Exercício: valor numérico de um polinômio.

A divisão de um polinômio $P(x)$ por $x^2 - x$ resulta no quociente $6x^2 + 5x + 3$ e resto $-7x$. Qual o resto da divisão de $P(x)$ por $x + 1$?

$P(x) = (x^2 - x)(6x^2 + 5x + 3) - 7x$

Pelo teorema do resto, o resto da divisão de $P(x)$ por $x + 1$ é $P(-1)$.

$P(-1) = [(-1)^2 - (-1)][6(-1)^2 + 5(-1) + 3] - 7(-1) =$

$= 2 \cdot 4 + 7 = \fbox{15}$

Exercício: distância de uma intersecção à origem.

Qual a distância entre o ponto de encontro (intersecção) das retas $x + y - 2 = 0$ e $x - y - 4 = 0$ e a origem do sistema de coordenadas, $(0, 0)$?

Seja $P(x_P, y_P)$ a intersecção:

$\begin{cases}x_P + y_P = 2\\ x_P - y_P = 4\end{cases}\ \Rightarrow\ P(3, -1)$

$d_{PO} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \fbox{$\sqrt{10}$}$

Exercício: intersecção de três retas.

As retas representadas pelas equações $y = 2x + 1$, $y = x + 3$ e $y = b - x$ passam por um mesmo ponto. Qual o valor de $b$?

Seja $P(x_P, y_P)$ a intersecção de $y = 2x + 1$ e $y = x + 3$:

$\begin{cases}y_P = 2x_P + 1\\ y_P = x_P + 3\end{cases}\ \Rightarrow\ P(2, 5)$

$P$ pertence a $y = b - x$:

$5 = b - 2\ \therefore\ \fbox{$b = 7$}$

Exercício: ponto pertencente à bissetriz dos quadrantes ímpares.

Qual o valor de $k$ para que o ponto $P = (4k - 1, 2k + 3)$ pertença à bissetriz dos quadrantes ímpares?

$Q(x_Q, y_Q) \in b_{13}\ \Leftrightarrow\  x_Q = y_Q$

$4k - 1 = 2k + 3\ \therefore\ \fbox{$k = 2$}$

Exercício: determinando a equação de uma reta.

Qual a equação da reta que passa pelo ponto $(3, -2)$, com inclinação de $60^o$?

Seja $r$ a reta em questão, seu coeficiente angular será $\tan 60^o = \sqrt{3}$.

$r:\ y + 2 = \sqrt{3}(x - 3)$

$\fbox{$r:\ \sqrt{3}x - y - 2 - 3\sqrt{3} = 0$}$

Exercício: pontos colineares.

Qual o valor de $x$ para que os pontos $(1, 3)$, $(-2, 4)$ e $(x, 0)$ do plano sejam colineares?

$(x, 0)$ deve pertencer à reta $r$ que contém os pontos $(1, 3)$ e $(-2, 4)$:

$m_r = \dfrac{4 - 3}{-2 - 1} = -\dfrac{1}{3}$

$r:\ y - 3 = -\dfrac{1}{3}(x - 1)$

$0 - 3 = -\dfrac{1}{3}(x - 1)\ \Rightarrow\ \fbox{$x = 10$}$

Exercício: determinar ponto equidistante a dois outros.

Se um ponto $P$ do eixo das abscissas é equidistante dos pontos $A(1, 4)$ e $B(-6, 3)$, quanto vale a abscissa de $P$?

Seja $P(k, 0)$:

$d_{PA} = d_{PB}$

$\sqrt{(k - 1)^2 + 4^2} = \sqrt{(k + 6)^2 + 3^2}$

$(k - 1)^2 + 4^2 = (k + 6)^2 + 3^2$

$\cancel{k^2} - 2k + 1 + 16 = \cancel{k^2} + 12k + 36 + 9$

$14k = -28\ \therefore\ \fbox{$k = -2$}$

Exercício: razão entre os volumes de um cone e da esfera circunscrita.

Um cone circular reto, cujo raio da base é $3\ cm$, está inscrito em uma esfera de $5\ cm$ de raio, conforme mostra a figura abaixo. O volume do cone corresponde a que porcentagem do volume da esfera?

Seja $h$ a altura do cone, $r$ o raio da base do cone, $R$ o raio da esfera, $V_c$ o volume do cone, e $V_e$ o volume da esfera:

$h = R + \sqrt{R^2 - r^2} = 5 + \sqrt{5^2 -3^2} = 5 + 4 = 9$

$V_c = \dfrac{\pi r^2 h}{3} = \dfrac{\pi \cdot 3^2 \cdot 9}{3} = 27\pi$

$V_e = \dfrac{4\pi R^3}{3} = \dfrac{4\pi \cdot 5^3}{3} = \dfrac{500\pi}{3}$

$\dfrac{V_c}{V_e} = \dfrac{27\cancel{\pi}}{\dfrac{500\cancel{\pi}}{3}} = \dfrac{81}{500} = \fbox{$16,2\%$}$

Exercício: área de uma esfera circunscrita a um cubo.

Um cubo de área total $24\ cm^2$ está inscrito em uma esfera. Calcule a área da superfície dessa esfera.

Seja $a$ a aresta do cubo, $R$ o raio da esfera, e $S$ sua área superficial:

$6a^2 = 24\ \Rightarrow\ a = 2$

O raio da esfera será a metade da diagonal do cubo:

$R = \dfrac{a\sqrt{3}}{2} = \dfrac{\cancel{2}\sqrt{3}}{\cancel{2}} = \sqrt{3}$

$S = 4\pi R^2 = 4(\sqrt{3})^2 = \fbox{$12\pi$}$

Exercício: volume de um cubo circunscrito a uma esfera.

Uma esfera de volume $36\pi\ cm^3$ está inscrita em um cubo. Calcule o volume desse cubo.

Seja $r$ o raio da esfera e $a$ a medida da aresta do cubo:

$36\pi = \dfrac{4\pi r^3}{3}\ \Rightarrow\ r = 3$

$a = 2r = 6$

$V = a^3 = 6^3 = \fbox{$216\ cm^3$}$

Exercício: área de uma secção plana de uma esfera.

Numa esfera de volume ${500\pi \over 3}\ cm^3$ é feita uma secção plana a $3\ cm$ do centro. Determine a área dessa secção.

Seja $R$ o raio da esfera, e $r$ o raio da secção plana, que é uma circunferência de área $A$:

$\dfrac{500\pi}{3} = \dfrac{4\pi R^3}{3}\ \Rightarrow\ R = 5$

$r = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$

$A = \pi r^2 = \fbox{$A = 16\pi\ cm^2$}$

Exercício: condição para que um número complexo seja real.

Para que valores reais de $k$ o número complexo $(15k - 15) + (k^2 - 9)i$ é real?

A parte imaginária deve  ser nula:

$k^2 - 9 = 0\ \therefore\ \fbox{$k = -3\ \vee\ k = 3$}$

Exercício: área total de um cone.

A superfície lateral planificada de um cone de revolução é um setor circular de raio $9\ dm$ e de ângulo central de $\dfrac{10\pi}{9}$ radianos. Qual a área total do cone?

Chamemos de $g$ a geratriz do cone e $r$ o raio de sua base.

$g = 9$

$\dfrac{10\cancel{\pi}}{\cancel{9}} = \dfrac{2\cancel{\pi} r}{\cancel{g}}\ \Rightarrow\ r = 5$

$A_t = \pi r(r + g) = \fbox{$70\pi\ dm^2$}$

Exercício: volume de um cone.

Se o raio da base de um cone equilátero mede $3\ cm$, então qual a medida do seu volume em $cm^3$?

Por ser um cone equilátero, sua geratriz mede $g = 2r = 6$

Sua altura pela fórmula da altura de um triângulo equilátero de lado $g$:

$h = \dfrac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$

$V = \dfrac{\pi r^2 h}{3} = \dfrac{9\pi \cdot \cancel{3}\sqrt{3}}{\cancel{3}} = \fbox{$9\pi\sqrt{3}$}$

Exercício: soma dos volumes de dois cilindros.

O raio da base de um cilindro é $r$ e sua altura, $2r$. Um outro cilindro tem altura $r$ e raio da base $2r$. Nessas condições, qual a soma de seus volumes?

$S = 2\pi r^3 + 4\pi r^3 = \fbox{$6\pi r^3$}$

Exercício: probabilidade de ter uma certa quantidade de filhos meninos e meninas.

Um casal pretende ter seis filhos. Qual a probabilidade de ter quatro meninos e duas meninas?

Resolução:

Considerando a ordem de chegada dos filhos:

$n(U) = 2^6 = 64$

$n(E) =$ número de permutações de seis elementos em que um repete-se quatro vezes e o outro duas vezes $= \dfrac{6!}{4! \cdot 2!} = \dfrac{6 \cdot 5\ \cdot \cancel{4!}}{\cancel{4!} \cdot 2} = \dfrac{30}{2} = 15$

$P_E = \dfrac{n(E)}{n(U)} = \fbox{$\dfrac{15}{64}$}$

Exercício: número de soluções de uma equação trigonométrica.

No intervalo $[0, \pi]$, qual o número de soluções da equação $\sin (2x) + \sin x = 0$?

Resolução:

$\sin (2x) + \sin x = [2(\sin x)(\cos x)] + \sin x = (\sin x)(2\cos x + 1)$

$(\sin x)(2\cos x + 1) = 0\ \Rightarrow\ \sin x = 0\ \vee\ 2\cos x + 1 = 0$

$\sin x = 0\ \Rightarrow\ x = 0\ \vee\ x = \pi$

$2\cos x + 1 = 0\ \Rightarrow\ \cos x = -\dfrac{1}{2}\ \Rightarrow\ x = \dfrac{2\pi}{3}$

$\fbox{O número de soluções é $3$}$

Exercício: determinar os coeficientes de um sistema linear sabendo que é possível e indeterminado.

Seja $a$ um parâmetro real não nulo. Se o sistema $\begin{cases}ax + a^2y = 0\\ a^2x + a^4y = 0\end{cases}$ tem uma infinidade de soluções, qual o valor de $a$?

O determinante da matriz dos coeficientes deve ser nulo para que um sistema linear seja impossível ou indeterminado, como o enunciado diz que ele é possível, logo é indeterminado.

$\begin{vmatrix} a & a^2\\ a^2 & a^4\end{vmatrix} = 0\ \Rightarrow a^5 - a^4 = 0\ \therefore\ a = 0\ \vee\ a = 1$

Como $a$ é real não nulo, $\fbox{$a = 1$}$.

Exercício: determinando a máxima velocidade em uma curva sem derrapar.

Considere uma pista contida num plano horizontal. A máxima velocidade com que um carro pode fazer uma curva de raio $80$ metros sem derrapar é de $20\ m/s$. Determine a máxima velocidade que esse carro pode ter, ao fazer uma curva de $20$ metros.

Resolução:

Horizontalmente, a força resultante é a centrípeta, e é composta apenas da força de atrito, logo são iguais.

Considerando constante o coeficiente de atrito $\mu$, na iminência de derrapar: $\cancel{m}g\mu = \cancel{m}\dfrac{v^2}{R}\ \Rightarrow\ \mu = \dfrac{v^2}{gR}$

$\mu = \dfrac{20^2}{80g} = \dfrac{5}{g}$

Fazendo a curva de raio $20$ metros:

$\cancel{m}\cancel{g}\dfrac{5}{\cancel{g}} = \cancel{m}\dfrac{v^2}{20}\ \therefore\ \fbox{$v = 10\ m/s$}$

Exercício: área e volume de um paralelepípedo cujas dimensões são raízes de uma equação polinomial.

As dimensões, em centímetros, de um paralelepípedo reto-retângulo são as raízes da equação do $3^{\underline{o}}$ grau $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$. Calcule a área total e o volume desse paralelepípedo.

Pelas relações de Girard:

$ A = 2(r_1 r_2 + r_1 r_3 + r_2 r_3) = \fbox{$\dfrac{2c}{a}$}$

$ V = r_1 r_2 r_3 = \fbox{$-\dfrac{d}{a}$}$

Exercício: determinando raízes de um polinômio conhecidas algumas de suas propriedades.

Resolva em $\mathbb{C}$ a equação $x^5 - 6x^4 + 64x^2 - 144x + 96 = 0$ sabendo que três de suas raízes são iguais e as outras duas são opostas entre si.

Resolução:

Chamemos as iguais de $r_1$ e as opostas de $r_2$ e $-r_2$.

Por uma das relações de Girard:

$6 = r_1 + r_1 + r_1 + \cancel{r_2} - \cancel{r_2} = 3r_1\ \therefore\ r_1 = 2$

Por outra das relações de Girard:

$-96 = -r_1^3 r_2^2= -2^3 r_2^2 = -8 r_2^2$

$r_2 = \pm \sqrt{12} = \pm 2\sqrt{3}$

$\fbox{$S = \{2, 2\sqrt{3}, -2\sqrt{3}\}$}$

Exercício: determinando uma raiz de uma equação polinomial conhecidas as demais.

Os números $-1$ e $1$ são raízes de $P(x) = cx^3 + ax^2 + bx + 2c$. Qual a terceira raiz?

Utilizando uma das relações de Girard:

$(-1) \cdot 1 \cdot r = -\dfrac{2\cancel{c}}{\cancel{c}}\ \therefore\ \fbox{$r = 2$}$

Exercício: encontrando coeficientes de um polinômio por meio das relações de Girard.

Determine os coeficientes $a$, $b$ e $c$ da equação $3x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ sabendo que as raízes são $5i$, $-5i$ e $2$.

Utilizando as relações de Girard:

$\cancel{5i} - \cancel{5i} + 2 = - \dfrac{a}{3}\ \therefore\ \fbox{$a = -6$}$

$5i \cdot (-5i) + \cancel{5i \cdot 2} + \cancel{2 \cdot (-5i)} = \dfrac{b}{3}\ \therefore\ \fbox{$b = 75$}$

$5i \cdot (-5i) \cdot 2 = - \dfrac{c}{3}\ \therefore\ \fbox{$c = -150$}$

Exercício: aplicando as relações de Girard.

Sendo $r_1$, $r_2$ e $r_3$ as raízes da equação $2x^3 - 4x^2 + 3x + 1 = 0$, calcular $\dfrac{1}{r_1^2} + \dfrac{1}{r_2^2} + \dfrac{1}{r_3^2}$.

Chamemos $R = \dfrac{1}{r_1^2} + \dfrac{1}{r_2^2} + \dfrac{1}{r_3^2}$

$R = \dfrac{(r_1 r_2)^2 + (r_1 r_3)^2 + (r_2 r_3)^2}{(r_1 r_2 r_3)^2} = \dfrac{(r_1 r_2 + r_1 r_3 + r_2 r_3)^2 - 2 r_1 r_2 r_3 (r_1 + r_2 + r_3)}{(r_1 r_2 r_3)^2}$

Pelas relações de Girard:

$R = \dfrac{(\dfrac{3}{2})^2 - 2 \cdot (-\dfrac{1}{2}) \cdot 2}{(-\dfrac{1}{2})^2} = \fbox{$17$}$

Exercício: determinando operação entre coeficientes de uma equação polinomial.

Sabendo que $1$ é raiz da equação $x^3 + ax^2 - 2x + b = 0$, calcule o valor de $a+b$.

Substituindo $x$ por $1$ e, como $1$ é raiz, igualando a $0$:

$1 + a - 2 + b = 0\ \therefore\ \fbox{$a + b = 1$}$

Exercício: determinando um polinômio e uma imagem sua.

Um polinômio $P(x) \equiv x^3 + ax^2 + bx + c$ satisfaz as seguintes condições: $P(1) = 0$; $P(-x) + P(x) = 0$, qualquer que seja $x$ real. Qual o valor de $P(2)$?

$P(1) = 0\ \Rightarrow\ 1 + a + b + c = 0$

$P(-1) + P(1) = 0\ \Rightarrow\ P(-1) = 0\ \Rightarrow\ -1 + a - b + c = 0$

$P(0) + P(0) = 0\ \Rightarrow\ 2c = 0\ \Rightarrow\ c = 0$

$\begin{cases}a + b = -1\\ a - b = 1\end{cases}\ \Rightarrow\ a = 0\ \wedge\ b = -1$

$P(x) = x^3 - x$

$P(2) = 2^3 - 2 = \fbox{$6$}$

Exercício: raízes comuns a dois polinômios.

Determine as raízes comuns aos polinômios $P(x) \equiv 2x^6 - x^2 + 1$ e $Q(x) \equiv x^6 + 4x^4 - 3$.

Resolução:

Se $x$ é raíz de $P(x)$ e também de $Q(x)$, então $P(x) = 0$ e $Q(x) = 0$, logo, afim de cancelar os termos em $x^6$, podemos tranquilamente escrever:

$2Q(x) - P(x) = 0$

$8x^4 + x^2 - 7 = 0$

$x^2 = \dfrac{-1 \pm \sqrt{1 + 224}}{16}$

$x^2 = \dfrac{-1 + 15}{16}\ \vee\ x^2 = \dfrac{-1 - 15}{16}$

$x^2 = \dfrac{7}{8}\ \vee\ x^2 = -1$

$x \in \{\sqrt{\dfrac{7}{8}}, -\sqrt{\dfrac{7}{8}}, i, -i\}$

Fazendo uma verificação, destes valores apenas $i$ e $-i$ são raízes de ambos.

Simétricos de $z$ no plano de Argand-Gauss.

Seja $z$ um número complexo no plano de Argand-Gauss, há uma bijeção entre os pontos do plano de $\mathbb{C}$, de tal forma que um ponto do plano chama-se afixo de um elemento $z$ de $\mathbb{C}$.

O plano de Argand-Gauss, ou simplesmente plano complexo, é semelhante a um plano cartesiano, com dois eixos, no caso, o horizontal é chamado de eixo real e, o vertical, de eixo imaginário.

Eis os simétricos de um número complexo genérico $z$:

Simétrico em relação à origem: $-z$.

Simétrico em relação ao eixo real: $\overline{z}$.

Simétrico em relação ao eixo imaginário: $-\overline{z}$

Gráficos: funções $\rho (z)$ e $\theta (z)$.

Um número complexo, em sua forma trigonométrica, possui dois parâmetros: $\rho$ que é seu módulo, e $theta$ que é seu argumento.

Eis aqui dois gráficos, um para $\rho$ e outro para $\theta$ no plano de Argand-Gauss:

Demonstração: lançamento oblíquo a ângulos complementares.

Demonstre que lançamentos oblíquos a ângulos complementares são equidistantes.

$x_{max} = \dfrac{v_0^2 \sin 2\theta}{g}$

$\sin 2\theta\ =\ \sin (\pi - 2\theta) = \sin [2(\dfrac{\pi}{2} - \theta)]$

Exercício: determinando imagens de números complexos.

Determine no plano de Argand-Gauss as imagens dos complexos $z$ tais que $z\overline{z} = |z|$.

Resolução:

Seja $z = a + bi$.

$z\overline{z} = (a + bi)(a - bi) = a^2 + b^2$, ou seja, é o quadrado do seu módulo.

$|z|$ é o seu módulo.

Chamemos o módulo de $z$ de $\rho$, assim, a equação acima pode ser interpretada como encontrar os complexos de módulo $\rho$, tais que $\rho^2 = \rho$.

$\rho^2 - \rho = 0\ \Rightarrow\ \rho = 0\ \vee\ \rho = 1$

Assim, no plano de Argand-Gauss, os únicos complexos que satisfazem a sentença são o centro $(0, 0)$ e a circunferência de raio $1$.

$\fbox{$S = \{z \in \mathbb{C}\ :\ z = 0\ \vee\ |z| = 1\}$}$

Exercício: volume e razão de semelhança.

Se uma aresta de um poliedro mede $3 u$, e o mesmo tem volume $100 u^3$, $u$ unidade arbitrária de comprimento, qual será seu volume em uma outra unidade arbitrária $v$ tal que a mesma aresta tem comprimento $5 v$?

Resolução:

A razão de semelhança linear é $\dfrac{5}{3}$, logo a razão de semelhança cúbica ou volumétrica será $(\dfrac{5}{3})^3$.

$V\ =\ (\dfrac{5}{3})^3 \cdot 100\ v^3$

$V\ =\ \dfrac{12500}{27}\ v^3\ \approx\ \fbox{$463\ v^3$}$