Distância de um ponto a um hiperplano.

Mostre que, no $n$-espaço, a distância do ponto $P$ ao hiperplano normal a $N$ passando por $Q$ é

$d = \left\|\dfrac{\langle N, Q\rangle - \langle N, P \rangle}{\langle N, N \rangle} N\right\|$.

Resolução:

Seja $P'$ a projeção de $P$ sobre o plano. $P' = tN + P$, para $t = \dfrac{\langle N, Q\rangle - \langle N, P \rangle}{\langle N, N \rangle}$.

$d = \|P' - P\| = \|tN + P - P\| = \|tN\| = \left\|\dfrac{\langle N, Q\rangle - \langle N, P \rangle}{\langle N, N \rangle} N\right\|$

Exemplo:

No $2$-espaço, para $\langle (a_i)_1^n, (b_i)_1^n \rangle = \displaystyle\sum_{i=1}^n (a_i b_i)$, seja $d$ a distância entre o ponto $(0, 0)$ e a reta $x + y - 1 = 0$. $N = (1, 1)$, $Q = (1, 0)$, $P = (0, 0)$.

$d = \left\|\dfrac{1 - 0}{2} (1, 1)\right\| = \left\|\left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}\right)\right\| = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

Quod Erat Demonstrandum.