terça-feira, 29 de junho de 2021
segunda-feira, 28 de junho de 2021
Sejam os vetores $A_1, ..., A_r$ no $\mathbb{R}^n$, não nulos perpendiculares entre si. Mostrar que são linearmente independentes.
Sejam os vetores $A_1, ..., A_r$ no $\mathbb{R}^n$, não nulos perpendiculares entre si. Mostrar que são linearmente independentes.
Resolução:
Devemos mostrar que
$\underset{{\Large (I)}}{\underbrace{\displaystyle\sum_{i=1}^r a_i A_i = 0}}\ \Rightarrow\ a_k = 0,\ 1 \le k \le r$.
Se os vetores são perpendiculares entre si, $\langle A_p, A_q \rangle = 0,\ p \neq q,\ 1 \le p, q \le r$. ${\Large (II)}$
$(I)\ \Rightarrow\ \left\langle \displaystyle\sum_{i=1}^r a_i A_i, \displaystyle\sum_{i=1}^r a_i A_i \right\rangle = 0\ \overset{\text{(II)}}{\Rightarrow}\ \displaystyle\sum_{i=1}^r a_i^2 \underset{\neq 0}{\underbrace{\langle A_i, A_i \rangle}} = 0\ \Rightarrow\ a_k = 0,\ 1 \le k \le r$
Quod Erat Demonstrandum.
Seja $V$ o espaço vetorial de todas as funções em $t$ sobre $\mathbb{R}$, mostre que $\sin t$ e $\cos t$ são linearmente independentes.
Seja $V$ o espaço vetorial de todas as funções em $t$ sobre $\mathbb{R}$, mostre que $\sin t$ e $\cos t$ são linearmente independentes.
Demonstração:
Basta mostrar que, se $a(\sin t) + b(\cos t) = 0$ ${\Large (I)}$, então $a = b = 0$.
Integrando (I) de $0$ a $\pi$:
$a\displaystyle\int_0^{\pi} \sin t\ dt + b\displaystyle\int_0^{\pi} \cos t\ dt = 0\ \Rightarrow\ 2a = 0\ \Rightarrow\ a = 0$ ${\Large (II)}$
Substituindo (II) em (I): $b = 0$.
Quod Erat Demonstrandum.
Mostre que $\{(2, 1), (1, 0)\}$ é uma base do $\mathbb{R}^2$ e calcule as coordenadas de $(1, 1)$.
Mostre que $\{(2, 1), (1, 0)\}$ é uma base do $\mathbb{R}^2$ e calcule as coordenadas de $(1, 1)$.
Resolução:
Mostremos que $\{(2, 1), (1, 0)\}$ gera qualquer elemento $(a, b)$.
De fato, basta tomar $a = 2\alpha + \beta$ e $b = \alpha$, $\alpha,\ \beta \in \mathbb{R}$.
Mostremos agora que $(2, 1)$ e $(1, 0)$ são linearmente independentes.
Para tanto, basta mostrar que $\begin{vmatrix}2 & 1\\ 1 & 0\end{vmatrix} \neq 0$, o que é evidente.
Para encontrar as coordenadas de $(1, 1)$ na base $\{(2, 1), (1, 0)\}$, $(x_1, x_2)$, basta encontrar a solução do sistema
$\begin{cases}2x_1 + x_2 = 1\\ x_1 = 1\end{cases}$
que é $(1, -1)$.
Seja $V$ o espaço vetorial sobre $\mathbb{R}$, de todas as funções diferenciáveis. Mostre que $v_1 = e^x$ e $v_2 = e^{2x}$ são linearmente independentes.
Seja $V$ o espaço vetorial sobre $\mathbb{R}$, de todas as funções diferenciáveis. Mostre que $v_1 = e^x$ e $v_2 = e^{2x}$ são linearmente independentes.
Resolução:
Vamos supor que $v_1$ e $v_2$ sejam LD, ou seja, que existam $a$ e $b$ reais, $a \neq 0\ \vee\ b \neq 0$, tais que $av_1 + bv_2 = 0$.
$ae^x + be^{2x} = 0$ ${\Large (I)}$
Diferenciando:
$ae^x + 2be^{2x} = 0$ ${\Large (II)}$
Subtraindo (I) de (II):
$be^{2x} = 0\ \Rightarrow\ b = 0$ ${\Large (III)}$
Substituindo (III) em (I):
$ae^x = 0\ \Rightarrow\ a = 0$
Onde temos uma contradição com a hipótese de que ao menos um coeficiente deve ser não nulo. Logo, por absurdo, $e^x$ e $e^{2x}$ são linearmente independentes.
Quod Erat Demonstrandum.
Seja $K$ o conjunto de todos os números que podem ser escritos na forma $a + b\sqrt{2}$, com $a$ e $b$ racionais. Mostrar que $K$ é um corpo.
Seja $K$ o conjunto de todos os números que podem ser escritos na forma $a + b\sqrt{2}$, com $a$ e $b$ racionais. Mostrar que $K$ é um corpo.
Resolução:
Sejam $k_1 = a_1 + b_1\sqrt{2}$ e $k_2 = a_2 + b_2\sqrt{2}$ dois elementos de $K$:
$\begin{array}{| l | l |}\hline \rule{0pt}{0.8cm} \begin{array}{l} k_1 + k_2 = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)\sqrt{2}\ \in\ K\\ k_1 k_2 = (a_1 a_2 + 2b_1 b_2) + (a_1 b_2 + a_2 b_1)\sqrt{2}\ \in\ K\end{array} & \text{Seja } k = \dfrac{a_1 - b_1\sqrt{2}}{a_1^2 - 2b_1^2},\ k = k_1^{-1}\ \in\ K\text{.}\\ \hline \rule{0pt}{0.8cm} -k_1 = (-a_1) + (-b_1)\sqrt{2}\ \in\ K & \begin{array}{l} 0\ \in\ K\\ 1\ \in\ K\end{array}\\ \hline \end{array}$
Logo, satisfeitas as condições, $K$ é um corpo.
Quod Erat Demonstrandum.
Seja $V$ o conjunto de todas as funções de $\mathbb{R}$ em $\mathbb{R}$. Mostre que $V$ é espaço vetorial. Mostre também que $W$, o conjunto de todas as funções contínuas, é sub-espaço de $V$. Mostre também que $U$, o conjunto das funções diferenciáveis, é sub-espaço de $W$.
Seja $V$ o conjunto de todas as funções de $\mathbb{R}$ em $\mathbb{R}$. Mostre que $V$ é espaço vetorial. Mostre também que $W$, o conjunto de todas as funções contínuas, é sub-espaço de $V$. Mostre também que $U$, o conjunto das funções diferenciáveis, é sub-espaço de $W$.
Resolução:
Sejam $f$, $g$ e $h$ funções de $\mathbb{R}$ em $\mathbb{R}$, e $a$ e $b$ escalares reais (os reais são um corpo).
$\begin{array}{l c l}(f + g) + h = f + (g + h) & & 0 + f = f + 0 = f\\ f + (-1)f = 0 & & f + g = g + f\\ a(f + g) = af + ag & & (a + b)f = af + bf\\ (ab)f = a(bf) & & 1f = f\end{array}$
Logo $V$ é espaço vetorial sobre $\mathbb{R}$.
Observemos que, se $f$ e $g$ são contínuas, então $f + g$ será contínua, e que, sendo $a$ um escalar real, $af$ também será contínua. Observemos também que a função constante $0$ também é contínua.
Logo $W$ é sub-espaço de $V$.
Sendo $f$ e $g$ diferenciáveis, $f + g$ também é diferenciável. Sendo $a$ um escalar real, $af$ também é diferenciável. A função nula $0$ também é diferenciável.
Logo $U$ é sub-espaço de $W$ (e também de $V$).
Quod Erat Demonstrandum.
sábado, 26 de junho de 2021
Relação entre os coeficientes angulares de retas perpendiculares.
Sejam duas retas perpendiculares com uma não vertical $y = m_r x + c_r$ e $y = m_s x + c_s$. Mostre que
${\Large m_r m_s = -1}$.
Resolução:
Sejam $N_r$ e $N_s$ os vetores perpendiculares às retas.
$N_r \cdot N_s = 0\ \Rightarrow\ m_r m_s + 1 = 0\ \Rightarrow \fbox{$m_r m_s = -1$}$.
Quod Erat Demonstrandum.
quinta-feira, 24 de junho de 2021
Teorema de Pitágoras.
$(A - B)\ \bot\ (A - C)\ \Rightarrow\ \|B - C\|^2 = \|A - B\|^2 + \|A - C\|^2$
Demonstração:
$\langle (A - B), (A - C) \rangle = 0\ \Rightarrow\ \langle A, A \rangle - \langle A, C \rangle - \langle B, A \rangle + \langle B, C \rangle = 0\ \Rightarrow$
$\Rightarrow \langle A, A \rangle + \langle B, C \rangle = \langle A, C \rangle + \langle B, A \rangle$ ${\Large (I)}$
$\|B - C\|^2 = \langle (B - C), (B - C) \rangle = \langle B, B \rangle + \langle C, C \rangle - 2\langle B, C \rangle$ ${\Large (II)}$
$(\|A - B\| + \|A - C\|)^2 = \langle (A - B), (A - B) \rangle + \langle (A - C), (A - C) \rangle + 2\|A - B\|\|A - C\| =$
$= \langle A, A \rangle + \langle B, B \rangle - 2\langle A, B \rangle + \langle A, A \rangle + \langle C, C \rangle - 2\langle A, C \rangle + 2\|A - B\|\|A - C\| \overset{\text{(II)}}{=}$
$\overset{\text{(II)}}{=} \|B - C\|^2 + 2\langle B, C\rangle + 2\langle A, A \rangle - 2\langle A, B \rangle - 2\langle A, C \rangle + 2\|A - B\|\|A - C\| \overset{\text{(I)}}{=}$
$\overset{\text{(I)}}{=} \|B - C\|^2 + 2\|A - B\|\|A - C\|$
Logo, $\fbox{$\|B - C\|^2 = \|A - B\|^2 + \|A - C\|^2$}$.
Quod Erat Demonstrandum.
Distância de um ponto a um hiperplano.
Mostre que, no $n$-espaço, a distância do ponto $P$ ao hiperplano normal a $N$ passando por $Q$ é
$d = \left\|\dfrac{\langle N, Q\rangle - \langle N, P \rangle}{\langle N, N \rangle} N\right\|$.
Resolução:
Seja $P'$ a projeção de $P$ sobre o plano. $P' = tN + P$, para $t = \dfrac{\langle N, Q\rangle - \langle N, P \rangle}{\langle N, N \rangle}$.
$d = \|P' - P\| = \|tN + P - P\| = \|tN\| = \left\|\dfrac{\langle N, Q\rangle - \langle N, P \rangle}{\langle N, N \rangle} N\right\|$
Exemplo:
No $2$-espaço, para $\langle (a_i)_1^n, (b_i)_1^n \rangle = \displaystyle\sum_{i=1}^n (a_i b_i)$, seja $d$ a distância entre o ponto $(0, 0)$ e a reta $x + y - 1 = 0$. $N = (1, 1)$, $Q = (1, 0)$, $P = (0, 0)$.
$d = \left\|\dfrac{1 - 0}{2} (1, 1)\right\| = \left\|\left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}\right)\right\| = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
Quod Erat Demonstrandum.
Encontre o termo em $x^6$ no desenvolvimento de $(2x^3 - 3y)^4$.
$(2x^3 - 3y)^4 = \displaystyle\sum_{p=0}^4 \displaystyle{4 \choose p} (2x^3)^{4-p} (-3y)^p$
$3(4 - p) = 6\ \Rightarrow\ p = 2$
Logo o termo procurado é $\displaystyle{4 \choose 2} (2x^3)^{4-2} (-3y)^2 = \fbox{$216 x^6 y^2$}$.
Seja $\langle X, N \rangle = \langle P, N \rangle$ um plano no $3$-espaço, e $Q$ um ponto fora do plano. Mostre que existe um único $t$ tal que $Q + tN$ pertence ao plano.
Seja $\langle X, N \rangle = \langle P, N \rangle$ um plano no $3$-espaço, e $Q$ um ponto fora do plano. Mostre que existe um único $t$ tal que $Q + tN$ pertence ao plano.
Resolução:
$\langle (Q + tN), N \rangle = \langle P, N \rangle\ \Rightarrow\ \fbox{$t = \dfrac{\langle P, N \rangle - \langle Q, N \rangle}{\langle N, N \rangle}$}$
Quod erat demonstrandum.
Distântia entre dois vetores para dada definição de produto escalar.
Seja $\langle f, g \rangle = f'(\pi)g'(\pi)$, mostre que a distância entre $\cos x$ e $\log x$ é $\dfrac{1}{\pi}$.
Resolução:
$d_{(\cos x),(\log x)} = \|(\cos x) - (\log x)\| = \sqrt{\langle (\cos x) - (\log x), (\cos x) - (\log x) \rangle} =$
$= \sqrt{\left[(-\sin \pi) - (\dfrac{1}{\pi})\right]\left[(-\sin \pi) - (\dfrac{1}{\pi})\right]} = \fbox{$\dfrac{1}{\pi}$}$
Quod erat demonstrandum.
Relação entre vetores para certa definição de produto escalar.
Seja $\langle f, g \rangle = \displaystyle\int_{-\pi/2}^{\pi/2} f(x) \cdot g(x)\ dx$, mostre que
Demonstração:
$\|\cos x\| = \sqrt{\displaystyle\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos^2 x\ dx} = \sqrt{\dfrac{\pi}{2}}$
$\|\sin x\| = \sqrt{\displaystyle\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin^2 x\ dx} = \sqrt{\dfrac{\pi}{2}}$
$\|x\| = \sqrt{\displaystyle\int_{-\pi/2}^{\pi/2} x^2\ dx} = \sqrt{\dfrac{\pi^3}{12}}$
Logo, $\|\sin x\|^2 + \|\cos x\|^2 = \left(\dfrac{\sqrt{12}}{\pi}\|x\|\right)^2$.
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