Seja $K$ o conjunto de todos os números que podem ser escritos na forma $a + b\sqrt{2}$, com $a$ e $b$ racionais. Mostrar que $K$ é um corpo.

Seja $K$ o conjunto de todos os números que podem ser escritos na forma $a + b\sqrt{2}$, com $a$ e $b$ racionais. Mostrar que $K$ é um corpo.

Resolução:

Sejam $k_1 = a_1 + b_1\sqrt{2}$ e $k_2 = a_2 + b_2\sqrt{2}$ dois elementos de $K$:

$\begin{array}{| l | l |}\hline \rule{0pt}{0.8cm} \begin{array}{l} k_1 + k_2 = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)\sqrt{2}\ \in\ K\\ k_1 k_2 = (a_1 a_2 + 2b_1 b_2) + (a_1 b_2 + a_2 b_1)\sqrt{2}\ \in\ K\end{array} & \text{Seja } k = \dfrac{a_1 - b_1\sqrt{2}}{a_1^2 - 2b_1^2},\ k = k_1^{-1}\ \in\ K\text{.}\\ \hline \rule{0pt}{0.8cm} -k_1 = (-a_1) + (-b_1)\sqrt{2}\ \in\ K & \begin{array}{l} 0\ \in\ K\\ 1\ \in\ K\end{array}\\ \hline \end{array}$

Logo, satisfeitas as condições, $K$ é um corpo.

Quod Erat Demonstrandum.