Vetores perpendiculares linearmente independentes.

Sejam $A_1, A_2, ..., A_r$ vetores não nulos e perpendiculares dois a dois, em outras palavras $\langle A_i, A_j \rangle = 0, i \neq j$. Sejam $c_1, c_2, ..., c_r$ números tais que

$c_1 A_1 + c_2 A_2 + ... + c_r A_r = 0$.

Mostre que todo $c_i = 0$.

Demonstração:

$c_1 A_1 + c_2 A_2 + ... + c_r A_r = 0 \ \Rightarrow\ \|c_1 A_1 + c_2 A_2 + ... + c_r A_r\| = 0\ \Rightarrow$

$\Rightarrow\ \langle (c_1 A_1 + c_2 A_2 + ... + c_r A_r), (c_1 A_1 + c_2 A_2 + ... + c_r A_r) \rangle = 0\ \Rightarrow$

$\Rightarrow\ \displaystyle\sum_{i=1}^r [(c_i)^2 \langle A_i, A_i \rangle] + \cancelto{0}{\displaystyle\sum_{i>j} (c_i c_j \langle A_i, A_j \rangle)} = 0$

Logo, para que a soma seja nula, todo $c_i = 0$.