Seja $V$ o espaço vetorial de dimensão infinita gerado por $\{\sin \alpha x\ :\ \alpha \in \mathbb{Z}\}$ e $\langle f, g \rangle = \displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} f(x)g(x)\ dx$, mostre que $\sin mx$ e $\sin nx$, com $m, n \in \mathbb{Z},\ m \neq n$ são linearmente independentes.

Seja $V$ o espaço vetorial de dimensão infinita gerado por $\{\sin \alpha x\ :\ \alpha \in \mathbb{Z}\}$ e $\langle f, g \rangle = \displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} f(x)g(x)\ dx$, mostre que $\sin mx$ e $\sin nx$, com $m, n \in \mathbb{Z},\ m \neq n$ são linearmente independentes.

Resolução:

Basta mostrar que $\sin mx$ e $\sin nx$, com $m, n \in \mathbb{Z},\ m \neq n$ são perpendiculares.

De fato, $\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} (\sin mx)(\sin nx)\ dx\ =\ \dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} \cos (m - n)x - \cos (m + n)x\ dx\ =\ 0$.

Quod Erat Demonstrandum.