Soma direta.

Sejam $U$ e $W$ sub-espaços de $V$, mostre que, se $V = U + W$ e $U \cap W = \{O\}$, então $V = U \oplus W$.

Resolução:

Seja $v \in V$, devemos mostrar que existem únicos $u \in U$ e $w \in W$ tais que $v = u + w$.

Vamos supor que existam $u' \in U$ e $w' \in W$ tais que $v = u' + w'$:

$u + w = u' + w'\ \Rightarrow\ \underset{\in U}{\underbrace{u - u'}} = \underset{\in W}{\underbrace{w' - w}}$.

Como o único elemento em comum de $U$ e $W$ é $O$, segue que $u' = u$ e $w' = w$.

Quod Erat Demonstrandum.