Sejam $A$ e $B$ vetores não nulos no $n$-espaço, seja $\theta$ o ângulo entre eles, mostre que, se $\cos \theta = -1$, eles tem sentidos contrários.

Sejam $A$ e $B$ vetores não nulos no $n$-espaço, seja $\theta$ o ângulo entre eles, mostre que, se $\cos \theta = -1$, eles tem sentidos contrários.

Demonstração:

$\cos \theta = -1\ \Rightarrow\ \langle A, B \rangle = -\|A\|\|B\|$

Satisfazendo esta condição, devemos mostrar que existe um $c < 0$ tal que $A = cB$.

$\langle A, cA \rangle = -\|A\|\|cA\|\ \Rightarrow\ c\langle A, A \rangle = -|c|\langle A, A \rangle$

Basta tomar, por exemplo, $c = -2$.

C.Q.D.