Propriedades da distância entre vetores.

Se $A$ e $B$ são dois vetores do $n$-espaço, designe por $d(A, B)$ a distância entre os vetores $A$ e $B$, i.e. $d(A, B) = \|B - A\|$.

Mostre que

$\begin{array}{l c r}I: d(A, B) = d(B, A). & \  & II: d(A, B) \le d(A, C) + d(B, C).\end{array}$

Resolução:

I:

$[d(A, B)]^2 = \langle (B - A), (B - A) \rangle = -\langle (A - B), (B - A) \rangle = \langle (A - B), (A - B) \rangle = [d(B, A)]^2$

II:

Seja $u = C - A$ e $v = B - C$. Pela desigualdade triangular

$\|u + v\| \le \|u\| + \|-v\|\ \Rightarrow\ \|B - A\| \le \|C - A\| + \|C - B\|$.

C.Q.D.