Seja $V$ o conjunto de todas as funções de $\mathbb{R}$ em $\mathbb{R}$. Mostre que $V$ é espaço vetorial. Mostre também que $W$, o conjunto de todas as funções contínuas, é sub-espaço de $V$. Mostre também que $U$, o conjunto das funções diferenciáveis, é sub-espaço de $W$.

Seja $V$ o conjunto de todas as funções de $\mathbb{R}$ em $\mathbb{R}$. Mostre que $V$ é espaço vetorial. Mostre também que $W$, o conjunto de todas as funções contínuas, é sub-espaço de $V$. Mostre também que $U$, o conjunto das funções diferenciáveis, é sub-espaço de $W$.

Resolução:

Sejam $f$, $g$ e $h$ funções de $\mathbb{R}$ em $\mathbb{R}$, e $a$ e $b$ escalares reais (os reais são um corpo).

$\begin{array}{l c l}(f + g) + h = f + (g + h) &  & 0 + f = f + 0 = f\\ f + (-1)f = 0 &  & f + g = g + f\\ a(f + g) = af + ag &  & (a + b)f = af + bf\\ (ab)f = a(bf) &  & 1f = f\end{array}$

Logo $V$ é espaço vetorial sobre $\mathbb{R}$.

Observemos que, se $f$ e $g$ são contínuas, então $f + g$ será contínua, e que, sendo $a$ um escalar real, $af$ também será contínua. Observemos também que a função constante $0$ também é contínua.

Logo $W$ é sub-espaço de $V$.

Sendo $f$ e $g$ diferenciáveis, $f + g$ também é diferenciável. Sendo $a$ um escalar real, $af$ também é diferenciável. A função nula $0$ também é diferenciável.

Logo $U$ é sub-espaço de $W$ (e também de $V$).

Quod Erat Demonstrandum.