Pensamento: Matemática como base da organização pessoal.

 

Aplicação da Velocidade Angular de Antonio Vandré: Cinema.

Imaginemos uma cena a ser gravada por uma câmera de um personagem que se desloca sobre a reta $f(x) = 0$ com velocidade $v = 1\ m/s$, estando a câmera posicionada em $(5, 5)$. Se desejamos sabe a velocidade angular de rotação da câmera estando esta filmando o personagem em deslocamento quando este se encontra em $(0, 0)$, tal será

$\left|\mathcal{V\alpha_A}_{0, 1}^{[(5, 5), (5, 0)]} (0)\right| = \left|\dfrac{-1}{10}\right| = 0,1\ rad/s$.

Meme: outros profissionais olhando Matemáticos se divertirem.

 

Aplicação de Coordenadas Quadráticas de Antonio Vandré: lançamento horizontal.

Seja um ponto material lançado horizontamente de uma altura $h$ com uma velocidade $v$ em um lugar onde a aceleração da gravidade seja $g$. Encontrar o espaço percorrido pelo ponto material até atingir o solo.

 

Basta encontrar a segunda coordenada quadrática de Antonio Vandré quando $x = v\sqrt{\dfrac{2h}{g}}$ e $a = \dfrac{g}{2v^2}$.

$ax = \sqrt{\dfrac{gh}{2v^2}}$

$\fbox{$d = \dfrac{\sqrt{\dfrac{2gh\left(1 + \dfrac{2gh}{v^2}\right)}{v^2}} + \log \left(\sqrt{\dfrac{2gh}{v^2}} + \sqrt{1 + \dfrac{2gh}{v^2}}\right)}{\sqrt{\dfrac{8gh}{v^2}}}$}$

Calculadora: Coordenadas Quadráticas de Antonio Vandré.

Entre com, separadas por ponto e vírgula ";" a abscissa e a ordenada cartesianas.

Exemplo:

Entre com: "2; sen(pi/6)".




Coordenadas Quadráticas de Antonio Vandré:

Coordenadas Quadráticas de Antonio Vandré.

Seja um ponto $(x_0, y_0)$ no plano, não pertencente ao eixo das ordenadas, pertencente à parábola $y = ax^2$, define-se Coordenadas Quadráticas de Antonio Vandré ao par ordenado $(a, d)$, onde $d$ é o comprimento da parábola de $(0, 0)$ a $(x_0, y_0)$, ou seja, $d = \dfrac{2ax_0 \sqrt{1 + 4a^2 x_0^2} + \log \left|\sqrt{1 + 4a^2 x_0^2} + 2ax_0\right|}{4ax_0}$.

Exemplo:

Encontrar as Coordenadas Quadráticas de Antonio Vandré de $(2, 2)$.

$a = \dfrac{1}{2}$

$d = \dfrac{2 \sqrt{1 + 4} + \log \left|\sqrt{1 + 4} + 2\right|}{4}$

Logo $\fbox{$(2, 2) \equiv \left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{2\sqrt{5} + \log \left(2 + \sqrt{5}\right)}{4}\right)$}$.

Calculadora: conversão de Coordenadas Canônicas de Distância de Antonio Vandré para coordenadas cartesianas.

Entre com, separados por ponto e vírgula ";", os elementos da Coordenada Canônica de Antonio Vandré da qual se deseja conhecer em coordenadas cartesianas.

Exemplo:

Entre com: "sqrt(2); ln(euler); 1".




Coordenadas cartesianas:

Calculadora: conversão de Coordenadas de Distância de Antonio Vandré para coordenadas cartesianas.

Entre com, separados por ponto e vírgula ";", primeiro: o primeiro ponto de referência e sua distância, segundo: o segundo ponto de referência e sua distância, terceiro: o ponto de referência e sua distância; abscissas, ordenadas e distâncias separadas por dois pontos ":".

Exemplo:

Entre com: "Entre com: "3: 4: 5; -1: -1: sqrt(2); 0: log(64, 4): 3".".




Coordenadas cartesianas:

Calculadora: Coordenada Canônica de Distância de Antonio Vandré.

Entre com, separadas por ponto e vírgula ";" a abscissa e a ordenada cartesianas.

Exemplo:

Entre com: "2; pi - 1".




Coordenada Canônica de Distância de Antonio Vandré:

Calculadora: Coordenada de Distância de Antonio Vandré.

Entre com, separados por ponto e vírgula ";", primeiro: o ponto em coordenadas cartesianas, segundo: o ponto de referência "P", terceiro: o ponto de referência "Q", quarto: o ponto de referência "R"; abscissas e ordenadas separadas por dois pontos ":".

Exemplo:

Entre com: "2: 2; 3: 2; 1: pi; -4: euler".




Coordenada de Distância de Antonio Vandré:

Coordenas de Distância de Antonio Vandré. Coordenas Canônicas de Distância de Antonio Vandré.

Coordenas de Distância de Antonio Vandré.

 

Seja um ponto $X(x, y)$ no plano e três pontos de referência $P(x_P, y_P)$, $Q(x_Q, y_Q)$ e $R(x_R, y_R)$, a matriz

$\begin{bmatrix}x_P & y_P & d_{PX}\\ x_Q & y_Q & d_{QX}\\ x_R & y_R & d_{RX}\end{bmatrix}$

chama-se uma Coordenada de Distância de Antonio Vandré do ponto $X$ para os pontos de referência $P$, $Q$ e $R$.

Coordenas Canônicas de Distância de Antonio Vandré.

Define-se Coordenada Canônica de Distância de Antonio Vandré uma Coordenada de Distância de Antonio Vandré quando $P \equiv (0, 0)$, $Q \equiv (1, 0)$ e $R \equiv (0, 1)$, que podem ser suprimidos, onde a coordenada será da forma $[d_{PX}, d_{QX}, d_{RX}]$.

Exemplo: encontrar a coordenada canônica de distância de Antonio Vandré de $(2, 2)$.

$(2, 2) \equiv [2\sqrt{2}, \sqrt{5}, \sqrt{5}]$

Calculadora: Curva Dirigida de Antonio Vandré.

Entre com uma string contendo, separados por ponto e vírgula ";": primeiro: a expressão para $x_0$; segundo: a expressão para $y_0$; terceiro: a expressão para $v_x$; quarto: a expressão para $v_y$; quinto: a função $u(t)$, deve ser uma função em "t"; sexto: um número real não negativo como valor inferior para "t"; sétimo: um número real maior que o valor inferior como valor superior para "t"; oitavo: a resolução, quanto maior, mais precisa a curva, porém o cálculo mais demorado e computacionalmente mais exigente.

Log:

Calcular $I\ =\ \displaystyle\int_0^1 \sqrt{x + 3}\ dx$.

Seja $u = x + 3$, $du = dx$.

 

$I\ =\ \displaystyle\int_3^4 \sqrt{u}\ du\ =\ \left.\dfrac{2\sqrt{u^3}}{3}\right|_3^4 = \fbox{$\dfrac{16}{3} - 2\sqrt{3}$}$

Curva Dirigida de Antonio Vandré.

Seja um ponto percorrendo $\begin{cases}x = x_0 + abv_x t\\ y = x_0 + abv_y t\end{cases}$, com $t \ge 0$, tal que, após executar

$\begin{cases}b\ \text{recebe}\ 1\text{.}\\ \text{Se}\ v_x \ge 0,\ \text{então}\ a\ \text{recebe}\ 1,\ \text{senão}\ a\ \text{recebe}\ -1\text{.}\end{cases}$,

 

para cada acréscimo infinitesimal em $t$, o algoritmo seguinte é executado:

 

$\begin{cases}\theta\ \text{recebe}\ \arctan \dfrac{u(t)\ dt}{\sqrt{v_x^2 + v_y^2}} + \arctan \dfrac{v_y}{v_x}\text{.}\end{cases}$

 

$\begin{cases}\text{Se}\ |\theta| > \dfrac{\pi}{2},\ \text{então}\ b\ \text{recebe}\ -b\text{.}\end{cases}$

 

$\begin{cases}V_x\ \text{recebe}\ \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + [u(t)\ dt]^2} \cdot \cos \theta\text{.} \\ V_y\ \text{recebe}\ \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + [u(t)\ dt]^2} \cdot \sin \theta\text{.}\end{cases}$

$\begin{cases}v_x\ \text{recebe}\ V_x\text{.}\\ v_y\ \text{recebe}\ V_y\text{.}\end{cases}$.

Tal ponto descreverá uma chamada Curva Dirigida de Antonio Vandré. A função $u(t)$ é chamada Função Característica da Curva Dirigida de Antonio Vandré.

Calcular a segunda derivada de $f(x) = \log_a x$.

$f'(x) = \dfrac{1}{x\log a}$

$\fbox{$f''(x) = -\dfrac{1}{x^2 \log a}$}$

Exercício: sistema de equações exponenciais.

Calcular o conjunto solução so seguinte sistema de equações exponenciais:

 

$\begin{cases}4^x \cdot 8^y = \dfrac{1}{4}\\ 9^x \cdot 27^{2y} = 3\end{cases}$.

$\begin{cases}2^{2x + 3y} = 2^{-2}\\ 3^{2x + 6y} = 3\end{cases}\ \Rightarrow\ y = 1\ \wedge\ x = -\dfrac{5}{2}$

$\fbox{$S = \left\{\left(-\dfrac{5}{2}, 1\right)\right\}$}$

Meme: Quando vejo Matemática escrita.

 

Qual a derivada de $f(x) = \sqrt[3]{\sin x}$?

$\fbox{$f'(x) = \dfrac{\cos x}{3\sqrt[3]{\sin^2 x}}$}$

Quais as soluções da equação $4^x - 2^x = 12$?

$2^{2x} - 2^x - 12 = 0\ \Rightarrow\ 2^x = 4\ \Rightarrow\ \fbox{$x = 2$}$

Qual a soma das raízes da equação $3^{x-1} + 3^{4-x} = 36$?

$\dfrac{3^x}{3} + \dfrac{81}{3^x} = 36\ \Rightarrow\ 3^{2x} - 108 \cdot 3^x + 243 = 0\ \Rightarrow$

 

$\Rightarrow\ 3^{x_1} = 54 - 9\sqrt{33}\ \wedge\ 3^{x_2} = 54 + 9\sqrt{33}$

$3^{x_1 + x_2} = 243\ \Rightarrow\ \fbox{$x_1 + x_2 = 5$}$

Exercício: velocidade de refrigeração.

Uma peça de carne foi colocada num freezes no instante $t = 0$. Após $t$ horas, sua temperatura, em graus centígrados, é dada por:

 

$T(t) = 30 - 5t + \dfrac{4}{t + 1},\ 0 \le t \le 5$.

Qual a velocidade de redução de sua temperatura após $2$ horas?

$T'(2) = -5 - \dfrac{1}{(2 + 1)^2} = \fbox{$-\dfrac{46}{9}$}$

Resolver em $\mathbb{R}$: $2^{2x+1} \cdot 4^{3x+1} = 8^{x-1}$.

$2^{8x + 3} = 2^{3x - 3}\ \Rightarrow\ x = -\dfrac{6}{5}$

$\fbox{$S = \left\{-\dfrac{6}{5}\right\}$}$

Seja $f(x) = \dfrac{1}{x}$, mostrar, pela definição de derivada, que $f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}$.

Seja $f$ contínua em $x$:

$\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{\dfrac{1}{x + h} - \dfrac{1}{x}}{h} = \displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{x - x - h}{xh(x + h)} = \displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{-1}{x^2 + xh} = -\dfrac{1}{x^2}$.

Quod Erat Demonstrandum.

Determinar o conjunto verdade da equação $2^{x + \frac{3}{2}} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{-3}$.

$x + \dfrac{3}{2} = 3\ \Rightarrow\ \fbox{$V = \left\{\dfrac{3}{2}\right\}$}$

Calculadora: valor em cédulas e moedas.

Entre com uma string separada por ponto e vírgula ";", sendo a primeira parte o valor monetário, e a segunda uma parte separada por vírgulas "," com as cédulas e moedas existentes.

Exemplo: entre com "150; 50, 25"

Valor em cédulas e moedas:

Exercício: ponto de intersecção das retas tangentes.

Determinar o ponto de interseção das tangentes traçadas à curva de equação $f(x) = \dfrac{1 + 3x^2}{3 + x^2}$ nos pontos de ordenada $1$.

 

$f(x) = 1\ \Rightarrow\ x = 1\ \vee\ x = -1$

$f'(1) = \dfrac{6 \cdot 1 \cdot (3 + 1^2) - 2 \cdot 1 \cdot (1 + 3 \cdot 1^2)}{(3 + 1^2)^2} = 1$

$f'(-1) = -1$

$\begin{cases}y - 1 = x - 1\\ y - 1 = -x - 1\end{cases}\ \Rightarrow\ \fbox{$(x, y) = (0, 0)$}$

 

 

Qual a soma das raízes da equação $2^{2x+1} - 2^{x+4} = 2^{x+2} - 32$?

$2^{2x} - 10 \cdot 2^x + 16 = 0\ \Rightarrow\ x = 1\ \vee\ x = 3\ \Rightarrow\ \fbox{$\displaystyle\sum = 4$}$

Obter a derivada de $f(x) = \left(\dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}{x} + 1\right)^3$.

$\fbox{$f'(x) = 3\left(\dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}{x} + 1\right)^2\left(-\dfrac{2}{x^3} - \dfrac{1}{x^2}\right)$}$