Mostre que $\{(2, 1), (1, 0)\}$ é uma base do $\mathbb{R}^2$ e calcule as coordenadas de $(1, 1)$.

Mostre que $\{(2, 1), (1, 0)\}$ é uma base do $\mathbb{R}^2$ e calcule as coordenadas de $(1, 1)$.

Resolução:

Mostremos que $\{(2, 1), (1, 0)\}$ gera qualquer elemento $(a, b)$.

De fato, basta tomar $a = 2\alpha + \beta$ e $b = \alpha$, $\alpha,\ \beta \in \mathbb{R}$.

Mostremos agora que $(2, 1)$ e $(1, 0)$ são linearmente independentes.

Para tanto, basta mostrar que $\begin{vmatrix}2 & 1\\ 1 & 0\end{vmatrix} \neq 0$, o que é evidente.

Para encontrar as coordenadas de $(1, 1)$ na base $\{(2, 1), (1, 0)\}$, $(x_1, x_2)$, basta encontrar a solução do sistema

$\begin{cases}2x_1 + x_2 = 1\\ x_1 = 1\end{cases}$

que é $(1, -1)$.