Seja $\displaystyle\sum_{i=1}^n A_i x_i = 0$, Com $A_i \in \mathfrak{M}_{mx1} (\mathbb{R})$ um sistema com solução não trivial em $\mathbb{C}$, mostre que ele admite solução não trivial em $\mathbb{R}$.

Seja $\displaystyle\sum_{i=1}^n A_i x_i = 0$, Com $A_i \in \mathfrak{M}_{mx1} (\mathbb{R})$ um sistema com solução não trivial em $\mathbb{C}$, mostre que ele admite solução não trivial em $\mathbb{R}$.

Resolução:

Se o sistema admite solução não trivial complexa, $A_1, ..., A_n$ são linearmente dependentes sobre $\mathbb{C}$, ou seja,

$\displaystyle\sum_{i \in I}A_i z_i = A_j$, com $I = \{1, ..., j-1, j+1, ..., n\}$.

Como $A_j$ tem componentes reais,

$\displaystyle\sum_{i \in I}A_i [Re(z_i)] = A_j$, com $I = \{1, ..., j-1, j+1, ..., n\}$.

Ou seja, $A_1, ..., A_n$ são linearmente dependentes sobre $\mathbb{R}$. Consequentemente o sistema admite solução não trivial em $\mathbb{R}$.

Quod Erat Demonstrandum.