Relação entre vetores para certa definição de produto escalar.

Seja $\langle f, g \rangle = \displaystyle\int_{-\pi/2}^{\pi/2} f(x) \cdot g(x)\ dx$, mostre que

Demonstração:

$\|\cos x\| = \sqrt{\displaystyle\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos^2 x\ dx} = \sqrt{\dfrac{\pi}{2}}$

$\|\sin x\| = \sqrt{\displaystyle\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin^2 x\ dx} = \sqrt{\dfrac{\pi}{2}}$

$\|x\| = \sqrt{\displaystyle\int_{-\pi/2}^{\pi/2} x^2\ dx} = \sqrt{\dfrac{\pi^3}{12}}$

Logo, $\|\sin x\|^2 + \|\cos x\|^2 = \left(\dfrac{\sqrt{12}}{\pi}\|x\|\right)^2$.