cloudHQ: um agradecimento por quão útil foi e me é.

Uso a internet há muitos anos, e ela tem me ajudado em muitos e muitos aspectos, desde o desenvolvimento intrapessoal, ao profissional.

Tudo começou como entretenimento e fontes de estudo, mas depois a coisa foi ficando mais séria: comecei a criar sites e softwares, e manter cópias de backup de arquivos tornou-se uma necessidade fundamental, imaginemos, por exemplo, uma empresa que precisa manter os dados dos seus valiosos e preciosos clientes...

Muitas ferramentas e softwares me foram úteis, e, hoje, vim agradecer a um em especial, o cloudHQ.

Trata-se de um serviço que faz, dentre outras coisas, a sincronização de arquivos entre vários outros serviços de nuvem, como, dentre outros, Dropbox, Google Drive, Microsoft Onedrive, Box, e o russo Yandex, estes que utilizo.

Como tenho muitos registros a guardar, em especial deste blog de Matemática, ele foi e é de sumária importância para mim.

Costumo assim o utilizar: depois de uma quantidade substancial de arquivos produzidos, para sentir-me seguro quanto a os manter seguros através de ter várias cópias, basta acionar a sincronização que o cloudHQ faz o trabalho para mim.

Atualmente tenho 122 pares de sincronização, pares de diretórios, onde, dependendo das opções customizáveis, os arquivos são copiados de um para outro.

Dentre as opções de sincronização, posso citar, por exemplo, dentre muitas outras, deixar, no diretório de destino, apenas os arquivos criados pelo cloudHQ mantendo cópias fieis do diretório de origem mesmo que terceiros adicionem arquivos ao diretório de destino.

Nas poucas vezes que precisei consultar o suporte, ele foi rápido em responder e resolver.

O serviço, em sua versão gratuita, sincroniza arquivos até o tamanho máximo de 150 Mb, o que não é um fator limitante para pequenos empreendimentos.

Repetindo, ele me é útil tanto pessoalmente quanto profissionalmente, deixa-me tranquilo quanto à segurança dos arquivos que me são importantes, recomendo.

Link: "https://www.cloudhq.net".

Calculadora: encontrar fração geratriz.

Entre com o número real a ser encontrada a fração geratriz.

Exemplo:

Input: "1.274".
Output: "637 / 500".




Fração geratriz:

Calculadora: derivada de uma função em um ponto.

Entre com uma string contendo, separados por ponto e vírgula: primeiro: a função, deve ser na variável "x"; segundo: um número real, ponto do domínio da função; terceiro: "0", "1" ou "2", caso deseje se encontrar a derivada 0, 1, ou 2, respectivamente.

Exemplos:

Input: "x * x * x; 4; 2".
Output: aproximadamente "24".

Input: "cos(x + ln(x)); pi; 1".
Output: aproximadamente "1.5".




Derivada no ponto (trata-se de uma aproximação):

Calculadora: produtório.

Entre com uma string contendo, separados por ponto e vírgula ";": primeiro: a expressão do produtório, deve ser em função de "n"; segundo: um número natural como índice inferior; terceiro: um número inteiro como índice superior. Quanto maior a diferença entre o índice inferior e o superior, mas lentamente o resultado será obtido, além de exigir mais computação.

Exemplo:

Input: "n; 1; 5".
Output: "120".

Input: "cos(n) + 1; 1; 4".
Output: aproximadamente "0.003".

(pode travar o sistema)

Produtório:

Calculadora: somatório.

Entre com uma string contendo, separados por ponto e vírgula ";": primeiro: a expressão do somatório, deve ser em função de "n"; segundo: um número natural como índice inferior; terceiro: um número inteiro como índice superior. Quanto maior a diferença entre o índice inferior e o superior, mas lentamente o resultado será obtido, além de exigir mais computação.

Exemplos:

Input: "n; 1; 5".
Output: "15".

Input: "cos(n * pi) / fatorial(n); 0; 4".
Output: aproximadamente "0.37".

(pode travar o sistema)

Somatório:

Meme: quando o código funciona de primeira.

Calculadora: integral definida, aproximação por soma de Riemann.

Entre com uma string contendo, separados por ponto e vírgula ";": primeiro: a expressão da função da qual se deseja obter o valor da integral, deve ser uma função em "x"; segundo: um número real como valor inferior; terceiro: um número real como valor superior; quarto: o número de elementos da partição que será utilizada no cálculo, quanto maior, mais preciso, porém mais demorado e computacionalmente mais exigente.

Exemplos:

Input: "x; 0; 5; 2".
Output: "12.5".

Input: "x + log10(x*x + 2); -pi; 2.7; 8".
Output: aproximadamente "2.37".

(pode travar o sistema)

Integral definida, aproximação por soma de Riemann:

Demonstração: $\cosh (a + b) = (\cosh a)(\cosh b) + (\sinh a)(\sinh b)$.

$(\cosh a)(\cosh b) + (\sinh a)(\sinh b) =$

$= \dfrac{(e^a + e^{-a})(e^b + e^{-b}) + (e^a - e^{-a})(e^b - e^{-b})}{4} =$

$= \dfrac{e^{(a + b)} + \cancel{e^{(a - b)}} + \bcancel{e^{(b - a)}} + e^{-(a + b)} + e^{(a + b)} - \cancel{e^{(a - b)}} - \bcancel{e^{(b - a)}} + e^{-(a + b)}}{4} =$

$= \dfrac{2e^{(a + b)} + 2e^{-(a + b)}}{4} = \dfrac{e^{(a + b)} + e^{-(a + b)}}{2} = \cosh (a + b)$

Demonstração: $\sinh (a + b) = (\sinh a)(\cosh b) + (\sinh b)(\cosh a)$.

$(\sinh a)(\cosh b) + (\sinh b)(\cosh a) =$

$= \dfrac{(e^a - e^{-a})(e^b + e^{-b}) + (e^b - e^{-b})(e^a + e^{-a})}{4} =$

$= \dfrac{e^{(a + b)} + \cancel{e^{(a - b)}} - \bcancel{e^{(b - a)}} - e^{-(a + b)} + e^{(a + b)} + \bcancel{e^{(b - a)}} - \cancel{e^{(a - b)}} - e^{-(a + b)}}{4} =$

$= \dfrac{2e^{(a + b)} - 2e^{-(a + b)}}{4} = \dfrac{e^{(a + b)} - e^{-(a + b)}}{2} = \sinh (a + b)$

Demonstração: $\cosh^2 (x) - \sinh^2 (x) = 1$.

$\cosh (x) = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2}$

$\sinh (x) = \dfrac{e^x - e^{-x}}{2}$

$\cosh^2 (x) - \sinh^2 (x) = \dfrac{\cancel{e^{2x}} + 2\dfrac{e^x}{e^x} + \cancel{e^{-2x}} - \cancel{e^{2x}} + 2\dfrac{e^x}{e^x} - \cancel{e^{-2x}}}{4} =$

$= \dfrac{4}{4} = 1$

Meme: vai lá, matricula-te em 7 cadeiras...

Meme: conte-me mais sobre como terminou a faculdade honestamente...

Comprimento do gráfico de uma função polinomial.

Seja o polinômio $P(x) = \sum_{i=0}^n a_i x^i,\ a_n \neq 0$, de domínio real.

Vamos encontrar o comprimento do seu gráfico no intervalo $[a, b]$. Para tal, do Cálculo, temos a fórmula, que nos dá o comprimento de uma função $f$ diferenciável, e de derivada contínua, qualquer, no intervalo $[a, b]$:

$L(\lambda)\ =\ \int_a^b \sqrt{1 + [f'(x)]^2}\ dx$

Assim:

$L\ =\ \int_a^b \sqrt{1 + (d\dfrac{\sum_{i=0}^n a_i x^i}{dx})^2}\ dx$

$\fbox{$L\ =\ \int_a^b \sqrt{1 + (\sum_{i=0}^{n-1} (i + 1)a_{i+1} x^i)^2}\ dx$}$

Exemplo:

Seja $P(x) = x^2$ e o intervalo $[0, x_0]$:

$L\ =\ \int_0^{x_0} \sqrt{1 + (2x)^2}\ dx$

Seja $x = \dfrac{\tan \theta}{2},\ \theta \in (-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2})$, $dx\ =\ \dfrac{\sec^2 x}{2}\ d\theta$.

$L\ =\ \int_0^{\arctan 2x_0} \dfrac{\sec^3 \theta}{2}\ d\theta\ =$

$= (\dfrac{\ln |\sec \theta + \tan \theta| + (\sec \theta)(\tan \theta)}{4})\mid_0^{\arctan 2x_0}$

$L = \dfrac{\ln |\sqrt{1 + 4x_0^2} + 2x_0| + 2x_0\sqrt{1 + 4x_0^2}}{4}$

Seja, por exemplo, $x_0 = 2$:

$L = \dfrac{\ln |\sqrt{17} + 4| + 4\sqrt{17}}{4} \approx 4,6468$

Agora, por exemplo, $x_0 = 3$:

$L = \dfrac{\ln |\sqrt{37} + 6| + 6\sqrt{37}}{4} \approx 9,7471$

Abaixo, em uma tabela, mais pares de valores de $x_0$ e $L$ aproximado para $P(x) = x^2$:

Seja agora, como outro exemplo, $P(x) = x^2 - x$ e o intervalo $[0, x_0]$:

Com um pouco de trabalho ou utilizando uma calculadora ou software, pode-se chegar a:

$L = \dfrac{8x_0^3\sqrt{u} + 4x_0^2 \ln |2x_0 - 1 + \sqrt{u}|}{16x_0^2 - 16x_0 + 8} -$

$- \dfrac{12x_0^2\sqrt{u} - 4x_0 \ln |2x_0 - 1 +\sqrt{u}|}{16x_0^2 - 16x_0 + 8} +$

$+ \dfrac{8x_0\sqrt{u} + 2 \ln |2x_0 - 1| + \sqrt{u} - 2\sqrt{u}}{16x_0^2 - 16x_0 + 8} -$

$- \dfrac{\ln (\sqrt{2} - 1) - \sqrt{2}}{4}$

Com $u = 4x_0^2 - 4x_0 + 2$.

Construindo a tabela com auxílio de um software:

Meme: gosta mais de mim ou da Matemática?

Volume da esfera.

Para tal fim, vamos utilizar, do Cálculo, o método dos discos.

Consideremos a função $y = f(x) = \sqrt{r^2 - x^2},\ r > 0$.

Girando seu gráfico em torno do eixo $x$, teremos uma esfera de raio $r$.

Seu volume será calculado pela fórmula:

$V\ =\ \pi\int_{-r}^r [f(x)]^2\ dx$

$V\ =\ \pi\int_{-r}^r (r^2 - x^2)\ dx\ =\ \pi (r^2 x - \dfrac{x^3}{3})\mid_{-r}^r\ =$

$=\ \pi(r^3 - \dfrac{r^3}{3} + r^3 - \dfrac{r^3}{3})\ =\ \fbox{$\dfrac{4\pi r^3}{3}$}$

Integral da secante.

Sendo $x \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi,\ k \in \mathbb{Z}$, podemos escrever:

$\int \sec x\ dx\ =\ \int \sec x \dfrac{\sec x + \tan x}{\sec x + \tan x}\ dx$

Seja $u = \sec x + \tan x$,
$du\ =\ \sec^2 x + (\sec x)(\tan x)\ dx\ = \sec x (\sec x + \tan x)\ dx$.

Logo $\int \sec x\ dx\ =\ \int \dfrac{du}{u}\ =\ |u| + C$.

Assim:

$\fbox{$\int \sec x\ dx =\ |\sec x + \tan x| + C$}$

Meme: de acordo com os meus cálculos, isto não vai dar certo...

Meme: gato calculando salto.

Meme: doutor, ela me pediu um tempo e espaço; acho que quer calcular a velocidade.

Meme: amor gravitacional.

Meme: motivo para continuar estudando.

Meme: nesse carnaval eu também vou puxar meu bloco.

Meme: eficiência dos métodos anticoncepcionais.

Demonstração: todo polinômio de grau ímpar tem ao menos uma raiz.

Se $\mathbb{U} = \mathbb{C}$, pelo teorema fundamental da Álgebra, a demonstração é imediata.

Se $\mathbb{U} = \mathbb{R}$, observemos que a função cuja lei de formação é o polinômio é uma função contínua. Seja $f$ tal função:

$f(x) = \sum_{i=0}^n a_i x^i,\ a_n \neq 0$.

$n = 2k - 1,\ k \in \mathbb{N}$.

Temos 2 casos a considerar:

(I) $a_n > 0$:

$\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) = \lim_{x \rightarrow +\infty} a_n x^n = +\infty$

$\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) = \lim_{x \rightarrow -\infty} a_n x^n = -\infty$

(II) $a_n < 0$:

$\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) = \lim_{x \rightarrow +\infty} a_n x^n = -\infty$

$\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) = \lim_{x \rightarrow -\infty} a_n x^n = +\infty$

Em ambos os casos, pelo TVI, existe ao menos um $x_0$ tal que $f(x_0) = 0$.

Meme: calculadora, prepare-se, vou lhe usar.

Demonstração: $p \wedge (\bigvee_{i=1}^n q_i)\ \Leftrightarrow\ \bigvee_{i=1}^n (p \wedge q_i)$.

Vamos utilizar o método da indução finita.

Para $n = 1$, de imediato $p \wedge q_1\ \Leftrightarrow\ p \wedge q_1$.

Para $n = 2$, $p \wedge (q_1 \vee q_2)\ \Leftrightarrow\ (p \wedge q_1) \vee (p \wedge q_2)$.

Supondo a sentença verdadeira para $n$, vamos mostrar que vale para $n + 1$.

$p \wedge (\bigvee_{i=1}^n q_i)\ \Leftrightarrow\ \bigvee_{i=1}^n (p \wedge q_i)$

$p \wedge [(\bigvee_{i=1}^n q_i) \vee q_{n+1}]\ \Leftrightarrow\ [p \wedge (\bigvee_{i=1}^n q_i)] \vee (p \wedge q_{n+1})\ \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\ [\bigvee_{i=1}^n (p \wedge q_i)] \vee (p \wedge q_{n+1})\ \Leftrightarrow\ \bigvee_{i=1}^{n+1} (p \wedge q_i)$

Volume do parabolóide de revolução.

Consideremos a função $f(x) = \sqrt{x}$, cujo gráfico é um trecho de parábola.

Rotacionando seu gráfico ao redor do eixo $x$ teremos um parabolóide de revolução.

Vamos calcular seu volume.

O método mais cabível à situação é o dos discos, que diz que o volume do sólido de revolução gerado pela rotação do gráfico de uma função qualquer não negativa em torno do eixo $x$, no intervalo $[a, b]$, é dado pela fórmula:

$V\ =\ \pi\int_a^b [f(x)]^2\ dx$

Procedendo, desejando conhecer o volume até uma certa altura $h$:

$V\ =\ \pi\int_0^h x\ dx\ =\ \dfrac{\pi x^2}{2}\mid_0^h\ =\ \dfrac{\pi h^2}{2}$

Generalizando o resultado para um parabolóide qualquer, partindo-se da função $g(x) = \sqrt{\alpha x}$, chega-se à fórmula:

$\fbox{$V = \dfrac{\pi \alpha h^2}{2}$}$

Demonstração: existência de um valor que satisfaz a proposição.

Mostre que existe ao menos um $x_0 \in \mathbb{R}$ tal que $x_0 + 2\sin(x_0) = 1$.

Resolução:

Consideremos a função $f(x) = x + 2\sin(x) - 1$, observemos que ela é contínua; o que queremos provar é que $f$ tem ao menos uma raiz, ou seja, que existe um $x_0$ tal que $f(x_0) = 0$.

Observemos que $f(0) = -1 < 0$ e que $f(\dfrac{\pi}{2}) = \dfrac{\pi}{2} + 1 > 0$, logo, pelo TVI (teorema do valor intermediário), existe um $x_0 \in [0, \dfrac{\pi}{2}]$ tal que $f(x_0) = 0$.

Demonstração: $f(x)$ contínua e racional é constante.

Suponha que $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ é contínua e $f(x) \in \mathbb{Q}$ para todo $x \in \mathbb{R}$. Prove que $f(x)$ é constante para todo $x \in \mathbb{R}$.

Resolução:

Suponhamos que $f(x)$ não seja constante, ou seja, existem $a$ e $b$ reais tais que $f(a) \neq f(b)$. Sem perda de generalidade suponhamos que $f(a) < f(b)$.

Sendo $f$ contínua, existe um real $c$ tal que $f(a) < f(c) < f(b)$ e $f(c) \in \mathbb{Q'}$, o que é um absurdo, pois, por hipótese, $f(x) \in \mathbb{Q},\ \forall x \in \mathbb{R}$, logo $f$ é constante.

Meme: Deus criando a Física.

Exercício: esboce o gráfico de $f(x) = x - \lfloor x \rfloor$.

$g(x) = \lfloor x \rfloor$ é chamada de "função piso", retorna o maior inteiro menor que o real $x$.

$x$ pode ser escrito como $a + b$, onde $a = \lfloor x \rfloor$ e $b$, um número real não negativo tal que $0 \le b < 1$.

Definamos $h(x) = b$.

$f(x) = a + b - a = h(x)$

Estejamos atentos ao detalhe de que, quando $x$ for negativo, digamos, por exemplo, $-2,5$, $\lfloor -2,5 \rfloor = -3$, e $-2,5 = -3 + 0,5$.

Exercício: mostre que existe pelo menos um $b > 0$ tal que $\log (b) = e^{-b}$.

Observemos que, para $b = 1$, $\log (b) < e^{-b}$.

Observemos também que $\lim_{b \rightarrow +\infty} \log (b) = +\infty$ e $\lim_{b \rightarrow +\infty} e^{-b} = 0$.

Assim, como são funções contínuas, haverá ao menos uma intersecção entre seus gráficos; ou seja, $\log(b) = e^{-b}$ para algum $b$.