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Seja $f$ uma função contínua e diferenciável em um intervalo $]a, b[$, a velocidade do ponto $(x, f(x))$, $x \in ]a, b[$, ao longo do seu gráfico na qual a velocidade de $x$, $x \in ]a, b[$, ao longo do eixo $Ox$ é dada $v$, é chamada Velocidade Funcional de Antonio Vandré.
$\dfrac{dC}{dt} = \dfrac{dC}{dx} \cdot \dfrac{dx}{dt}\ \Rightarrow\ \fbox{$\mathcal{VF_{A}}[f(x), v] (x) = v\sqrt{1 + [f'(x)]^2}$}$.
Exemplo: $\mathcal{VF_{A}}[\tan x, 1] (x)$:
Afim de simplificar os cálculos, consideremos $g$ constante igual a $0$.
Seja $v_o$ a velocidade de deslocamento de um ponto sobre o gráfico de $f$, $\dfrac{dx_o}{dt} = \dfrac{v_o}{\sqrt{1 + [f^{'}(x_o)]^2}}$.
Isolando $x_i$ em $g(x_i) = \dfrac{f(x_o) - b}{x_o - a} \cdot x_i + b - \dfrac{f(x_o) - b}{x_o - a} \cdot a$ e derivando com relação a $t$, chamando de $v_i$ a velocidade da imagem:
$\fbox{$v_i = \dfrac{v_o}{\sqrt{1 + [f^{'}(x_o)]^2}} \cdot \dfrac{[af^{'}(x_o) - b][f(x_o) - b] - f^{'}(x_o) [af(x_o) - bx_o]}{[f(x_o) - b]^2}$}$.
Ponto cego no eixo $Ox$, $x_0 \neq a$, $f(x_o) \cdot b > 0\ \wedge\ |f(x_o)| > |b|$.
Sejam os gráficos de duas funções $f(x)$ e $g(x)$, e um ponto $(a, b)$ entre um ponto de $f$ e um ponto de $g$, definimos "Ponto Cego de Antonio Vandré" um ponto de $g$ pertencente à reta definida por um ponto de $f$ e $(a, b)$.
Chamemos de $x_o$ ($x_o \neq a$) a abscissa do ponto objeto, um ponto de $f$, a reta definida por $(a, b)$ e este ponto é $y = \dfrac{f(x_o) - b}{x_o - a} \cdot x + b - \dfrac{f(x_o) - b}{x_o - a} \cdot a$.
Chamemos $x_i$ a abscissa do ponto imagem, um ponto de $g$ pertencente à reta.
Se $x_o = a$ e $g$ estiver definida em $x_o$, $x_i = x_o$. Caso contrário:
$\fbox{$g(x_i) = \dfrac{f(x_o) - b}{x_o - a} \cdot x_i + b - \dfrac{f(x_o) - b}{x_o - a} \cdot a,\ min(x_o, x_i) < a < max(x_o, x_i)$}$.
Exemplo:
Sejam $f(x) = 0$, $g(x) = 2$ e $(a, b) = (0, 1)$, para $x_o = 1$:
$2 = -x_i + 1 + 1 \cdot 0\ \Rightarrow\ x_i = -1$.
Utilizando uma calculadora, obtemos aproximadamente $-3,5\ rad/s$.
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Sejam $P(a, b)$, $Q(c, d)$, o eixo $\overrightarrow{PQ}$, e uma função $f: I \rightarrow \mathbb{R}$, diferenciável em $I$. Se um móvel desloca-se sobre o gráfico de $f$ com uma velocidade $v$, a velocidade do ângulo entre o eixo e o ponto onde se encontra o móvel é
$\mathcal{V\alpha_A}_{f(x), v}^{[(a, b), (c, d)]} (x) = \dfrac{d}{dx}\left(\mathcal{\alpha_A}_{f(x)}^{[(a, b), (c, d)]}\right) \cdot \dfrac{dx}{dC} \cdot v$. Logo
${\tiny \displaylines{\mathcal{V\alpha_A}_{f(x), v}^{[(a, b), (c, d)]} (x) = \dfrac{[(c - a) + (d - b)f'(x)]\sqrt{[(c - a)^2 + (d - b)^2]\{(x - a)^2 + [f(x) - b]^2\}} - \dfrac{\{(c - a)(x - a) + (d - b)[f(x) - b]\}[(c - a)^2 + (d - b)^2]\{2(x - a) + 2[f(x) - b]f'(x)\}}{2\sqrt{[(c - a)^2 + (d - b)^2]\{(x - a)^2 + [f(x) - b]^2\}}}}{[(c - a)^2 + (d - b)^2]\{(x - a)^2 + [f(x) - b]^2\}} \cdot \\ \cdot \dfrac{v}{\sqrt{1 + [f'(x)]^2}} \cdot \dfrac{-1}{\sqrt{1 - \dfrac{\{(c - a)(x - a) + (d - b)[f(x) - b]\}^2}{[(c - a)^2 + (d - b)^2]\{(x - a)^2 + [f(x) - b]^2\}}}}}}$.
Exemplo: $\mathcal{V\alpha_A}_{1, 1}^{[(0, 0), (0, 1)]} (1) = 0.5$
Sejam $P(a, b)$, $Q(c, d)$, o eixo $\overrightarrow{PQ}$, e uma função $f: I \rightarrow \mathbb{R}$. O ângulo $\theta$ de um ponto de $f$ com o eixo $\overrightarrow{PQ}$ é tal que $\cos \theta = \dfrac{(c - a)(x - a) + (d - b)[f(x) - b]}{\sqrt{[(c - a)^2 + (d - b)^2]\{(x - a)^2 + [f(x) - b]^2\}}}$.
Chamando tal ângulo de Ângulo de Antonio Vandré,
$\mathcal{\alpha_A}_{f(x)}^{[(a, b), (c, d)]} = \arccos \dfrac{(c - a)(x - a) + (d - b)[f(x) - b]}{\sqrt{[(c - a)^2 + (d - b)^2]\{(x - a)^2 + [f(x) - b]^2\}}}$.
Exemplo: $f(x) = 0$, $P(0, 1)$, $Q(0, 2)$:
$\mathcal{\alpha_A}_{0}^{[(0, 1), (0, 2)]} = \arccos \dfrac{-1}{\sqrt{x^2 + 1}}$.
Sabendo que $arccord\ x = \arccos \left(1 - \dfrac{x^2}{2}\right)$, utilizando a regra da cadeia:
$(arccord\ x)' = \dfrac{x}{\sqrt{1 - \left(1 - \dfrac{x^2}{2}\right)^2}} = \fbox{$\dfrac{2}{\sqrt{4 - x^2}}$}$.
${\large cord\ \alpha = \sqrt{2(1 - \cos \alpha)}}$
Inversa: seja $arccord: \underset{x\ \mapsto\ arccord\ x}{[0, 2] \rightarrow [0, \pi]},\ \fbox{$arccord\ x = \arccos \left(1 - \dfrac{x^2}{2}\right)$}$.
Derivada: $\fbox{$(cord\ \alpha)' = \dfrac{\sin \alpha}{\sqrt{2 - 2\cos \alpha}}$}$.
Observemos que, para $0 \le \alpha \le 2\pi$, $cord\ \alpha = 2\sin \dfrac{\alpha}{2}$.
Logo,
$\fbox{$\displaystyle\int cord\ \alpha\ d\alpha\ =\ -4\cos \dfrac{\beta}{2} + c,\ \alpha = 2k\pi + \beta,\ k \in \mathbb{Z}, 0 \le \beta < 2\pi$}$.
Seja um veículo de massa $1200\ kg$ deslocando-se sobre uma rodovia em forma de $\log x$ com uma velocidade de $20\ m/s$. Determine a força exercida pelos pneus sobre a rodovia para $x = 4$.
Resolução:
$F = \dfrac{1200 \cdot 400}{\mathcal{RC_A}_{[\log x, 4]}} = \dfrac{480000}{\dfrac{17\sqrt{17}}{4}} \approx \fbox{$2,7 \cdot 10^4\ N$}$
O raio de uma curva $f(x)$ em $x = x_0$ é dado por $\mathcal{RC_A}_{[f(x), x_0]} = \sqrt{\sigma^2 + \left( \dfrac{\sigma}{f'(x_0)}\right)^2}$,
$\sigma = \displaystyle\lim_{x \rightarrow x_0} \left\{x_0 - \dfrac{f'(x)[x_0 + f(x_0)f'(x_0)] - f'(x_0)[x + f(x)f'(x)]}{f'(x) - f'(x_0)}\right\}$.
Demonstração:
Sejam duas retas ortogonais não paralelas a $f(x)$:
$\begin{cases}y - f(a) = \dfrac{-1}{f'(a)}(x - a)\ {\Large (I)}\\ y - f(b) = \dfrac{-1}{f'(b)}(x - b)\end{cases}$.
Terão interseção em $x = \delta = \dfrac{f'(b)[a + f(a)f'(a)] - f'(a)[b + f(b)f'(b)]}{f'(b) - f'(a)}$.\\
Calculando a ordenada em (I), substituindo $a$ por $x_0$, $b$ por $x$ e tomando $\sigma = \displaystyle\lim_{x \rightarrow x_0} x - \delta$,
$\fbox{$\mathcal{RC_A}_{[f(x), x_0]} = \sqrt{\sigma^2 + \left(\dfrac{\sigma}{f'(x_0)}\right)^2}$}$.
Exemplo: $f(x) = x^2$ e $x_0 = 1$:
$\sigma = 5\ \Rightarrow\ \mathcal{RC_A}_{[x^2, 1]} = \dfrac{5\sqrt{5}}{2}$.
O valor médio de uma função contínua $f$ em um intervalo $[a, b]$ é dado por
$\mathcal{M_A}_{f(x)}^{[a, b]} = \left[\avsum_a^b f(x)\right] \cdot \displaystyle\lim_{n \rightarrow +\infty} n^{-1}$.
Exemplo:
Seja $f(x) = x$.
$\left(\avsum_a^b x\right) \cdot \displaystyle\lim_{n \rightarrow +\infty} n^{-1} = \left\{\displaystyle\lim_{n \rightarrow +\infty} \left[a + \dfrac{b-a}{\cancel{n}} \cdot \underset{\text{P.A.}}{\underbrace{\dfrac{\cancel{n}(n+1)}{2}}}\right]\right\} \cdot \displaystyle\lim_{n \rightarrow +\infty} n^{-1} =$
$= \displaystyle\lim_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{2an + (b-a)(n+1)}{2n}\ \overset{\text{L'Hospital}}{=}\ \dfrac{a + b}{2}$
Determinar a frequência sonora ouvida por uma pessoa localizada a $8\ m$ de uma estrada quando nela se encontra uma ambulância emitindo um som de $3,0 \cdot 10^3\ Hz$, na estrada aproximando-se com $v = 20\ m/s$, a $10\ m$ de distância. Considere a velocidade do som $v_s = 340\ m/s$.
Resolução:
$f \underset{v_s >> v}{\underbrace{\approx}} 3000 \cdot \dfrac{340}{340 + \underset{-12}{\underbrace{\mathcal{V_A}_8^{[20, (6, 0)]}(0)}}} \approx \fbox{$3100\ Hz$}$
A velocidade $\mathcal{V_A}_{f(x)}^{[v, (a, b)]}(x)$ de distanciamento (ou de aproximação, caso negativa) de um ponto pertencente à curva de uma função contínua, derivável $f(x)$, que se move a uma velocidade $v$, a um ponto $(a, b)$ em $x$ é dada por
$\fbox{$\mathcal{V_A}_{f(x)}^{[v, (a, b)]}(x) = \dfrac{v\{(x - a) + [f(x) - b] f'(x)\}}{\sqrt{\{(x - a)^2 + [f(x) - b]^2\}\{1 + [f'(x)]^2\}}}$}$.
Demonstração:
Seja $D = \sqrt{(x - a)^2 + [f(x) - b]^2}$ a distância de $(x, f(x))$ a $(a, b)$.
Seja $C = \displaystyle\int_c^x \sqrt{1 + [f'(k)]^2}\ dk$, $c \in D_f$ o comprimento da curva $f(k)$ de $k = c$ a $x$.
$\dfrac{dC}{dx} = \sqrt{1 + [f'(x)]^2}$
$\mathcal{V_A}_{f(x)}^{[v, (a, b)]}(x) = \dfrac{dD}{dt} = \dfrac{dD}{dx} \cdot \dfrac{dx}{dC} \cdot \dfrac{dC}{dt}$
$\mathcal{V_A}_{f(x)}^{[v, (a, b)]}(x) = \dfrac{(x - a) + [f(x) - b] f'(x)}{\sqrt{(x - a)^2 + [f(x) - b]^2}} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{1 + [f'(x)]^2}} \cdot v$
Exemplo: para $f(x) = x$, $x = 1$, $(a, b) = (2, 0)$ e $v = 2$:
$\mathcal{V_A}_{x}^{[2, (2, 0)]}(1) = \dfrac{-1 + 1}{\sqrt{2}} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{2}} \cdot 2 = 0$
Eis o gráfico de $\mathcal{V_A}_{x}^{[2, (2, 0)]}(x)$ por $x$:
