Propriedade associativa da multiplicação de matrizes.

Sejam $A$, $B$ e $C$ matrizes tais que $A$ e $B$ possam ser multiplicadas, e $B$ e $C$ possam ser multiplicadas. Mostre que

$\bullet$ $A$ e $BC$ podem ser multiplicadas;

$\bullet$ $AB$ e $C$ podem ser multiplicadas;

$\bullet$ $A(BC) = (AB)C$.

Resolução:

Sejam $A = (a_{ij})$ uma $m$ x $n$ matriz, $B = (b_{jk})$ uma $n$ x $r$ matriz, e $C = (c_{kl})$ uma $r$ por $s$ matriz,

$BC$ será uma $n$ por $s$ matriz e $A(BC)$ existirá e será uma $m$ x $s$ matriz;

$AB$ será uma $m$ por $r$ matriz e $(AB)C$ existirá e será uma $m$ por $s$ matriz.

Um elemento da posição $(j, l)$ de $BC$ será $\displaystyle\sum_{k=1}^r b_{jk}c_{kl}$, e um elemento da posição $(i, l)$ de $A(BC)$ será $\displaystyle\sum_{j=1}^n a_{ij}\left(\displaystyle\sum_{k=1}^r b_{jk}c_{kl}\right) = \displaystyle\sum_{j=1}^n \displaystyle\sum_{k=1}^r a_{ij}b_{jk}c_{kl}$.

$\displaystyle\sum_{j=1}^n \displaystyle\sum_{k=1}^r a_{ij}b_{jk}c_{kl}$ será a soma de todos os $a_{ij}b_{jk}c_{kl}$ com $1 \le j \le n$ e $1 \le k \le r$, resultado que igualmente chegaríamos calculando o elemento da posição $(i, l)$ de $(AB)C$.

Quod Erat Demonstrandum.