$\dfrac{15}{\sqrt[3]{49} - 2\sqrt[3]{7} + 4} = \dfrac{15(\sqrt[3]{7} + 2)}{(\sqrt[3]{49} - 2\sqrt[3]{7} + 4)(\sqrt[3]{7} + 2)} =$
$= \dfrac{15(\sqrt[3]{7} + 2)}{7 + 8} = \fbox{$\sqrt[3]{7} + 2$}$
Organização sem fins lucrativos, voltada para a pesquisa e educação em Matemática.
$\dfrac{15}{\sqrt[3]{49} - 2\sqrt[3]{7} + 4} = \dfrac{15(\sqrt[3]{7} + 2)}{(\sqrt[3]{49} - 2\sqrt[3]{7} + 4)(\sqrt[3]{7} + 2)} =$
$= \dfrac{15(\sqrt[3]{7} + 2)}{7 + 8} = \fbox{$\sqrt[3]{7} + 2$}$
Seja um inteiro positivo $n$ "terminado" em $5$, ou seja, $n = 10a + 5$, sendo $a$ o número de dezenas que compõe o número:
$n^2 = (10a + 5)^2 = 100a^2 + 100a + 25 = 100a(a + 1) + 25$.
Ou seja, para encontrar o quadrado de tal número, tal quadrado "terminará" em $25$ e, antes, será o produto de $a$ pelo seu consecutivo.
Exemplos:
$\begin{array}{l c r}15^2 = \underset{1 \cdot 2}{\underbrace{2}}25 & & 205^2 = \underset{20 \cdot 21}{\underbrace{420}}25\end{array}$
Por definição, uma parábola é, em um plano, o conjunto de pontos que equidistam de uma reta - chamada geratriz - e um ponto, chamado de foco.
Sejam $a_r x + b_r y + c_r = 0$ a reta geratriz e $(a, b)$ o foco:
$\dfrac{|a_r x + b_r y + c_r|}{\sqrt{a_r^2 + b_r^2}} = \sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2}$
${\scriptsize \fbox{$\left(\dfrac{b_r^2}{a_r^2 + b_r^2}\right)x^2 + \left(\dfrac{a_r^2}{a_r^2 + b_r^2}\right)y^2 - \left(\dfrac{2a_r b_r}{a_r^2 + b_r^2}\right)xy - \left[\dfrac{2a_r c_r + 2a(a_r^2 + b_r^2)}{a_r^2 + b_r^2}\right]x - \left[\dfrac{2b_r c_r + 2b(a_r^2 + b_r^2)}{a_r^2 + b_r^2}\right]y + \left(a^2 + b^2\right) = 0$}}$.
$C_{mg}(x) = 50$, que é, aproximadamente, a variação do custo na produção da $(x + 1)$-ésima unidade.
O governo cedeu terrenos para que famílias construíssem suas residências com a condição de que no mínimo $94\ \%$ da área do terreno fosse mantida como área de preservação ambiental. Ao receber o terreno retangular $ABCD$, em que $AB = \dfrac{BC}{2}$ , Antônio demarcou uma área quadrada no vértice $A$, para a construção de sua residência, de acordo com o desenho, no qual $AE = \dfrac{AB}{5}$ é lado do quadrado.
Nesse caso, a área definida por Antônio atingiria exatamente o limite determinado pela condição se ele
$\enclose{circle}{A}$ duplicasse a medida do lado do quadrado.
$\enclose{circle}{B}$ triplicasse a medida do lado do quadrado.
$\enclose{circle}{C}$ triplicasse a área do quadrado.
$\enclose{circle}{D}$ ampliasse a medida do lado do quadrado em $4\ \%$.
$\enclose{circle}{E}$ ampliasse a área do quadrado em $4\ \%$.
Resolução:
Seja $\ell = AB$.
No máximo, $6\ \%$ do total de $2\ell^2$ devem ser destinados à residência, ou seja, $0,12\ell^2$.
Como a atual área da residência de Antônio é $0,04\ell^2$, ele atingiria o limite se triplicasse a área.
Alternativa $\enclose{circle}{C}$.
O mapa abaixo representa um bairro de determinada cidade, no qual as flechas indicam o sentido das mãos do tráfego. Sabe-se que esse bairro foi planejado e que cada quadra representada na figura é um terreno quadrado, de lado igual a $200$ metros.
Desconsiderando-se a largura das ruas, qual seria o tempo, em minutos, que um ônibus, em velocidade constante e igual a $40$ km/h, partindo do ponto $X$, demoraria para chegar até o ponto $Y$?
No mínimo, $5$ quadras serão percorridas, ou seja, um total de $1$ km.
$t = \dfrac{60}{40} = \fbox{$1,5\ \text{min}$}$
Pela fórmula do produto para derivadas, $(h \cdot g)'(x) = h'(x)g(x) + h(x)g'(x)$.
Seja $f(x) = h'(x)$ e $F$ a primitiva de $f$.
$\displaystyle\int (F \cdot g)'(x)\ dx\ =\ \displaystyle\int f(x)g(x)\ dx\ +\ \displaystyle\int F(x)g'(x)\ dx\ \Rightarrow$
$\Rightarrow\ \fbox{$\displaystyle\int f(x)g(x)\ dx\ =\ F(x)g(x) - \displaystyle\int F(x)g'(x)\ dx$}$
$f(x) = e^x + e^{x\log 3}$
$f'(x) = e^x + e^{x\log 3} \cdot \log 3 = \fbox{$e^x + 3^x \log 3$}$
Pela regra do produto, $(f \cdot h)'(x) = f(x)h'(x) + h(x)f'(x)$.
Pela regra da cadeia, tomando $h(x) = \dfrac{1}{g(x)}$, $g(x) \neq 0$, $h'(x) = -\dfrac{g'(x)}{[g(x)]^2}$, logo
$\left[\dfrac{f(x)}{g(x)}\right]'(x) = \dfrac{f'(x)}{g(x)} - \dfrac{f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} = \fbox{$\dfrac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}$}$.
Quod Erat Demonstrandum.
Um posto de combustível vende $10000$ litros de álcool por dia a R\$ $1,50$ cada litro. Seu proprietário percebeu que, para cada centavo de desconto que concedia por litro, eram vendidos $100$ litros a mais por dia. Por exemplo, no dia em que o preço do álcool foi R\$ $1,48$, foram vendidos $10200$ litros.
Considerando $x$ o valor, em centavos, do desconto dado no preço de cada litro, e $V$ o valor, em R\$, arrecadado por dia com a venda do álcool, qual a expressão que relaciona $V$ e $x$?
$V = \underset{\text{Quantidade}}{\underbrace{(10000 + 100x)}} \cdot \underset{\text{Valor unitário}}{\underbrace{(1,5 - 0,01x)}} = \fbox{$-x^2 + 50x + 15000$}$
Sejam $f$ e $g$ funções diferenciáveis,
$(f \cdot g)'(x) = \displaystyle\lim_{a \rightarrow 0} \dfrac{(f \cdot g)(x + a) - (f \cdot g)(x)}{a} =$
$= \displaystyle\lim_{a \rightarrow 0} \dfrac{f(x + a) \cdot g(x + a) - f(x) \cdot g(x) + f(x + a) \cdot g(x) - f(x + a) \cdot g(x)}{a} =$
$= \displaystyle\lim_{a \rightarrow 0} \dfrac{f(x + a)[g(x + a) - g(x)]}{a} + \displaystyle\lim_{a \rightarrow 0} \dfrac{g(x)[f(x + a) - f(x)]}{a} = f(x)g'(x) + g(x)f'(x)$.
Quod Erat Demonstrandum.
Ao morrer, o pai de João, Pedro e José deixou como herança um terreno retangular de $3\ \text{km}\ \text{x}\ 2\ \text{km}$ que contém uma área de extração de ouro delimitada por um quarto de círculo de raio $1\ \text{km}$ a partir do canto inferior esquerdo da propriedade. Dado o maior valor da área de extração de ouro, os irmãos acordaram em repartir a propriedade de modo que cada um ficasse com a terça parte da área de extração, conforme mostra a figura.
Em relação à partilha proposta, qual a porcentagem do terreno que coube a João?
Resolução:
A área do triângulo que coube a João é $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\ \text{km}^2$.
A área total é de $6\ \text{km}^2$, assim, o percentual é de $\fbox{$\dfrac{100 \sqrt{3}}{9}\ \%$}$.
Sejam $f$ e $g$ funções diferenciáreis,
$f'(u) = \displaystyle\lim_{\Delta u \rightarrow 0} \dfrac{f(u + \Delta u) - f(u)}{\Delta u} = \displaystyle\lim_{\Delta u \rightarrow 0} \dfrac{\Delta f(u)}{\Delta u}$;
$g'(x) = \displaystyle\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{g(x + \Delta x) - g(x)}{\Delta x} = \displaystyle\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{\Delta g(x)}{\Delta x}$.
Observemos que $\Delta g(x) \rightarrow 0\ \Leftrightarrow\ \Delta x \rightarrow 0$.
$(f \circ g)'(x) = \displaystyle\lim_{\Delta g(x) \rightarrow 0} \dfrac{\Delta (f \circ g)(x)}{\Delta g(x)} = \displaystyle\lim_{\Delta g(x) \rightarrow 0} \left[\dfrac{\Delta (f \circ g)(x)}{\Delta x} \cdot \dfrac{\Delta g(x)}{\Delta g(x)}\right] =$
$= \displaystyle\lim_{\Delta g(x) \rightarrow 0} \dfrac{\Delta (f \circ g)(x)}{\Delta g(x)} \cdot \displaystyle\lim_{\Delta g(x) \rightarrow 0} \dfrac{\Delta g(x)}{\Delta x} = f'[g(x)] \cdot g'(x)$
Quod Erat Demonstrandum.
A figura a seguir mostra as medidas reais de uma aeronave que será fabricada para utilização por companhias de transporte aéreo. Um engenheiro precisa fazer o desenho desse avião em escala de $1:150$.
Para o engenheiro fazer esse desenho em uma folha de papel, deixando uma margem de $1\ \text{cm}$ em relação às bordas da folha, quais as dimensões mínimas, em centímetros, que essa folha deverá ter?
$\dfrac{2850}{150} + 2 = 21$
$\dfrac{3600}{150} + 2 = 26$
As dimensões mínimas da folha são $\fbox{$26\ \text{cm}\ \text{x}\ 21\ \text{cm}$}$.
O controle de qualidade de uma empresa fabricante de telefones celulares aponta que a probabilidade de um aparelho de determinado modelo apresentar defeito de fabricação é de $0,2\ \%$. Se uma loja acaba de vender $4$ aparelhos desse modelo para um cliente, qual é a probabilidade de esse cliente sair da loja com exatamente dois aparelhos defeituosos?
$P = 0,002 \cdot 0,002 \cdot 0,998 \cdot 0,998 \cdot \dfrac{4!}{2! \cdot 2!} = \fbox{$6 \cdot (0,002)^2 \cdot (0,998)^2$}$
Considere um ponto $P$ em uma circunferência de raio $r$ no plano cartesiano. Seja $Q$ a projeção ortogonal de $P$ sobre o eixo $x$, como mostra a figura, e suponha que o ponto $P$ percorra, no sentido anti-horário, uma distância $d \le r$ sobre a circunferência.
Qual a distância o ponto $Q$ percorrerá no eixo $x$?
Resolução:
$P$ percorrerá, na circunferência, um ângulo dado em radianos por $\dfrac{d}{r}$, logo a distância percorrida por $Q$ será
$\fbox{$r - r\cos \dfrac{d}{r}$}$.
$f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}\ \Rightarrow\ \fbox{$f'(5) = -\dfrac{1}{25}$}$
Utilizando a regra da cadeia, $\fbox{$f'(x) = \dfrac{2x - 3}{x^2 - 3x + 6}$}$.
Utilizando a regra do quociente, $\left[\dfrac{g(x)}{h(x)}\right]' = \dfrac{g'(x) \cdot h(x) - g(x) \cdot h'(x)}{[h(x)]^2}$,
$\fbox{$f'(x) = -\dfrac{5(2x - 3)}{(x^2 - 3x - 2)^6}$}$.
$\fbox{$f'(x) = \dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} + \dfrac{1}{4\sqrt[4]{x^3}}$}$
Utilizando a regra do produto: $[g(x) \cdot h(x)]' = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x)$,
$\fbox{$f'(x) = \sin x\ +\ x\cos x$}$.