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Seja uma aplicação linear $L: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$. Seja $S$ o conjunto de todos os elementos $s$ de $\mathbb{R}^n$ tais que $L(s) \ge 0$. Mostrar que $S$ é convexo.
Basta mostrar que $L (tA + (1 - t)B) \ge 0$, com $A$ e $B$ pertencentes a $S$, e $t$ real com $0 \le t \le 1$.
$L(A) \ge 0\ \wedge\ L(B) \ge 0\ \Rightarrow\ tL(A) \ge 0\ \wedge\ (1-t)L(B) \ge 0\ \Rightarrow$
$\Rightarrow\ tL(A) + (1 - t)L(B) \ge 0\ \Rightarrow\ L(tA + (1 - t)B) \ge 0$.
Quod Erat Demonstrandum.
Seja $F: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ uma transformação linear. Seja $F(E_1) = (1, 1)$ e $F(E_2) = (-1, 2)$. Mostrar que a imagem, por $F$, do quadrado de vértices $(0, 0)$, $(1, 0)$, $(1, 1)$ e $(0, 1)$ é um paralelogramo.
$F(0, 0) = (0, 0)$ (I)
$F(1, 0) = (1, 1)$ (II)
$F(1, 1) = F(E_1 + E_2) = F(E_1) + F(E_2) = (1, 1) + (-1, 2) = (0, 3)$ (III)
$F(0, 1) = (-1, 2)$ (IV)
Por (I) e (II): $\dfrac{1 - 0}{1 - 0} = 1$.
Por (III) e (IV): $\dfrac{2 - 3}{-1 - 0} = 1$.
Por (I) e (IV): $\dfrac{2 - 0}{-1 - 0} = -2$.
Por (II) e (III): $\dfrac{3 - 1}{0 - 1} = -2$.
Quod Erat Demonstrandum.
Seja $V$ um espaço vetorial sobre $K$, e $F: V \rightarrow W$ uma aplicação linear. Seja $U$ o subconjunto de $V$ dos elementos $u$ tais que $F(u) = O$. Mostrar que $U$ é espaço vetorial.
Basta mostrar que $U$ é subespaço de $V$. Para tanto basta mostrar que:
$\bullet$ $O$ pertence a $U$. De fato, se $F$ é linear, $F(O) = O$.
$\bullet$ Seja $k$ um escalar e $u$ um elemento de $U$, $F(ku) = kF(u) = kO = O$.
$\bullet$ Sejam $u$ e $u´$ elementos de $U$, $F(u + u´) = F(u) + F(u´) = O$.
Quod Erat Demonstrandum.
Seja um espaço vetorial $V$ sobre $\mathbb{R}$, e sejam $f: V \rightarrow \mathbb{R}$ e $g: V \rightarrow \mathbb{R}$ duas aplicações lineares. Mostre que $F: V \rightarrow \mathbb{R}^2$ definida por $F(v) \mapsto (f(v), g(v))$ é linear.
Seja um escalar $k$. $F(kv) = F(f(kv), g(kv)) = (kf(v), kg(v)) = k(f(v), g(v)) = kF(v)$.
Sejam $v$ e $v´$ elementos de $V$.
$ F(v + v´) = (f(v + v´), g(v + v´)) = (f(v) + f(v´), g(v) + g(v´)) =$
$= (f(v), g(v)) + (f(v´), g(v´)) = F(v) + F(v´)$.
Quod Erat Demonstrandum.
Seja uma aplicação linear $T: V \rightarrow W$ de um espaço vetorial num outro. Mostrar que $T(O) = O$.
Resolução:
Seja um elemento $v$ de $V$:
$T(O) = T(v - v) = T(v) - T(v) = O$.
Quod Erat Demonstrandum.
Sejam $F: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^2$ definida por $F(t) \mapsto (t, t^2)$, e $G: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ dada por$G(x, y) \mapsto xy$ duas aplicações. Encontre $(G \circ F)(z)$.
Resolução:
$(G \circ F)(z) = G(z, z^2) = z \cdot z^2 = z^3$.
Seja a aplicação $F: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ dada por $F(x, y) \mapsto (2x, 3y)$. Encontre a imagem, por $F$, da circunferência $\lambda,\ x^2 + y^2 = 1$.
Sejam $u = 2x$ e $v = 3y$, $x = \dfrac{u}{2}$ e $y = \dfrac{v}{3}$.
$\left(\dfrac{u}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{v}{3}\right)^2 = 1\ \Rightarrow\ \dfrac{u^2}{4} + \dfrac{v^2}{9} = 1$
Logo a imagem, por $F$, da circunferência $\lambda$ é a elipse $\xi,\ \dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{9} = 1$.
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Em uma sala com $30$ pessoas, qual a probabilidade de ao menos duas terem aniversário no mesmo dia?
Resolução:
Consideremos a $30$-upla de pessoas em que cada elemento pode assumir um valor inteiro de $1$ a $365$:
$(p_1, p_2, ..., p_{30})$.
O número total de $30$-uplas será $365^{30}$.
O evento de termos ao menos duas pessoas com o mesmo valor será o complementar de todas assumirem valores distintos. Tal evento terá $\dfrac{365!}{335!}$ elementos.
Logo a probabilidade procurada será $1 - \dfrac{365!}{335!} \cdot \dfrac{1}{365^{30}}$ que, utilizando uma calculadora, chegamos a aproximadamente $\fbox{$71\%$}$.
