 \cdot r_2 = 6$.
Daqui em diante temos que encontrar relações similares às que são dadas, envolvendo soma e produto das raízes:
c) $\dfrac{1}{r_1} + \dfrac{1}{r_2} = \dfrac{r_1 + r_2}{r_1 r_2} = \dfrac{3}{2}$.
d) ${r_1}^2 + {r_2}^2 = (r_1 + r_2)^2 - 2 r_1 r_2 = 81 - 12 = 69$.
e) ${r_1}^3 + {r_2}^3 = (r_1 + r_2)({r_1}^2 - r_1 r_2 + {r_2}^2) = 9(69 - 6) = 567$.
f) $r_1 - r_2 = \pm \sqrt{{r_1}^2 + {r_2}^2 - 2 r_1 r_2} = \pm \sqrt{69 - 12} = \pm \sqrt{57}$.
sexta-feira, 30 de novembro de 2012
Exercício: equação polinomial do 2º grau.
Sendo $\alpha$ e $\beta$ as raízes da equação $x^2\ -5x\ -\ 84\ =\ 0$, obtenha uma equação do 2º grau cujas raízes sejam $(\alpha\ +\ 1)$ e $(\beta\ +\ 1)$.
Resolução:
Pelas relações de Girard, temos que $\alpha+\beta\ =\ 5$ e $\alpha \beta\ =\ -84$.
Desenvolvendo a soma e o produto das raízes da equação procurada, teremos:
$(\alpha\ +\ 1)\ +\ (\beta\ +\ 1)\ =\ \alpha\ +\ \beta\ +\ 2$
$(\alpha\ +\ 1)(\beta\ +\ 1)\ =\ \alpha \beta\ +\ \alpha\ +\ \beta\ +\ 1$
Substituindo os valores, teremos:
$(\alpha\ +\ 1)\ +\ (\beta\ +\ 1)\ =\ 5+2\ =\ 7$
$(\alpha\ +\ 1)(\beta\ +\ 1)\ =\ -84+5+1\ =\ -78$
Logo uma equação buscada, assumindo o coeficiente dominante $1$, será:
$x^2\ -\ 7x\ -\ 78\ =\ 0$
Resolução:
Pelas relações de Girard, temos que $\alpha+\beta\ =\ 5$ e $\alpha \beta\ =\ -84$.
Desenvolvendo a soma e o produto das raízes da equação procurada, teremos:
$(\alpha\ +\ 1)\ +\ (\beta\ +\ 1)\ =\ \alpha\ +\ \beta\ +\ 2$
$(\alpha\ +\ 1)(\beta\ +\ 1)\ =\ \alpha \beta\ +\ \alpha\ +\ \beta\ +\ 1$
Substituindo os valores, teremos:
$(\alpha\ +\ 1)\ +\ (\beta\ +\ 1)\ =\ 5+2\ =\ 7$
$(\alpha\ +\ 1)(\beta\ +\ 1)\ =\ -84+5+1\ =\ -78$
Logo uma equação buscada, assumindo o coeficiente dominante $1$, será:
$x^2\ -\ 7x\ -\ 78\ =\ 0$
Exercício: equação polinomial do 2º grau.
Sendo $\alpha$ e $\beta$ as raízes da equação $x^2\ -5x\ -\ 84\ =\ 0$, obtenha uma equação do 2º grau cujas raízes sejam $(\alpha\ +\ 1)$ e $(\beta\ +\ 1)$.
Resolução:
Pelas relações de Girard, temos que $\alpha+\beta\ =\ 5$ e $\alpha \beta\ =\ -84$.
Desenvolvendo a soma e o produto das raízes da equação procurada, teremos:
$(\alpha\ +\ 1)\ +\ (\beta\ +\ 1)\ =\ \alpha\ +\ \beta\ +\ 2$
$(\alpha\ +\ 1)(\beta\ +\ 1)\ =\ \alpha \beta\ +\ \alpha\ +\ \beta\ +\ 1$
Substituindo os valores, teremos:
$(\alpha\ +\ 1)\ +\ (\beta\ +\ 1)\ =\ 5+2\ =\ 7$
$(\alpha\ +\ 1)(\beta\ +\ 1)\ =\ -84+5+1\ =\ -78$
Logo uma equação buscada, assumindo o coeficiente dominante $1$, será:
$x^2\ -\ 7x\ -\ 78\ =\ 0$
Resolução:
Pelas relações de Girard, temos que $\alpha+\beta\ =\ 5$ e $\alpha \beta\ =\ -84$.
Desenvolvendo a soma e o produto das raízes da equação procurada, teremos:
$(\alpha\ +\ 1)\ +\ (\beta\ +\ 1)\ =\ \alpha\ +\ \beta\ +\ 2$
$(\alpha\ +\ 1)(\beta\ +\ 1)\ =\ \alpha \beta\ +\ \alpha\ +\ \beta\ +\ 1$
Substituindo os valores, teremos:
$(\alpha\ +\ 1)\ +\ (\beta\ +\ 1)\ =\ 5+2\ =\ 7$
$(\alpha\ +\ 1)(\beta\ +\ 1)\ =\ -84+5+1\ =\ -78$
Logo uma equação buscada, assumindo o coeficiente dominante $1$, será:
$x^2\ -\ 7x\ -\ 78\ =\ 0$
quinta-feira, 29 de novembro de 2012
Demonstração: o produto de três inteiros consecutivos é divisível por $3$.
Um número divisível por $3$ é da forma $3k$, onde $k$ é inteiro. Seu sucessor é da forma $3k+1$, o sucessor deste é da forma $3k+2$, e o sucessor deste é da forma $3k+3\ =\ 3(k+1)\ =\ 3\ell$, onde $\ell$ é inteiro, portanto também divisível por $3$.
Tomemos o produto de três inteiros consecutivos $P\ =\ xyz$:
Se $x$ é divisível por $3$, $P$ também o será.
Se $x$ for da forma $3k+1$, $z$, o sucessor do sucessor de $x$ será da forma $3\ell$, e portanto $P$ será divisível por $3$.
Se $x$ for da forma $3k+2$, $y$, o sucessor de $x$ será da forma $3\ell$, e portanto $P$ será divisível por $3$.
Tomemos o produto de três inteiros consecutivos $P\ =\ xyz$:
Se $x$ é divisível por $3$, $P$ também o será.
Se $x$ for da forma $3k+1$, $z$, o sucessor do sucessor de $x$ será da forma $3\ell$, e portanto $P$ será divisível por $3$.
Se $x$ for da forma $3k+2$, $y$, o sucessor de $x$ será da forma $3\ell$, e portanto $P$ será divisível por $3$.
Demonstração: o produto de três inteiros consecutivos é divisível por $3$.
Um número divisível por $3$ é da forma $3k$, onde $k$ é inteiro. Seu sucessor é da forma $3k+1$, o sucessor deste é da forma $3k+2$, e o sucessor deste é da forma $3k+3\ =\ 3(k+1)\ =\ 3\ell$, onde $\ell$ é inteiro, portanto também divisível por $3$.
Tomemos o produto de três inteiros consecutivos $P\ =\ xyz$:
Se $x$ é divisível por $3$, $P$ também o será.
Se $x$ for da forma $3k+1$, $z$, o sucessor do sucessor de $x$ será da forma $3\ell$, e portanto $P$ será divisível por $3$.
Se $x$ for da forma $3k+2$, $y$, o sucessor de $x$ será da forma $3\ell$, e portanto $P$ será divisível por $3$.
Tomemos o produto de três inteiros consecutivos $P\ =\ xyz$:
Se $x$ é divisível por $3$, $P$ também o será.
Se $x$ for da forma $3k+1$, $z$, o sucessor do sucessor de $x$ será da forma $3\ell$, e portanto $P$ será divisível por $3$.
Se $x$ for da forma $3k+2$, $y$, o sucessor de $x$ será da forma $3\ell$, e portanto $P$ será divisível por $3$.
quarta-feira, 28 de novembro de 2012
Verificação de primalidade de um número inteiro.
Números primos são aqueles cujos únicos divisores positivos são $1$ e ele próprio.
O algoritmo mais antigo que se tem conhecimento é o chamado Crivo de Erastótenes, que consiste nos seguintes passos:
1. Marca-se o $2$, o menor primo positivo.
2. Marcam-se todos os múltiplos de $2$ até o número ao qual deseja-se conhecer sua primalidade.
3. Marca-se o próximo número primo logo após o antecessor.
4. Repete-se o processo de marcar todos os seus múltiplos.
E assim sucessivamente até chegarmos ao número dado.
Se todos os números positivos menores que o número dado forem marcados, tal número é primo.
Mas existe um procedimento menos trabalhoso. É baseado no seguinte raciocínio:
Um número é primo se não for divisível por nenhum número natural menor que o maior natural cujo quadrado não seja maior que tal número.
Consideremos como exemplo o número $97$. Observemos que $9^2\ <\ 97\ <\ 10^2$
Logo $9$ é o maior número natural cujo quadrado não supera $97$.
Se $97$ não for primo, ele será igual ao produto de dois fatores $f_1$ e $f_2$. Teremos então $97\ =\ f_1\ \cdot\ f_2$.
Se $f_1 > 9$ e $f_2 > 9$, $f_1\ \cdot\ f_2 > 97$.
Se $f_1 < 9$ e $f_2 < 9$, $f_1\ \cdot\ f_2 < 97$.
Dessa forma concluímos que o número $97$, não sendo primo, admite, obrigatoriamente um divisor menor ou igual a $9$.
Como $97$ não possui nenhum divisor positivo entre $2$ e $9$, ele é primo.
Este último procedimento diminui bastante o tempo de processo que um computador demandaria para afirmar se um número é primo ou não.
O algoritmo mais antigo que se tem conhecimento é o chamado Crivo de Erastótenes, que consiste nos seguintes passos:
1. Marca-se o $2$, o menor primo positivo.
2. Marcam-se todos os múltiplos de $2$ até o número ao qual deseja-se conhecer sua primalidade.
3. Marca-se o próximo número primo logo após o antecessor.
4. Repete-se o processo de marcar todos os seus múltiplos.
E assim sucessivamente até chegarmos ao número dado.
Se todos os números positivos menores que o número dado forem marcados, tal número é primo.
Mas existe um procedimento menos trabalhoso. É baseado no seguinte raciocínio:
Um número é primo se não for divisível por nenhum número natural menor que o maior natural cujo quadrado não seja maior que tal número.
Consideremos como exemplo o número $97$. Observemos que $9^2\ <\ 97\ <\ 10^2$
Logo $9$ é o maior número natural cujo quadrado não supera $97$.
Se $97$ não for primo, ele será igual ao produto de dois fatores $f_1$ e $f_2$. Teremos então $97\ =\ f_1\ \cdot\ f_2$.
Se $f_1 > 9$ e $f_2 > 9$, $f_1\ \cdot\ f_2 > 97$.
Se $f_1 < 9$ e $f_2 < 9$, $f_1\ \cdot\ f_2 < 97$.
Dessa forma concluímos que o número $97$, não sendo primo, admite, obrigatoriamente um divisor menor ou igual a $9$.
Como $97$ não possui nenhum divisor positivo entre $2$ e $9$, ele é primo.
Este último procedimento diminui bastante o tempo de processo que um computador demandaria para afirmar se um número é primo ou não.
Verificação de primalidade de um número inteiro.
Números primos são aqueles cujos únicos divisores positivos são $1$ e ele próprio.
O algoritmo mais antigo que se tem conhecimento é o chamado Crivo de Erastótenes, que consiste nos seguintes passos:
1. Marca-se o $2$, o menor primo positivo.
2. Marcam-se todos os múltiplos de $2$ até o número ao qual deseja-se conhecer sua primalidade.
3. Marca-se o próximo número primo logo após o antecessor.
4. Repete-se o processo de marcar todos os seus múltiplos.
E assim sucessivamente até chegarmos ao número dado.
Se todos os números positivos menores que o número dado forem marcados, tal número é primo.
Mas existe um procedimento menos trabalhoso. É baseado no seguinte raciocínio:
Um número é primo se não for divisível por nenhum número natural menor que o maior natural cujo quadrado não seja maior que tal número.
Consideremos como exemplo o número $97$. Observemos que $9^2\ <\ 97\ <\ 10^2$
Logo $9$ é o maior número natural cujo quadrado não supera $97$.
Se $97$ não for primo, ele será igual ao produto de dois fatores $f_1$ e $f_2$. Teremos então $97\ =\ f_1\ \cdot\ f_2$.
Se $f_1 > 9$ e $f_2 > 9$, $f_1\ \cdot\ f_2 > 97$.
Se $f_1 < 9$ e $f_2 < 9$, $f_1\ \cdot\ f_2 < 97$.
Dessa forma concluímos que o número $97$, não sendo primo, admite, obrigatoriamente um divisor menor ou igual a $9$.
Como $97$ não possui nenhum divisor positivo entre $2$ e $9$, ele é primo.
Este último procedimento diminui bastante o tempo de processo que um computador demandaria para afirmar se um número é primo ou não.
O algoritmo mais antigo que se tem conhecimento é o chamado Crivo de Erastótenes, que consiste nos seguintes passos:
1. Marca-se o $2$, o menor primo positivo.
2. Marcam-se todos os múltiplos de $2$ até o número ao qual deseja-se conhecer sua primalidade.
3. Marca-se o próximo número primo logo após o antecessor.
4. Repete-se o processo de marcar todos os seus múltiplos.
E assim sucessivamente até chegarmos ao número dado.
Se todos os números positivos menores que o número dado forem marcados, tal número é primo.
Mas existe um procedimento menos trabalhoso. É baseado no seguinte raciocínio:
Um número é primo se não for divisível por nenhum número natural menor que o maior natural cujo quadrado não seja maior que tal número.
Consideremos como exemplo o número $97$. Observemos que $9^2\ <\ 97\ <\ 10^2$
Logo $9$ é o maior número natural cujo quadrado não supera $97$.
Se $97$ não for primo, ele será igual ao produto de dois fatores $f_1$ e $f_2$. Teremos então $97\ =\ f_1\ \cdot\ f_2$.
Se $f_1 > 9$ e $f_2 > 9$, $f_1\ \cdot\ f_2 > 97$.
Se $f_1 < 9$ e $f_2 < 9$, $f_1\ \cdot\ f_2 < 97$.
Dessa forma concluímos que o número $97$, não sendo primo, admite, obrigatoriamente um divisor menor ou igual a $9$.
Como $97$ não possui nenhum divisor positivo entre $2$ e $9$, ele é primo.
Este último procedimento diminui bastante o tempo de processo que um computador demandaria para afirmar se um número é primo ou não.
segunda-feira, 24 de setembro de 2012
Exercício: navegando contra e a favor da correnteza de um rio.
(ITA-SP) Um barco, com motor em regime constante, desce um trecho de um rio em $2,0$ horas e sobe o mesmo trecho em $4,0$ horas. Quanto tempo levará o barco para percorrer o mesmo trecho, rio abaixo, com motor desligado?
Física. Gualter & André. Volume único.
Resolução:
Sejam $v$ a velocidade do barco, $v_c$ a velocidade da correnteza, e $d$ a distância percorrida.
O tempo de viagem requisitado é o quociente $\dfrac{d}{v_c}$.
No primeiro percurso, teremos $\dfrac{d}{v + v_c} = 2$.
No segundo percurso, teremos $\dfrac{d}{v - v_c} = 4$.
Invertendo as duas equações, teremos:
$\dfrac{v + v_c}{d} = \dfrac{v}{d} + \dfrac{v_c}{d} = \dfrac{1}{2}$
$\dfrac{v - v_c}{d} = \dfrac{v}{d} - \dfrac{v_c}{d} = \dfrac{1}{4}$
Subtraindo a segunda da primeira, teremos:
$ 2\dfrac{v_c}{d} = \dfrac{1}{4}$
Logo o tempo de percurso deixando-se o barco a mercê unicamente da correnteza será:
$\dfrac{d}{v_c} = 8$ horas.
Física. Gualter & André. Volume único.
Resolução:
Sejam $v$ a velocidade do barco, $v_c$ a velocidade da correnteza, e $d$ a distância percorrida.
O tempo de viagem requisitado é o quociente $\dfrac{d}{v_c}$.
No primeiro percurso, teremos $\dfrac{d}{v + v_c} = 2$.
No segundo percurso, teremos $\dfrac{d}{v - v_c} = 4$.
Invertendo as duas equações, teremos:
$\dfrac{v + v_c}{d} = \dfrac{v}{d} + \dfrac{v_c}{d} = \dfrac{1}{2}$
$\dfrac{v - v_c}{d} = \dfrac{v}{d} - \dfrac{v_c}{d} = \dfrac{1}{4}$
Subtraindo a segunda da primeira, teremos:
$ 2\dfrac{v_c}{d} = \dfrac{1}{4}$
Logo o tempo de percurso deixando-se o barco a mercê unicamente da correnteza será:
$\dfrac{d}{v_c} = 8$ horas.
Exercício: navegando contra e a favor da correnteza de um rio.
(ITA-SP) Um barco, com motor em regime constante, desce um trecho de um rio em $2,0$ horas e sobe o mesmo trecho em $4,0$ horas. Quanto tempo levará o barco para percorrer o mesmo trecho, rio abaixo, com motor desligado?
Física. Gualter & André. Volume único.
Resolução:
Sejam $v$ a velocidade do barco, $v_c$ a velocidade da correnteza, e $d$ a distância percorrida.
O tempo de viagem requisitado é o quociente $\dfrac{d}{v_c}$.
No primeiro percurso, teremos $\dfrac{d}{v + v_c} = 2$.
No segundo percurso, teremos $\dfrac{d}{v - v_c} = 4$.
Invertendo as duas equações, teremos:
$\dfrac{v + v_c}{d} = \dfrac{v}{d} + \dfrac{v_c}{d} = \dfrac{1}{2}$
$\dfrac{v - v_c}{d} = \dfrac{v}{d} - \dfrac{v_c}{d} = \dfrac{1}{4}$
Subtraindo a segunda da primeira, teremos:
$ 2\dfrac{v_c}{d} = \dfrac{1}{4}$
Logo o tempo de percurso deixando-se o barco a mercê unicamente da correnteza será:
$\dfrac{d}{v_c} = 8$ horas.
Física. Gualter & André. Volume único.
Resolução:
Sejam $v$ a velocidade do barco, $v_c$ a velocidade da correnteza, e $d$ a distância percorrida.
O tempo de viagem requisitado é o quociente $\dfrac{d}{v_c}$.
No primeiro percurso, teremos $\dfrac{d}{v + v_c} = 2$.
No segundo percurso, teremos $\dfrac{d}{v - v_c} = 4$.
Invertendo as duas equações, teremos:
$\dfrac{v + v_c}{d} = \dfrac{v}{d} + \dfrac{v_c}{d} = \dfrac{1}{2}$
$\dfrac{v - v_c}{d} = \dfrac{v}{d} - \dfrac{v_c}{d} = \dfrac{1}{4}$
Subtraindo a segunda da primeira, teremos:
$ 2\dfrac{v_c}{d} = \dfrac{1}{4}$
Logo o tempo de percurso deixando-se o barco a mercê unicamente da correnteza será:
$\dfrac{d}{v_c} = 8$ horas.
domingo, 22 de julho de 2012
$a^3 + b^3$: um produto não tão notável, mas útil.
Desenvolvendo o binômio $(a+b)^3$, temos:
$(a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3a^2 b + 3 a b^2 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$
$(a+b)^3 - 3ab(a+b) = a^3 + b^3$
$(a+b)[(a+b)^2 - 3ab] = a^3 + b^3$
Logo:
$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$
____________________
Aplicação:
Racionalizar o denominador:
$\dfrac{1}{\sqrt[3]{3} + 1}$
Resolução:
Multiplicando o numerador e o denominador por $\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{3} + 1$, teremos:
$\dfrac{1}{\sqrt[3]{3} + 1} = \dfrac{\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{3} + 1}{(\sqrt[3]{3} + 1)(\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{3} + 1)} = \dfrac{\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{3} + 1}{(\sqrt[3]{3})^3 + 1^3} = \dfrac{\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{3} + 1}{4}$
____________________
Aplicação:
Calcular o determinante:
$D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^3 & b^3 & c^3 \end{vmatrix}$
Usando a regra de Chió, teremos:
$D = \begin{vmatrix}b-a & c-a \\ b^3 - a^3 & c^3 - a^3 \end{vmatrix}$
$D = \begin{vmatrix} b-a & c-a \\ (b-a)(b^2 + ba + a^2) & (c-a)(c^2 + ca + a^2) \end{vmatrix}$
Extraindo os fatores $(b-a)$ da primeira coluna e $(c-a)$ da segunda coluna, teremos:
$D = (b-a)(c-a)\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ (b^2 + ba + a^2) & (c^2 + ca + a^2)\end{vmatrix} =$
$= (b-a)(c-a)[(c-b)(c+b) + a(c-b)]$
Logo:
$D = (b-a)(c-a)(c-b)(a+b+c)$
$(a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3a^2 b + 3 a b^2 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$
$(a+b)^3 - 3ab(a+b) = a^3 + b^3$
$(a+b)[(a+b)^2 - 3ab] = a^3 + b^3$
Logo:
$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$
____________________
Aplicação:
Racionalizar o denominador:
$\dfrac{1}{\sqrt[3]{3} + 1}$
Resolução:
Multiplicando o numerador e o denominador por $\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{3} + 1$, teremos:
$\dfrac{1}{\sqrt[3]{3} + 1} = \dfrac{\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{3} + 1}{(\sqrt[3]{3} + 1)(\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{3} + 1)} = \dfrac{\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{3} + 1}{(\sqrt[3]{3})^3 + 1^3} = \dfrac{\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{3} + 1}{4}$
____________________
Aplicação:
Calcular o determinante:
$D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^3 & b^3 & c^3 \end{vmatrix}$
Usando a regra de Chió, teremos:
$D = \begin{vmatrix}b-a & c-a \\ b^3 - a^3 & c^3 - a^3 \end{vmatrix}$
$D = \begin{vmatrix} b-a & c-a \\ (b-a)(b^2 + ba + a^2) & (c-a)(c^2 + ca + a^2) \end{vmatrix}$
Extraindo os fatores $(b-a)$ da primeira coluna e $(c-a)$ da segunda coluna, teremos:
$D = (b-a)(c-a)\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ (b^2 + ba + a^2) & (c^2 + ca + a^2)\end{vmatrix} =$
$= (b-a)(c-a)[(c-b)(c+b) + a(c-b)]$
Logo:
$D = (b-a)(c-a)(c-b)(a+b+c)$
$a^3 + b^3$: um produto não tão notável, mas útil.
Desenvolvendo o binômio $(a+b)^3$, temos:
$(a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3a^2 b + 3 a b^2 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$
$(a+b)^3 - 3ab(a+b) = a^3 + b^3$
$(a+b)[(a+b)^2 - 3ab] = a^3 + b^3$
Logo:
$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$
____________________
Aplicação:
Racionalizar o denominador:
$\dfrac{1}{\sqrt[3]{3} + 1}$
Resolução:
Multiplicando o numerador e o denominador por $\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{3} + 1$, teremos:
$\dfrac{1}{\sqrt[3]{3} + 1} = \dfrac{\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{3} + 1}{(\sqrt[3]{3} + 1)(\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{3} + 1)} = \dfrac{\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{3} + 1}{(\sqrt[3]{3})^3 + 1^3} = \dfrac{\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{3} + 1}{4}$
____________________
Aplicação:
Calcular o determinante:
$D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^3 & b^3 & c^3 \end{vmatrix}$
Usando a regra de Chió, teremos:
$D = \begin{vmatrix}b-a & c-a \\ b^3 - a^3 & c^3 - a^3 \end{vmatrix}$
$D = \begin{vmatrix} b-a & c-a \\ (b-a)(b^2 + ba + a^2) & (c-a)(c^2 + ca + a^2) \end{vmatrix}$
Extraindo os fatores $(b-a)$ da primeira coluna e $(c-a)$ da segunda coluna, teremos:
$D = (b-a)(c-a)\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ (b^2 + ba + a^2) & (c^2 + ca + a^2)\end{vmatrix} =$
$= (b-a)(c-a)[(c-b)(c+b) + a(c-b)]$
Logo:
$D = (b-a)(c-a)(c-b)(a+b+c)$
$(a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3a^2 b + 3 a b^2 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$
$(a+b)^3 - 3ab(a+b) = a^3 + b^3$
$(a+b)[(a+b)^2 - 3ab] = a^3 + b^3$
Logo:
$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$
____________________
Aplicação:
Racionalizar o denominador:
$\dfrac{1}{\sqrt[3]{3} + 1}$
Resolução:
Multiplicando o numerador e o denominador por $\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{3} + 1$, teremos:
$\dfrac{1}{\sqrt[3]{3} + 1} = \dfrac{\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{3} + 1}{(\sqrt[3]{3} + 1)(\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{3} + 1)} = \dfrac{\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{3} + 1}{(\sqrt[3]{3})^3 + 1^3} = \dfrac{\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{3} + 1}{4}$
____________________
Aplicação:
Calcular o determinante:
$D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^3 & b^3 & c^3 \end{vmatrix}$
Usando a regra de Chió, teremos:
$D = \begin{vmatrix}b-a & c-a \\ b^3 - a^3 & c^3 - a^3 \end{vmatrix}$
$D = \begin{vmatrix} b-a & c-a \\ (b-a)(b^2 + ba + a^2) & (c-a)(c^2 + ca + a^2) \end{vmatrix}$
Extraindo os fatores $(b-a)$ da primeira coluna e $(c-a)$ da segunda coluna, teremos:
$D = (b-a)(c-a)\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ (b^2 + ba + a^2) & (c^2 + ca + a^2)\end{vmatrix} =$
$= (b-a)(c-a)[(c-b)(c+b) + a(c-b)]$
Logo:
$D = (b-a)(c-a)(c-b)(a+b+c)$
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