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Basta mostrar que $ae^{2t} + bt^2 + ct = 0\ \Rightarrow\ a = b = c = 0,\ \forall t \in \mathbb{R}$.
Tomemos $t = 0$, $t = 1$ e $t = 2$:
$t = 0\ \Rightarrow\ a = 0$
$t = 1\ \wedge\ a = 0\ \Rightarrow\ b + c = 0$ (I)
$t = 2\ \wedge\ a = 0\ \Rightarrow\ 4b + 2c = 0$ (II)
Por (I) e (II) temos $b = c = 0$
Quod Erat Demonstrandum.
Sejam $f$ uma função par e $g$ uma função ímpar. Seja uma função $h$ tal que $h(x) = f(x) + g(x)$ (I).
$h(-x) = f(x) - g(x)$ (II)
Somando (I) e (II) obtemos $f(x) = \dfrac{h(x) + h(-x)}{2}$
Subtraindo (II) de (I) obtemos $g(x) = \dfrac{h(x) - h(-x)}{2}$
Como $h(x) = \underset{\text{Função par.}}{\underbrace{\dfrac{h(x) + h(-x)}{2}}} + \underset{\text{Função ímpar.}}{\underbrace{\dfrac{h(x) - h(-x)}{2}}}$,
$V = U + W$ (III)
Como a única função que é simultaneamente par e ímpar é a função nula $O$,
$U \cap W = \{O\}$ (IV)
Por (III) e (IV), obtemos o desejado.
Se $S$ é LD, existe um escalar $a_j \neq 0$ tal que $a_1 u_1 +\ \dots\ + a_j u_j +\ \dots\ a_n u_n = 0$, logo
$u_j = -a_j^{-1}a_1 u_1 -\ \dots\ - a_j^{-1}a_{j-1} u_{j-1} - a_j^{-1}a_{j+1} u_{j+1} -\ \dots\ - a_j^{-1} a_n u_n$
Ou seja, $u_j$ é combinação linear dos demais.
Vamos supor agora que $u_j = a_1 u_1 +\ \dots\ + a_{j-1} u_{j-1} + a_{j+1} u_{j+1} +\ \dots\ + a_n u_n$, donde
$a_1 u_1 +\ \dots\ - u_j\ +\ \dots\ a_n u_n = 0$
Ou seja, $S$ é LD.
Quod Erat Demonstrandum.
Seja $R = (b_j)$ um vetor coluna tal que $AR$ está definido; sejam $A_i = (a_{ij})$ as linhas de $A$:
$AR = (A_1 R,\ \dots\ , A_n R) =$
$= (a_{11}b_1 +\ \dots\ + a_{1m}b_m,\ \dots\ , a_{n1}b_1 + \dots + a_{nm}b_m) =$
$= b_1 (a_{11},\ \dots\ , a_{n1}) +\ \dots\ + b_m (a_{1m},\ \dots\ , a_{nm})$
Assim, se $A$ é uma matriz qualquer para a qual $AB$ está definido, toda coluna de $AB$ estará no espaço das colunas de $A$, assim o espaço das colunas de $AB$ está contido no espaço das colunas de $A$.
Quod Erat Demonstrandum.
Se $U \cup W$ é subespaço, é fechado com relação à soma. Seja $u \in U$ e $w \in W$, $u + w\ \in\ U \cup W$.
Seja $u' \in U$ e $w' \in W$, $u + w = u'\ \vee\ u + w = w'$.
Ou seja, $w = u' - u\ \vee\ u = w' - w$, ou seja, $w \in U\ \vee\ u \in W$.
Quod Erat Demonstrandum.
Seja o sistema homogêneo
$\begin{cases}a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = 0\\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = 0\\ \cdots\\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = 0\end{cases}$
Observemos que $O$ é solução.
Observemos que, se $a_{i1}x_i + a_{i2}x_2 + \cdots + a_{in}x_n = 0$, então $a_{i1}kx_i + a_{i2}kx_2 + \cdots + a_{in}kx_n = k\cdot 0 = 0$.
Observemos também que, se $a_{i1}x_i + a_{i2}x_2 + \cdots + a_{in}x_n = 0$ e $a_{j1}x_i + a_{j2}x_2 + \cdots + a_{jn}x_n = 0$,
então $(a_{i1} + a_{j1})x_i + (a_{i2} + a_{j2})x_2 + \cdots + (a_{in} + a_{jn})x_n = 0$.
Um conjunto $W$ é subespaço de $V$ se e somente se $W$ é não vazio, é fechado com relação à soma, e é fechado com relação à multiplicação por escalar. (I)
Mostrar que, para que $W$ seja subespaço de $V$, basta mostrar que $O \in W$ e $kw + k'w' \in W$, $k$ e $k'$ escalares. (II)
_____
Sejam $w, w', w'', w''' \in W$ e $k$ e $k'$ escalares.
Mostremos que (I) $\Rightarrow$ (II).
Se $W$ é não vazio e é fechado com relação à soma e à multiplicação por escalar:
$-w \in W$, $w - w = O \in W$
$w + w' \in W\ \Rightarrow\ kw'' + kw''' \in W$
Mostremos agora que (II) $\Rightarrow$ (I).
$O \in W\ \Rightarrow\ W \neq \varnothing$
$kw + k'w' \in W$.
Tomemos $k = k' = 1$: $w + w' \in W$.
Tomemos $k' = 0$: $kw \in W$.
Quod Erat Demonstrandum.
Se $k$ é um escalar e $u$ é um vetor,
$ku = O\ \Rightarrow\ k = 0\ \vee\ u = O$
_____
Se $k$ e $u$ são nulos, obviamente teremos $ku = O$
Se $k \neq 0$, $k^{-1}ku = k^{-1}O\ \Rightarrow\ u = O$
Se $u \neq O$, $k'u + ku = k'u\ \Rightarrow\ (k' + k)u = k'u\ \Rightarrow\ k' + k = k'\ \Rightarrow\ k = 0$
Quod Erat Demonstrandum.
