Seja $V$ o espaço vetorial sobre $\mathbb{R}$, de todas as funções diferenciáveis. Mostre que $v_1 = e^x$ e $v_2 = e^{2x}$ são linearmente independentes.

Seja $V$ o espaço vetorial sobre $\mathbb{R}$, de todas as funções diferenciáveis. Mostre que $v_1 = e^x$ e $v_2 = e^{2x}$ são linearmente independentes.

Resolução:

Vamos supor que $v_1$ e $v_2$ sejam LD, ou seja, que existam $a$ e $b$ reais, $a \neq 0\ \vee\ b \neq 0$, tais que $av_1 + bv_2 = 0$.

$ae^x + be^{2x} = 0$ ${\Large (I)}$

Diferenciando:

$ae^x + 2be^{2x} = 0$ ${\Large (II)}$

Subtraindo (I) de (II):

$be^{2x} = 0\ \Rightarrow\ b = 0$ ${\Large (III)}$

Substituindo (III) em (I):

$ae^x = 0\ \Rightarrow\ a = 0$

Onde temos uma contradição com a hipótese de que ao menos um coeficiente deve ser não nulo. Logo, por absurdo, $e^x$ e $e^{2x}$ são linearmente independentes.

Quod Erat Demonstrandum.