Considerações sobre a matriz de Vandermonde.

Uma matriz de Vandermonde, também chamada de matriz de potências, é toda matriz da forma:

Os elementos são chamados os elementos característicos da matriz de Vandermonde. E seu determinante é sintetizado pela expressão .


O determinante de tal pode ser obtido pela regra de Chió e será o produto de todas as possíveis diferenças entre os elementos característicos tal que o minuendo terá que ser de ordem maior que o subtraendo. A demonstração irei omitir nesta postagem. Em termos gerais:

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Consideração:

Quantos fatores haverá no cálculo de ?

Notemos que para o minuendo de índice n teremos n-1 subtraendos; para o minuendo de índice n-1 teremos n-2 subtraendos; ... ; para o minuendo de índice 2 teremos 1 subtraendo. Logo teremos como quantidade de diferenças a soma dos n-1 primeiros inteiros positivos.

Lembremos da soma dos m primeiros inteiros positivos, cuja fórmula pode ser obtida pelo estudo de progressões aritméticas:

tomando m = n-1, e considerando a c como a função cujo domínio é o conjunto dos produtórios de expressões algébricas e contra-domínio a quantidade de fatores, teremos:

Determinante de matrizes de elementos consecutivos.

Consideremos as matrizes :


Elas possuem elementos ordenados consecutivos.

Em termos gerais temos:

O problema que iremos resolver é calcular seu determinante.

Pela propriedade da soma de determinantes, o de tal matriz será:

Onde a primeira parcela, por ter linhas iguais, será nulo.

Observemos que na segunda parcela, a matriz tem a última linha como uma combinação linear das linhas 1, multiplicada por $1$, e a 2, multiplicada por $n - 1$, logo seu determinante também é nulo. Conclusão: