Sejam os vetores $A_1, ..., A_r$ no $\mathbb{R}^n$, não nulos perpendiculares entre si. Mostrar que são linearmente independentes.

Sejam os vetores $A_1, ..., A_r$ no $\mathbb{R}^n$, não nulos perpendiculares entre si. Mostrar que são linearmente independentes.

Resolução:

Devemos mostrar que

$\underset{{\Large (I)}}{\underbrace{\displaystyle\sum_{i=1}^r a_i A_i = 0}}\ \Rightarrow\ a_k = 0,\ 1 \le k \le r$.

Se os vetores são perpendiculares entre si, $\langle A_p, A_q \rangle = 0,\ p \neq q,\ 1 \le p, q \le r$. ${\Large (II)}$

$(I)\ \Rightarrow\ \left\langle \displaystyle\sum_{i=1}^r a_i A_i, \displaystyle\sum_{i=1}^r a_i A_i \right\rangle = 0\ \overset{\text{(II)}}{\Rightarrow}\ \displaystyle\sum_{i=1}^r a_i^2 \underset{\neq 0}{\underbrace{\langle A_i, A_i \rangle}} = 0\ \Rightarrow\ a_k = 0,\ 1 \le k \le r$

Quod Erat Demonstrandum.