Exercício: conjugado de um número complexo.

Determine o número complexo $z$ tal que $4\overline{z} - z = 6 - 9i$.

Resolução:

$z = a + bi,\ \{a,\ b\}\ \subset\ \mathbb{R}$

$4a - a = 6\ \wedge\ -4b - b = -9$

$z = 2 + \dfrac{9i}{5}$

Exercício: resolver equação polinomial pelo método de Cardano-Tartaglia.

Resolva a equação $x^3 + 3x + 1 = 0$ pelo método de Cardano-Tartaglia.

Resolução:

$uv = 1$

$(u - v)^3 + 3(u - v) + 1 = 0$

$u^3 - 3u^2v + 3uv^2 - v^3 + 3u - 3v + 1 = 0$

 $u^3 - 3u^2 \cdot \dfrac{1}{u} + 3u \cdot \dfrac{1}{u^2} - \dfrac{1}{u^3} + 3u - \dfrac{3}{u} + 1 = 0$

$u^3 - 3u + \dfrac{3}{u} - \dfrac{1}{u^3} + 3u - \dfrac{3}{u} + 1 = 0$

$u^3 - \dfrac{1}{u^3} + 1 = 0$

$u^6 + u^3 - 1= 0$

Tomando $U = u^3$:

$U^2 + U - 1 = 0$

$U = \dfrac{-1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2}$

$U' = \dfrac{-1 + \sqrt{5}}{2}\ \Rightarrow\ u' = \sqrt[3]{\dfrac{-1 + \sqrt{5}}{2}}\ \Rightarrow\ v' = \dfrac{1}{\sqrt[3]{\dfrac{-1 + \sqrt{5}}{2}}}$

$U'' = \dfrac{-1 - \sqrt{5}}{2}\ \Rightarrow\ u'' = \sqrt[3]{\dfrac{-1 - \sqrt{5}}{2}}\ \Rightarrow\ v'' = \dfrac{1}{\sqrt[3]{\dfrac{-1 + \sqrt{5}}{2}}}$

$x' = u' - v' = \sqrt[3]{\dfrac{-1 + \sqrt{5}}{2}} - \sqrt[3]{\dfrac{2}{-1 + \sqrt{5}}}$

$x'' = u' - v' = \sqrt[3]{\dfrac{-1 - \sqrt{5}}{2}} - \sqrt[3]{\dfrac{2}{-1 - \sqrt{5}}}$

Exercício: cologaritmo.

Calcule $colog_{\sqrt{3}}(\dfrac{1}{81})$.

Resolução:

$colog_{\sqrt{3}}(\dfrac{1}{81}) = -\log_{\sqrt{3}}(\dfrac{1}{81}) = -2\log_3(\dfrac{1}{81}) =$

$= 2\log_3(81) = 2 \cdot 4 = 8$

Exercício: superposição dos ponteiros de um relógio.

Num relógio comum, o ponteiro dos minutos se superpõe ao ponteiro das horas às $3$ horas, $16$ minutos e $x$ segundos. Qual é o valor aproximado de $x$?

Resolução:

$t \cdot \dfrac{\pi}{21600} = t \cdot \dfrac{\pi}{1800} - 2k\pi,\ k = 3$

$x = t - 3600 \cdot 3 - 960$

$x \approx 22$

Exercício: comprimento de uma circunferência.

Calcule o comprimento da circunferência de diâmetro $AB$, sendo $A(2, 1)$ e $B(10, 7)$.

Resolução:

$d_{AB} = \sqrt{(10-2)^2 + (7-1)^2} = 10$

Logo o comprimento é $10\pi$.

Exercício: equação trigonométrica.

Resolva a equação $(\sin x)(\cos x) = \dfrac{1}{2}$ em $\mathbb{U} = \mathbb{R}$.

Resolução:

$\dfrac{\sin 2x}{2} = \dfrac{1}{2}\ \therefore\ 2x = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi,\ k \in \mathbb{Z}$

$S = \{x \in \mathbb{R}\ |\ x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi,\ k \in \mathbb{Z}\}$

Exercício: período de uma roda girando.

Qual o período de uma roda que gira a $600\ rpm$?

Resolução:

$600\ rpm\ =\ 10\ Hz$

$T = \dfrac{1}{10} = 0,1\ s$

Exercício: potência de um número complexo.

Sendo $z = 3(\cos \dfrac{\pi}{4} + i\sin \dfrac{\pi}{4})$, calcule $z^4$.

Resolução:

$z^4 = 3^4(\cos \dfrac{4\pi}{4} + i\sin \dfrac{4\pi}{4}) = -81$

Exercício: ângulos internos de um paralelogramo.

A diferença entre as medidas de dois ângulos consecutivos de um paralelogramo é $28^o$. Determine os dois ângulos.

Resolução:

Dois ângulos consecutivos de um paralelogramo, ou são congruentes, ou suplementares; como são diferentes, chamando o maior deles de $\theta$, $\theta + \theta - 28 = 180\ \therefore\ \theta = 104\ \wedge\ \theta - 28 = 76$.

Exercício: ângulo externo e ângulo central de um polígono.

Calcule a medida de um ângulo externo e de um ângulo central de um polígono regular de $n$ lados.

Resolução:

Chamando de $c$ um ângulo central, $c = \dfrac{360^o}{n}$.

Chamando de $i$ um ângulo interno, $i = \dfrac{(n - 2)\cdot 180^o}{n}$.

Chamando de $e$ um ângulo externo, $e = 180 - i = \dfrac{360}{n}$.

Demonstração: $n^2 - 3n$ é par.

Sendo $n$ inteiro, demonstre que $n^2 - 3n$ é par.

Resolução:

$n^2 - 3n = n(n - 3)$

Se $n$ é ímpar, $n - 3$ é par. Se $n - 3$ é ímpar, $n$ é par. $n(n - 3)$ o produto de um ímpar e um par é par.

Exercício: ângulos internos de um polígono.

Dois ângulos internos de um polígono convexo medem $140^o$ cada um e os demais ângulos internos medem $128^o$ cada um. Qual o número de lados do polígono?

Resolução:

O resto da divisão de $280 + 128(n - 2)$ por $180$ deve ser nulo para um $n$ mínimo, o que ocorre para $n = 7$.

Exercício: número de diagonais de polígonos.

Um polígono de $2n$ lados tem $18$ diagonais a mais que um polígono de $n$ lados. Quais os números de diagonais desses polígonos?

Resolução:

$4n^2 - 6n - n^2 + 3n - 36 = 0\ \Rightarrow\ n^2 - n - 12 = 0\ \therefore\ n = 4$

As diagonais são em número de $20$ e $2$.

Exercício: número de lados e diagonais de um polígono.

O número de diagonais de um polígono convexo de $x$ lados é dado por $d = \dfrac{x^2 - 3x}{2}$. Se o polígono possui $9$ diagonais, qual o número de lados?

Resolução:

$x^2 - 3x - 18 = 0\ \therefore\ x = 6$

Exercício: perímetro de um triângulo retângulo.

No triângulo retângulo $ABC$, abaixo, tem-se que: $M$ é ponto médio de $\overline{BC}$, $m(M\hat{A}C) = 30^o$ e $AB = 3\ cm$. Calcule o perímetro do triângulo $ABM$.

Resolução:

$\overline{AB} = \overline{BM}\ \wedge\ m(M\hat{A}B) = 60^o\ \Rightarrow\ \Delta ABM$ equilátero $\Rightarrow\ 2p = 9\ cm$.

Exercício: mediana em um triângulo retângulo.

Em um triângulo retângulo, a hipotenusa mede $26\ cm$ e a mediana relativa à hipotenusa tem $21\ cm$ a menos que a soma das medidas dos catetos. Calcule o perímetro desse triângulo.

Resolução:

$13 = b + c - 21$

$a + b + c = 26 + 34 = 60$

Exercício: afixo de um número complexo.

Seja $L$ o afixo do número complexo $a = \sqrt{8} + i$ em um sistema de coordenadas cartesianas $xOy$. Determine o número complexo $b$, de módulo igual a $1$, cujo afixo $M$ pertence ao quarto quadrante e é tal que $L\hat{O}M$ é reto.



Resolução:

$a = 3(\cos \arccos \dfrac{\sqrt{8}}{3} + i \cdot \sin \arcsin \dfrac{1}{3})$

$b = \dfrac{1}{3} - i \cdot \dfrac{\sqrt{8}}{3}$

Exercício: velocidade angular e linear.

Uma partícula está em movimento circular, de raio igual a $10\ cm$, com a velocidade angular de $0,20\ rad/s$. Determine a velocidade linear, em $km/h$.

$v = 0,10\ \cdot\ 0,20\ \cdot\ 3,6\ =\ 7,2\ \cdot\ 10^{-2}\ km/h$

Exercício: ponto de maior ordenada.

Se $P(x, y)$ é o ponto de maior ordenada do plano tal que $x^2 + y^2 = x$, Quanto vale $x + y$?

$y$ máximo implica $y^2$ máximo, que implica $x - x^2$ máximo.

$y$ máximo implica $x = \dfrac{1}{2}$, que implica, assumindo o valor máximo, $y = \dfrac{1}{2}$

$\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 1$

Exercício: período e frequência de um relógio.

Quais são o período e a frequência do ponteiro dos segundos de um relógio?

$T = 60\ s$, $f = \dfrac{1}{60}\ Hz$

Exercício: lugar geométrico.

Encontre uma equação do L.G. dos pontos equidistantes das retas $r: 3x - y + 2 = 0$ e $s: 3x + y - 1 = 0$.

Resolução:

$\dfrac{|3x - y + 2|}{\sqrt{10}} = \dfrac{|3x + y - 1|}{\sqrt{10}}$

$2y - 3 = 0\ \vee \ 6x + 1 =0$

Exercício: equação modular.

Resolva a equação $|x| = 5x - 1$.

Resolução:

$x \ge 0 \Rightarrow x = 5x - 1 \Rightarrow x = \dfrac{1}{4}$

$x < 0 \Rightarrow -x = 5x - 1 \Rightarrow \nexists x$

$S = \{\dfrac{1}{4}\}$

Exercício: ondulatória - harmônicos coincidentes.

Texto para as duas questões.

Uma pessoa cuja capacidade de audição vai de $20\ Hz$ a $20\ kHz$, ouve os sons produzidos simultaneamente por dois tubos sonoros: um aberto, de comprimento $42\ cm$, soprado com ar, e outro fechado, de comprimento $100\ cm$, soprado com hidrogênio. A pessoa verifica que algumas frequências podem ser produzidas simultaneamente pelos dois tubos. A velocidade do som no ar é $v_{ar}\ =\ 336\ m / s$ e a velocidade do som no hidrogênio é $v_H\ =\ 1280\ m / s$.

(FEI-SP) A menor frequência comum aos dois tubos que a pessoa ouve é:

a) $20\ Hz$
b) $400\ Hz$
c) $800\ Hz$
d) $1600\ Hz$
e) n.d.a.

(FEI-SP) O som mais agudo, produzido simultaneamente pelos dois tubos, que pode ser ouvido pela pessoa, tem frequência:

a) $1600\ Hz$
b) $3200\ Hz$
c) $17600\ Hz$
d) $19200\ Hz$
e) n.d.a.

Resolução:

Como ambos os tubos produzirão a mesma frequência, teremos a equação:

$n_1\ \cdot\ \dfrac{v_{ar}}{2 \ell_{ar}}\ =\ n_2\ \cdot\ \dfrac{v_H}{4 \ell_H}$     [1]

Onde $\ell_{ar}$ é o comprimento do tubo preenchido com ar, $\ell_H$ é o comprimento do tubo preenchido com hidrogênio, $n_1$ é a ordem do harmônico do primeiro tubo e $n_2$ é a ordem do harmônico do segundo tubo.

Substituindo os valores em [1]:

$n_1\ \cdot\ 400\ =\ n_2\ \cdot\ 320$     [2]

Cada membro da equação acima nos dá a frequência comum procurada. Para encontrá-la precisamos um inteiro qualquer $n_1$ e um inteiro ímpar $n_2$ que a satisfaça.

De [2] podemos concluir:

$n_1\ =\ 0,8\ \cdot\ n_2$     [3]

Assim temos que encontrar o menor ímpar $n_2$ que multiplicado por $0,8$ dê um inteiro. Tal número é $5$.

De [2], concluímos que a menor frequência procurada será:

$f_m\ =\ 5\ \cdot\ 320\ =\ 1600\ Hz$

Logo, para a primeira questão, a alternativa correta é a D.

...

Como a maior frequência audível é $20000\ Hz$, o $n_2$ deve ser tal que:

$n_2\ \le\ \dfrac{20000}{320}\ =\ 62,5$

Assim, por tentativas, devemos encontrar o máximo inteiro ímpar $n_2\ \le\ 61$ que, pela expressão [3], nos forceça um $n_1$ inteiro:

Para $n_2\ =\ 61$ teremos $n_1\ =\ 48,8$. Não serve.

Para $n_2\ =\ 59$ teremos $n_1\ =\ 47,2$. Não serve.

Para $n_2\ =\ 57$ teremos $n_1\ =\ 45,6$. Não serve.

Para $n_2\ =\ 55$ teremos $n_1\ =\ 44$. Encontramos.

Assim, a máxima frequência comum será no quadragésimo-quarto harmônico do primeiro tubo:

$f_M\ =\ 44\ \cdot 400\ =\ 17600\ Hz$

Logo, para a segunda questão, a alternativa correta é a C.

Exercício: ondulatória - frequências em harmônicos.

(ITA-SP) Uma corda vibrante, de comprimento $\ell_1$, fixa nos extremos, tem como menor frequência de ressonância $100\ Hz$. A segunda frequência de ressonância de uma outra corda, do mesmo diâmetro e mesmo material, submetida à mesma tensão, mas de comprimento $\ell_2$ diferente de $\ell_1$, é também igual a $100\ Hz$. A relação $\ell_2 / \ell_1$ é igual a:

a) $2$
b) $\sqrt{3}$
c) $1/2$
d) $\sqrt{2}$
e) $4$

Resolução:

A expressão de Lagrange para harmônicos é:

$f_n\ =\ n\ \cdot\ \dfrac{1}{2\ell} \sqrt{\dfrac{F}{d\ \cdot\ A}}$

Para as duas cordas $F$, $d$, $A$ e $f_n$ serão constantes, logo o quociente $n / \ell$ será constante para ambas. Então teremos:

$\dfrac{1}{\ell_1}\ =\ \dfrac{2}{\ell_2}\ \Rightarrow\ \dfrac{\ell_2}{\ell_1}\ =\ 2$

Logo a alternativa correta é a A.

Exercício: ondulatória - emissão do som por dois meios distintos.

(UF-CE) Uma martelada é dada na extremidade de um trilho. Na outra extremidade encontra-se um indivíduo que ouve dois sons, com uma diferença de tempo de $0,18\ s$. O primeiro se propaga através do trilho, com velocidade de $3400\ m/s$, e o segundo, através do ar, com velocidade de $340\ m/s$. Determine, em metros, o comprimento do trilho.

Resolução:

Como a constante da questão é o comprimento do trilho, chamando de $v_t$ a velocidade do som no trilho, $v_a$ a velocidade do som no ar, $t_t$ o tempo de percurso do som no trilho e $t_a$ o tempo de percurso do som no ar, teremos:

$v_t\ \cdot\ t_t\ =\ v_a\ \cdot\ t_a$     [1]

Mas:

$t_a\ =\ t_t\ +\ 0,18$     [2]

Substituindo [2] em [1], teremos:

$v_t\ \cdot\ t_t\ =\ v_a\ \cdot\ (t_t + 0,18)\ \Rightarrow\ t_t\ =\ \dfrac{v_a\ \cdot\ 0,18}{v_t - v_a}$

Substituindo, teremos:

$t_t\ =\ \dfrac{340\ \cdot\ 0,18}{3400 - 340}\ =\ \dfrac{340\ \cdot\ 0,18}{9\ \cdot\ 340}\ =\ 0,02\ s$

Chamando de $c$ o comprimento do trilho, teremos:

$c\ =\ v_t\ \cdot\ 0,02\ =\ 3400\ \cdot\ 0,02\ =\ 68\ m$

Exercício: ondulatória - Doppler.

A frequência ouvida por uma pessoa parada para o som emitido por uma fonte sonora em movimento é $1200\ Hz$, quando a fonte se aproxima, e $800\ Hz$, quando a fonte se afasta. Sendo $320\ m/s$ a velocidade do som no ar nas condições da questão, determine:

A) A velocidade da fonte sonora;
B) A frequência emitida pela fonte.

Resolução:

Chamando de $f$ a frequência da fonte, $f_p$ a frequência aparente de aproximação, $f_a$ a frequência aparente de afastamento, e $v_F$ a velocidade da fonte, as equações para os efeitos Doppler descritos no problema são:

$f_p\ =\ f\ \cdot \dfrac{320}{320 - v_F}$     [1]

$f_a\ =\ f\ \cdot \dfrac{320}{320 + v_F}$     [2]

Dividindo [1] por [2], membro a membro, teremos:

$\dfrac{f_p}{f_a}\ =\ \dfrac{320 + v_F}{320 - v_F}$

Substituindo os valores, teremos:

$\dfrac{1200}{800}\ =\ \dfrac{320 + v_F}{320 - v_F}$

Resolvendo:

$v_F\ =\ 64\ m/s$

Substituindo $v_F$ em [1]:

$1200\ =\ f\ \cdot \dfrac{320}{320 - 64}\ \Rightarrow\ f\ =\ 960\ Hz$

Exercício: ondulatória - determinando interferência.

Ondas produzidas pela fonte F refletem-se na superfície S, com inversão de fase e superpõem-se com as ondas diretas no ponto P, conforme a figura. Considerando que as ondas em questão tem comprimento de onda igual a $4,0\ m$, o ponto P é um mínimo ou um máximo de interferência?

Resolução:

Duas frentes de onda percorrerão dois caminhos distintos, interferindo-se no ponto P: uma ao longo do segmento $\overline{FP}$, e outra refletindo-se na superfície S.

O primeiro percorrerá $8\ m$, o segundo percorrerá $2\ \cdot\ \sqrt{3^2 + (\dfrac{8}{2})^2}\ =\ 10\ m$, de tal forma que a diferença será de $\Delta d\ =\ 2\ m$.

A metade do comprimento de onda é de $2\ m$, que é um múltiplo ímpar de $\Delta d$, e como a segunda frente de onda sofre inversão de fase, a interferência será construtiva.

Exercício: ondulatória - caminhante em um túnel.

(U Mackenzie-SP) Um túnel possui uma extremidade fechada e outra aberta. Na extremidade aberta existe uma fonte sonora que emite um som de $200\ Hz$. Uma pessoa que caminha no interior do túnel com velocidade constante ouve a cada $1,7\ s$ o som com intensidade mínima. Sendo a velocidade do som no ar de $340\ m \cdot s^{-1}$, a velocidade da pessoa é:

a) $200\ m \cdot s^{-1}$
b) $20\ m \cdot s^{-1}$
c) $1,7\ m \cdot s^{-1}$
d) $1\ m \cdot s^{-1}$
e) $0,5\ m \cdot s^{-1}$

Resolução:

Primeiramente devemos determinar o comprimento de onda da onda estacionária:

$\lambda\ =\ \dfrac{340}{200}\ =\ 1,7\ m$

Isso quer dizer que a distância entre dois nodos será de $\dfrac{1,7}{2}\ m$.

Como o caminhante percorreu uma distância nodal em $1,7\ s$, sua velocidade será:

$v\ =\ \dfrac{\dfrac{1,7}{2}}{1,7}\ =\ 0,5\ m \cdot s^{-1}$

Logo a alternativa correta é a E.

Exercício: expressão para interferência construtiva.

(FCM Santa Casa-SP) Duas fontes sonoras, $F_1 $ e $F_2 $, estão defasadas de $180^\circ $. Um ponto P dista $x_1 $ de $F_1 $ e $x_2 $ de $F_2 $.

Sendo $k$ um número inteiro e $\lambda $ o comprimento de onda dos sons emitidos por $F_1 $ e $F_2 $, a condição para que o ponto P sofra interferência construtiva é que a diferença de percurso $\Delta x\ =\ x_2 - x_1 $ seja dada pela expressão:

a) $k \lambda $
b) $(k - \dfrac{1}{2}) \lambda $
c) $2k \lambda $
d) $(2k - 1) \lambda $

Resolução:

Como as fontes estão defasadas em $\pi\ rad $, estão com fases invertidas, logo $\Delta x $ deve ser um múltiplo ímpar de $\dfrac{\lambda}{2} $ para que em P tenhamos um máximo de amplitude.

Mas todo número ímpar é da forma $2k - 1 $ com $k \in \mathbb{Z} $.

Assim, vamos ter:

$\Delta x\ =\ (2k - 1) \dfrac{\lambda}{2}\ =\ (k - \dfrac{1}{2}) \lambda $

Logo a alternativa correta é a B.

Altura e área de um triângulo equilátero.

$h = \dfrac{\ell \sqrt{3}}{2}$

$A = \dfrac{\ell^2 \sqrt{3}}{4}$

Inversa de uma matriz 2x2.

$A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d\end{bmatrix} \Rightarrow A^{-1} = \dfrac{1}{|A|}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a\end{bmatrix}$

Exercício: razão entre os comprimentos de onda.

(FUVEST-SP) Considere uma onda de rádio de $2\ MHz$ de frequência, que se propaga em um meio material, homogêneo e isotrópico, com $80\%$ da velocidade com que se propagaria no vácuo. Qual a razão $\lambda_0 / \lambda$ entre os comprimentos de onda no vácuo ($\lambda_0$) e no meio material ($\lambda$)?


Resolução:

A razão $\dfrac{\lambda_0}{\lambda}$, por a onda manter a mesma frequência, tem o mesmo valor da razão entre as velocidades $\dfrac{v_0}{v}$ entre a velocidade no vácuo e a velocidade no meio.

Como sabemos que $v\ =\ 80\%\ \cdot\ v_0$, teremos:

$\dfrac{\lambda_0}{\lambda}\ =\ \dfrac{v_0}{80\%\ \cdot\ v_0}\ =\ 1,25$