Demonstração: $f$ crescente se $f^{-1}$ também crescente.

Seja $f$ uma função real de variável real e inversível.

Se $f$ é crescente, teremos :

Sejam $x_2 , x_1\ \in\ Dom(f)$:

$x_2 > x_1\ \Leftrightarrow\ f(x_2) > f(x_1)$

$f^{-1}[f(x_2)] > f^{-1}[f(x_1)]\ \Leftrightarrow\ f(x_2) > f(x_1)$

Assim, se $f$ é crescente, $f^{-1}$ também o é, e, reciprocramente, se $f$ é decrescente, $f^{-1}$ também o é.

Exercício: resolver $x=\sqrt{5-\sqrt{5-x}}$.

Observemos que se tomarmos $x\ =\ \sqrt{5-x}$, e substituindo $x$ no segundo membro da identidade, obteremos a equação a qual desejamos solucionar.

Assim :

$x^2 = 5 - x$

$x\ =\ \dfrac{-1 + \sqrt{21}}{2}\ \vee\ x\ =\ \dfrac{-1 - \sqrt{21}}{2}$

Observemos que na equação original, ambos os valores encontrados de $x$ satisfazem as condições. Logo:

$S\ =\ \{\dfrac{-1 + \sqrt{21}}{2}\ ,\ \dfrac{-1 - \sqrt{21}}{2}\}$
_____

Questão resolvida por Leandro Goulart Pereira [http://www.facebook.com/leandro.goulartpereira].

Exercício: número de algarismos de uma potência.

(Fuvest-SP) Seja $x\ =\ 2^{1000}$. Sabendo que $\log_{10} 2$ é aproximadamente $0,30103$, qual o número de algarismos de $x$?

Resolução :

$\log_{10} 2\ = 0,30103 + m_1$, onde $-5\ \cdot\ 10^{-6}\ \le\ m_1\ <\ 5\ \cdot\ 10^{-6}$

$1000\ \cdot\ \log_{10} 2\ =\ 301,06 + m_2$, onde $-5\ \cdot\ 10^{-3}\ \le\ m_2\ <\ 5\ \cdot\ 10^{-3}$

$\log_{10} 2^{1000}\ =\ 301,06 + m_2$

$2^{1000}\ =\ 10^{301,06 + m_2}\ =\ 10^{301}\ \cdot\ 10^{m_3}$, onde $0\ <\ m_3\ <\ 1$

Como $1\ <\ 10^{m_3}\ < 10$, $x$ terá $301 + 1\ =\ 302$ algarismos.

Exercício: mensagem de erro na calculadora.

(Fuvest-SP) Presionando a tecla LOG de uma calculadora, aparece no visor o logaritmo decimal do número que estava antes no visor. Digita-se inicialmente o número 88888888 (oito oitos). Quantas vezes a tecla LOG precisa ser pressionada para que apareça mensagem de erro?

Resolução :

$88888888\ =\ 8,8888888\ \cdot\ 10^7$

$\log\ (8,8888888\ \cdot\ 10^7)\ =\ 7 + m_1$, onde $0\ <\ m_1\ <\ 1$

$\log\ (7 + m_1)\ =\ 0 + m_2$, onde $0\ <\ m_2\ <\ 1$

$\log\ m_2\ <\ 0$

Ao extrair o logaritmo de um número negativo, receberemos a mensagem de erro. Logo o número que a tecla LOG deve ser pressionada é $4$.

Exercício: logaritmos #6.

(Fuvest-SP) Sabendo-se que $5^p\ =\ 2$, qual o valor de $\log_2 100$?

Resolução:

$p\ =\ \log_5 2\ \Rightarrow\ \log_2 5\ =\ \dfrac{1}{p}$

$\log_2 100\ =\ \log_2 (2^2\ \cdot\ 5^2)\ =\ 2\ \cdot\ [(\log_2 2) + (\log_2 5)]\ =$

$=\ 2\ \cdot\ (1 + \dfrac{1}{p})\ =\ \dfrac{2p + 2}{p}$

Exercício: logaritmos #5.

(MACK-SP) Qual o valor de $\log_{\sqrt{2}} (\log_3 2\ \cdot\ \log_4 3)$?

Resolução :

$\log_{\sqrt{2}} (\log_3 2\ \cdot\ \log_4 3)\ =\ \log_{2^\dfrac{1}{2}} (\log_3 2\ \cdot\ \log_{2^2} 3)\ =$

$=\ 2\ \cdot\ \log_2 (\log_3 2\ \cdot\ \dfrac{\log_2 3}{2})\ =\ 2\ \cdot\ \log_2 (\dfrac{\log_3 3}{2})\ =\$

$=\ 2\ \cdot\ \log_2 \dfrac{1}{2}\ =\ -2$

Exercício: logaritmos #4.

(Cesgranrio-RJ) Quais os valores reais de $x$ para os quais $10^{\log_a (x^2 - 3x + 2)}\ =\ 6^{\log_a 10}$, onde $a\ >\ 0 $ e $ a\ \neq\ 1$?

Resolução :

$\log_a (x² - 3x + 2)\ =\ \log\ 6^{\log_a 10}\ =\ (\log_a 10)(\log\ 6)$

$x^2 - 3x + 2\ =\ 10^{\log\ 6}\ =\ 6$

$(x\ =\ 4) \vee\ (x\ =\ -1)$

Exercício: logaritmos #3.

(Fuvest-SP) Se $x^5\ =\ 1000$ e $b^3\ =\ 100$, então qual o valor do logaritmo de $x$ na base $b$?

Resolução :

$x\ =\ 10^\dfrac{3}{5}$

$b\ =\ 10^\dfrac{2}{3}$

$\log_b x\ =\ \dfrac{3}{5}\ \cdot\ \dfrac{3}{2}\ \cdot\ \log\ 10\ =\ 0,9$

Exercício: equação exponencial #2.

(MACK-SP) A solução real da equação $4^x + 6^x\ =\ 2\ \cdot\ 9^x$ está no intervalo:

a) $-1\ \le\ x\ \le\ 1$.

b) $2\ \le\ x\ \le\ 3$.

c) $3\ \le\ x\ \le\ 4$.

d) $-4\ \le\ x\ \le\ -3$.

e) $20\ \le\ x\ \le 30$.

Resolução:

Façamos a transformação $p\ =\ 2^x$ e $q\ =\ 3^x$:

$p^2 + pq\ =\ 2q^2$

$p^2 + qp - 2q^2\ =\ 0$

Resolvendo a equação em $p$ :

$(p\ =\ -2q)\ \vee\ (p\ =\ q)$

Primeiro caso :

$2^x\ =\ -2\ \cdot\ 3^x$

$2^{x - 1}\ =\ 3^{-x}$

$\log_2 (3^{-x})\ =\ x - 1$

$(-x)\ \cdot\ log_2 3\ =\ x - 1$

$x [(\log_2 3) + 1]\ =\ 1$

$x\ =\ \dfrac{1}{(\log_2 3) + 1}$

Como $(\log_2 3) + 1\ >\ 1$ então $0\ <\ x\ <\ 1$
__

Segundo caso :

$2^x\ =\ 3^x$

Donde :

$x\ =\ 0$

Logo, a alternativa correta é a A.

Exercício: ponto crítico de uma função exponencial.

(Vunesp-SP) Dada a expressão $(\dfrac{1}{2})^{4x - x^2}$, então:

a) O maior valor da expressão é $4$..

b) O menor valor da expressão é $\dfrac{1}{4}$.

c) O maior valor da expressão é $\dfrac{1}{4}$.

d) O maior valor da expressão é $\dfrac{1}{16}$.

e) O menor valor da expressão é $\dfrac{1}{16}$.

Resolução:

A expressão assumirá um valor máximo ou mínimo de acordo com seu expoente.

$4x - x^2$ terá um máximo absoluto, este que será $-\dfrac{16}{-4}\ =\ 4$.

Assim, por $0\ <\ \dfrac{1}{2}\ <\ 1$, $(\dfrac{1}{2})^4\ =\ \dfrac{1}{16}$ será mínimo.

A alternativa correta é a E.

Exercício: áreas na função logaritmica.

(Vunesp-SP) A curva da figura representa o gráfico da função $y\ =\ \log_a x$ com $a\ >\ 1$. Dos pontos $B\ =\ (2\ ,\ 0)$ e $C\ =\ (4\ ,\ 0)$ saem perpendiculares ao eixo das abscissas, as quais interceptam a curva em $D$ e $E$, respectivamente. Se a área do trapézio retangular $BCED$ vale $3$, provar que a área do triângulo $ABD$, onde $A\ =\ (1\ ,\ 0)$, vale $\dfrac{1}{2}$.



Resolução:

Primeiramente calculemos as ordenadas de $D$ e $E$:

$D\ =\ (2\ ,\ \log_a 2)$

$E\ =\ (4\ ,\ \log_a 4)$

Calculemos a área $S_1$ do trapézio:

$S_1\ =\ \dfrac{(\log_a 2 + \log_a 2^2)\ \cdot\ (4 - 2)}{2}\ =\ 3\log_a 2$

Como $S_1\ =\ 3$, temos:

$\log_a 2\ =\ 1\ \Rightarrow\ a\ =\ 2$

Então $D\ =\ (2\ ,\ 1)$

Logo a área $S_2$ do triângulo será :

$S_2\ =\ \dfrac{(2 - 1)\ \cdot\ 1}{2}\ =\ \dfrac{1}{2}$.

Exercício: equação mista.

(Fuvest-SP) A equação $2^x\ =\ -3x + 2$, com $x$ real:

a) Não tem solução.

b) Tem uma única solução entre $0$ e $\dfrac{2}{3}$.

c) Tem uma única solução entre $-\dfrac{2}{3}$ e $0$.

d) Tem duas soluções, sendo uma positiva e outra negativa.

e) Tem mais de duas soluções.

Resolução:

Como estamos lidando com funções mistas: uma exponencial e outra afim, vamos analisar cada uma individualmente.

$2^x$ será sempre positiva. Consequentemente devemos encontrar os valores de $x$ para os quais $-3x + 2$ seja positiva.

$x\ <\ \dfrac{2}{3}$

Observemos que se $x\ =\ 0$, $2^x\ =\ 1 $ e $ -3x + 2\ =\ 2$, e como a primeira é crescente e a segunda é decrescente para todo $x\ >\ 0$, elas se tocarão em um único ponto. E pela condição [1], concluímos que a equação dada terá uma única solução entre $0$ e $\dfrac{2}{3}$

A alternativa correta é a B.

Exercício: função exponencial.

(Vunesp-SP) Seja $p\ >\ 0$, $p\ \neq\ 1$, um número real. Dada a relação $\dfrac{p^{-y}}{1 + p^{-y}}\ =\ x$, determinar $y$ em função de $x$ e o domínio da função assim definida.

Resolução :

$\dfrac{1 + p^{-y}}{p^{-y}}\ =\ \dfrac{1}{x}$

$p^y + 1\ =\ \dfrac{1}{x}$

$y\ =\ \log_p \dfrac{1 - x}{x}$

Se $y$ é função real, $\dfrac{1 - x}{x}$ deve ser positivo.

$x\ >\ 0\ \wedge\ 1 - x\ >\ 0\ \Rightarrow\ 0\ <\ x\ <\ 1$

$x\ <\ 0\ \wedge\ 1 - x\ <\ 0\ \Rightarrow\ \nexists\ x$

Logo $D_y\ =\ ]0\ ,\ 1[$.

Exercício: logaritmos #2.

(EFEI-MG) Se $\log_a x\ =\ P$, $\log_b x\ =\ Q$ e $\log_{abc} x\ =\ R$, determine $\log_c x$ em função de $P$, $Q$ e $R$.

Consideremos inicialmente $x\ \neq\ 1$, então:

$\log_x a\ =\ \dfrac{1}{P}$

$\log_x b\ =\ \dfrac{1}{Q} $

$\log_x abc\ =\ \dfrac{1}{R}$

E chamando $\log_c x\ =\ S$

$\log_x c\ =\ \dfrac{1}{S}$

Teremos:

$(\log_x a) + (\log_x b) + (\log_x c)\ =\ \dfrac{1}{P} + \dfrac{1}{Q} + \dfrac{1}{S}\ =\ \log_x abc\ =\ \dfrac{1}{R}$

Donde:

$\dfrac{1}{S}\ =\ \dfrac{PQ - PR - QR}{PQR}\ \Rightarrow\ S\ =\ \dfrac{PQ - PR - QR}{PQR}$
__

E para $x\ =\ 1$:

$\log_c x\ =\ 0$

Exercício: logaritmos.

(Vunesp-SP) Sejam $a$ e $b$ números reais maiores que zero e tais que $ab\ =\ 1$. Se $a\ \neq\ 1$ e $\log_a x\ =\ \log_b y$, determine o valor de $xy$.

Resolução:

Observemos que se $a\ \neq\ 1$ também teremos $b\ \neq\ 1$, o que garante a existência de $\log_b y$.

Se $ab\ =\ 1$ então $b\ =\ \dfrac{1}{a}$, assim:

$\log_a x\ =\ \log_\dfrac{1}{a} y$

$\log_a x\ =\ \log_a \dfrac{1}{y}$

Donde :

$x\ =\ \dfrac{1}{y}\ \Rightarrow\ xy\ =\ 1$

Exercício: difusão de uma notícia.

(Fuvest-SP) Em um certo país com população $A$ (em milhões de habitantes) é noticiada pela TV com implantação de um novo plano econômico pelo governo. O número de pessoas que já sabiam da notícia após $t\ \ge\ 0$ horas é dado por $f(t)\ =\ \dfrac{A}{1 + 4e^{-\dfrac{A}{2}t}}$.

Sabe-se também que decorrida $1$ hora da divulgação do plano $50\%$ da população já estava ciente da notícia.

a) Qual a porcentagem da população que tomou conhecimento do plano no instante em que foi noticiado?

b) Qual a população do país?

c) Após quanto tempo $80\%$ da população estava ciente do plano?

Resolução :

a)

No instante em que a notícia foi divulgada, $t\ =\ 0$. Logo :

$f(0)\ =\ \dfrac{A}{1 + 4e^{-\dfrac{A}{2}\ \cdot\ 0}}\ =$

$=\ \dfrac{A}{1 + 4e^0}\ =\ \dfrac{A}{1 + 4}\ =\ \dfrac{A}{5}\ =\ 20\ \%\ \cdot\ A$
__

b)

$50\ \%$ da população já sabia da notícia $1$ hora após sua divulgação, logo :

$f(1)\ =\ \dfrac{A}{2}\ =\ \dfrac{A}{1 + 4e^{-\dfrac{A}{2}}}$

$\dfrac{1}{2}\ =\ \dfrac{1}{1 + 4e^{-\dfrac{A}{2}}}$

$1\ =\ 4e^{-\dfrac{A}{2}}$

$\dfrac{1}{4}\ =\ e^{-\dfrac{A}{2}}$

$\ln\ \dfrac{1}{4}\ =\ -\dfrac{A}{2}$

$\dfrac{A}{2}\ =\ 2\ln\ 2$

$A\ =\ 4\ln\ 2$
__

c)

$\ 80\%\ \cdot\ A\ =\ \dfrac{A}{1 + 4e^{-\dfrac{A}{2}t}}$

$\dfrac{4}{5}\ =\ \dfrac{1}{1 + 4e^{-\dfrac{A}{2}t}}$

$4e^{-\dfrac{A}{2}t}\ =\ \dfrac{1}{4}$

$\ln\ \dfrac{1}{16}\ =\ -\dfrac{A}{2}t$

Como $A\ =\ 4\ln\ 2$:

$\ln\ \dfrac{1}{16}\ =\ -\dfrac{4\ln\ 2}{2}t$

$-4\ln\ 2\ =\ -2(\ln\ 2)\ \cdot\ t$

$t\ =\ 2$ horas.

Exercício: escala Richter.

(Fuvest-SP) A intensidade $I$ de um terremoto, medida na escala Richter, é um número que varia de $I\ =\ 0$ até $I\ =\ 8,5$ para o maior terremoto conhecido. $I$ é dado pela fórmula :

$I\ =\ \dfrac{2}{3}\log_{10} \dfrac{E}{E_0}$,

Onde $E$ é a energia liberada no terremoto em quilowatt-hora e $E_0\ =\ 7\ \cdot\ 10^{-3}\ kWh$.

a) Qual a energia liberada num terremoto de intensidade $8$ na escala Richter?

b) Aumentando de uma unidade a intensidade do terremoto, por quanto fica multiplicada a energia liberada?

Resolução:

a)

$8\ =\ \dfrac{2}{3}\log_{10} \dfrac{E}{E_0}$

$12\ =\ \log_{10} \dfrac{E}{E_0}$

$10^{12}\ =\ \dfrac{E}{E_0}$

$E\ =\ 7\ \cdot\ 10^{-3}\ \cdot\ 10^{12}\ =\ 7\ \cdot\ 10^9\ kWh$
__

b)

$I + 1\ =\ \dfrac{2}{3}\log_{10} \dfrac{E}{E_0} + 1\ =$

$=\ \dfrac{2}{3}\log_{10} \dfrac{E}{E_0} + \log_{10} 10\ =$

$=\ \dfrac{2}{3}\log_{10} \dfrac{E}{E_0} + \dfrac{2}{3}\ \cdot\ \dfrac{3}{2}\log_{10} 10\ =$

$=\ \dfrac{2}{3}\log_{10} \dfrac{E}{E_0} + \dfrac{2}{3}\ \cdot\ \log_{10} \sqrt{1000}\ =$

$=\ \dfrac{2}{3}(\log_{10} \dfrac{E}{E_0} + \log_{10} \sqrt{1000})\ =$

$=\ \dfrac{2}{3}\log_{10} \dfrac{E\ \cdot\ \sqrt{1000}}{E_0}$

Ou seja, a energia liberada fica multiplicada pelo fator $10\sqrt{10}$.

Exercício: equação exponencial #3.

Mostre que a equação $e^x + e^{-x} - 3 = 0$ tem duas raízes reais simétricas $x\ =\ a$ e $x\ =\ -a$. Mostre, ainda, que $e^{3a} + e^{-3a}\ =\ 18$.

Resolução:

Primeiramente vamos demonstrar que $e^x + e^{-x} - 3 = 0$ admite uma raiz $a$.

Observemos que para $x\ =\ 0$, $e^0 + e^0 - 3\ =\ -1$, e que quando $x \mapsto\ +\infty$, $e^x + e^{-x} - 3$ tende a infinito. Logo $e^x + e^{-x} - 3$, por ser contínua, necessariamente possui uma ordenada nula.

Observemos agora que, se $a$ é raiz, $e^a + e^{-a} - 3 = e^{-a} + e^a - 3$.

Assim $e^x + e^{-x} - 3 = 0$ possui raízes $a$ e $-a$.

Observemos agora que:

$e^a + e^{-a} = 3$

$(e^a + e^{-a})^3 = 27$

$e^{3a} + 3 e^{2a} e^{-a} + 3 e^a e^{-2a} + e^{-3a}\ =\ 27$

$e^{3a} + e^{-3a} + 3(e^a + e^{-a})\ =\ 27$

$e^{3a} + e^{-3a} + 3\ \cdot\ 3\ =\ 27$

$e^{3a} + e^{-3a}\ =\ 27 - 9\ =\ 18$

Exercício: aplicação financeira.

(Fuvest-SP) Um certo tipo de aplicação duplica o capital em dois meses.

a) Qual a taxa mensal de juros?

b) Em quantos meses a aplicação renderá $700\%$ de juros?

Resolução :

Chamemos de $C$ o capital inicial.

a)

$2C\ =\ C(1 + i)^2$

$2\ =\ i^2 + 2i + 1$

Como $i$ deve ser positivo:

$i\ =\ \sqrt{2} - 1\ \approx\ 41\ \%$
__

b)

$8C\ =\ C(1 + \sqrt{2} - 1)^t$

$2^3\ =\ 2^\dfrac{t}{2}$

$t\ =\ 6$ meses.

A contra-positiva de uma implicação.

Consideremos uma proposição da forma "se $p $ então $q $", simbolizada por $p\ \rightarrow\ q $. Uma outra forma de dizer a mesma coisa seria "Se não $q $ então não $p $", simbolizada por $\sim q\ \rightarrow\ \sim p $. Provemos:

Construamos a tabela-verdade para cada uma das possivilidades entre as veracidades de $p $ e $q $.

$p $	$q $	$p\ \rightarrow\ q $	$\sim q\ \rightarrow\ \sim p $
V	V	V	V
V	F	F	F
F	V	V	V
F	F	V	V

Observemos que as colunas $p\ \rightarrow\ p $ e $\sim q\ \rightarrow\ \sim p $ são idênticas, logo as duas proposições compostas são equivalentes, ou seja, para afirmar uma mesma sentença, tanto faz usar uma ou outra.

Tomemos um exemplo :

Uma função é injetora se, dados dois elementos distintos do domínio, suas imagens também serão distintas. Simbolicamente :

$x_1\ \neq\ x_2\ \Rightarrow\ f(x_1)\ \neq\ f(x_2) $

O que seria equivalente a dizer:

Uma função é injetora se, se duas imagens são iguais, seus respectivos correspondentes também são iguais. Simbolicamente :

$f(x_1)\ =\ f(x_2)\ \Rightarrow\ x_1\ =\ x_2 $

Exercício: uma função discreta.

(Cesgranrio-RJ) Sejam $A\ =\ \{1\ ,\ 2\ ,\ 3\}$ e $f:A\rightarrow A$ definida por $f(1)\ =\ 3$, $f(2)\ =\ 1$, e $f(3)\ =\ 2$ Qual o conjunto solução de $f(f(x))\ =\ 3$?

Resolução:

O elemento de $A$ cuja imagem é $3$ é $1$, e o elemento de $A$ cuja imagem é $1$ é o $2$.

$S\ =\ \{2\}$

Exercício: comprar mais pelo mesmo preço.

(Cesgranrio-RJ) Uma loja está fazendo uma promoção na venda de balas: "Compre $x$ balas e ganhe $x\%$ de desconto". A promoção é válida para compras de até $60$ balas, caso em que é concedido o desconto máximo de $60\%$. Alfredo, Beatriz, Carlos e Daniel compraram $10$, $15$, $30$ e $45$ balas, respectivamente. Qual deles poderia ter comprado mais balas e gasto a mesma quantia se empregasse melhor seus conhecimentos de Matemática?

Resolução :

Alfredo comprou o equivalente a $10(1 - \dfrac{10}{100})\ =\ 9$ balas.

Beatriz comprou o equivalente a $15(1 - \dfrac{15}{100})\ =\ 12,75$ balas.

Carlos comprou o equivalente a $30(1 - \dfrac{30}{100})\ =\ 21$ balas.

Daniel comprou o equivalente a $45(1 - \dfrac{45}{100})\ =\ 24,75$ balas.

A função que retorna o quanto cada um irá pagar, dado o número de balas que comprou, é:

$f(x)\ =\ x(1 - \dfrac{x}{100})\ =\ -\dfrac{x^2}{100} + x$

Essa função terá um máximo, onde o número de balas para este máximo é tal que:

$x_v\ =\ -\dfrac{1}{(-\dfrac{2}{100})}\ =\ 50$ balas.

Como todos os compradores compraram menos que $50$ balas, cada um, segundo a função poderia comprar uma maior quantidade tal que pagaria o mesmo preço por ela. Porém a diferença entre entre o $x_v$ e o número de balas compradas não pode superar $ 60 - 50\ =\ 10$. Portanto apenas Daniel poderia comprar mais balas, a saber $50 + (50 - 45)\ =\ 55$ balas, de tal forma que pagaria o equivalente à $ 24,75$ balas.

Exercício: inequação do segundo grau.

(UFF-RJ) Considere a inequação $\dfrac{2}{n^2}\ <\ \dfrac{-2}{9 - 6n}\ ,\ n\ \in\ \mathbb{N}^*$. Qual o conjunto solução desta inequação?

Resolução:

$\dfrac{2}{n^2}\ <\ \dfrac{-2}{9 - 6n}$

$\dfrac{1}{n^2}\ <\ \dfrac{-1}{9 - 6n}$

$\dfrac{1}{n^2}\ <\ \dfrac{1}{6n - 9}$

Supondo $n\ >\ 0 $ e $ n\ >\ \dfrac{9}{6}$, portanto $n\ \ge\ 2$

$n^2\ >\ 6n - 9$

$n^2 - 6n - 9\ >\ 0$

$n\ \in\ \mathbb{N}^* - \{3\}$

Supondo $n\ <\ \dfrac{9}{6}$, portanto $n\ =\ 1$

$\dfrac{2}{1^2}\ <\ \dfrac{-2}{9 - 6\ \cdot\ 1}\ \Rightarrow\ 2\ <\ \dfrac{3}{2}$

O que é falso.

Logo $S\ =\ \{n\ \in\ \mathbb{N}^*\ |\ n\ >\ 1\ \wedge\ n\ \neq\ 3\}$.

Exercício: estimar gráfico.

Consideremos a função genérica definida pelos parâmetros $p$, $q$, e $r$:

$f(x)\ =\ px^2 + qx + r$

Tomemos duas possibilidades:

1) $a\ >\ 0$:

$r\ >\ 0\ \Rightarrow\ p\ =\ \dfrac{1}{4a}\ >\ 0$

$\Delta\ =\ 1 - 4\ \cdot\ \dfrac{1}{4a}\ \cdot\ a\ =\ 0$

$x_v\ =\ -\dfrac{q}{2p}\ =\ -\dfrac{1}{\dfrac{1}{2a}}\ =\ -2a\ <\ 0$

Logo a função cortará o eixo dos $y$ em uma ordenada positiva, terá concavidade para cima, cortará o eixo dos $x$ em uma única abscissa, e o vértice terá abscissa negativa.

Não existe gráfico com estas características.
__

2) $a\ <\ 0$:

$r\ <\ 0\ \Rightarrow\ p\ =\ \dfrac{1}{4a}\ <\ 0$

$\Delta\ =\ 1 - 4\ \cdot\ \dfrac{1}{4a}\ \cdot\ a\ =\ 0$

$x_v\ =\ -\dfrac{q}{2p}\ =\ -\dfrac{1}{\dfrac{1}{2a}}\ =\ -2a\ >\ 0$

Logo a função cortará o eixo dos $y$ em uma ordenada negativa, terá concavidade para baixo, cortará o eixo dos $x$ em uma única abscissa, e o vértice terá abscissa positiva.

Assim, o gráfico da alternativa C é o mais plausível.

Exercício: imagem da função.

Qual o conjunto imagem da função $f(x)\ =\ x + \sqrt{-(x^2 - 4)^2}$?

Resolução:

Observemos que $-(x^2 - 4)^2$ deve ser não-negativo, mas como $(x^2 - 4)^2$ é não-negativo, $x^2 - 4$ deve ser obrigatoriamente nulo. Logo:

$x\ =\ \pm 2$

$f(2) = 2$ e $f(-2)\ =\ -2$ são os dois únicos pares ordenados pertencentes à função real $f$.

$Im_f\ =\ \{2\ ;\ -2\}$

Exercício: distância entre pontos médios.

Numa reta $r$, tomemos os segmentos $\overline{AB}$ e $\overline{BC}$ e um ponto $P$ de modo que $\overline{AB}$ seja o quíntuplo de $\overline{PC}$, $\overline{BC}$ seja o quádruplo de $\overline{PC}$ e $AP\ =\ 80\ cm$. Sendo $M$ e $N$ os pontos médios de $\overline{AB}$ e $\overline{BC}$, respectivamente, determine $MN$.

Resolução:

Primeiramente, vamos cogitar possíveis posições para o ponto $P$.
__

Primeiro caso:

$P$ estar entre $A$ e $B$.

$B$ estará entre $P$ e $C$.

$\overline{PC}\ >\ \overline{BC}$

O que é um absurdo, visto que, por hipótese, $\overline{BC}$ é o quádruplo de $\overline{PC}$.
__

Segundo caso:

$A$ estar entre $P$ e $B$.

$B$ estará entre $P$ e $C$ e recairemos no primeiro caso.
__

Terceiro caso:

$P$ estar entre $B$ e $C$.

$\overline{BC}\ >\ \overline{PC}$, o que é verdadeiro, logo esta é uma possível posição para $P$.
__

Quarto caso:

$C$ estar entre $B$ e $P$.

$\overline{PC} + \overline{BC}\ =\ \overline{PB}$, um caso passível de análise.
__

Estudando o terceiro caso:

$\overline{BC} = 4(\overline{PC})$

$\overline{AB} = 5(\overline{PC})$

$\overline{AP} = (5 + 4 - 1)(\overline{PC})$

$80\ =\ 8\ \cdot\ m(\overline{PC})\ \Rightarrow\ m(\overline{PC})\ =\ 10\ cm\ \Rightarrow\ AB\ =\ 50\ cm\ \wedge$

$\wedge\ BC\ =\ 40\ cm$

$m(\overline{MN})\ =\ \dfrac{m(\overline{AB} + \overline{BC})}{2}\ =\ 45\ cm$
__

Estudando o quarto caso:

$\overline{BC} = 4(\overline{PC})$

$\overline{AB} = 5(\overline{PC})$

$\overline{AP}\ =\ (5 + 4 + 1)(\overline{PC})\ =\ 10(\overline{PC})\ \Rightarrow\ m(\overline{PC})\ =\ 8\ cm$

$m(\overline{AB})\ =\ 40\ cm$

$m(\overline{BC})\ =\ 32\ cm$

$m(\overline{MN})\ =\ \dfrac{\overline{AB} + \overline{BC}}{2}\ =\ 36\ cm$

Demonstração: unicidade do ponto médio.

O ponto médio $M$ de um segmento de reta $\overline{AB}$ é tal que $\overline{AM}\ \equiv\ \overline{MB}$:



Vamos demonstrar que ele é único, ou seja, que não existem outros pontos médios de um mesmo segmento.

Vamos supor que existam dois pontos distintos $X$ e $Y$ que sejam pontos médios de $\overline{AB}$.



$X$ está entre $A$ e $Y$ $\Rightarrow\ \overline{AY}\ >\ \overline{AX}$.

$Y$ está entre $X$ e $B$ $\Rightarrow\ \overline{XB}\ >\ \overline{YB}$.

$\overline{AY}\ >\ \overline{AX}\ \equiv\ \overline{XB}\ >\ \overline{YB}$

O que é um absurdo, pois $Y$, por hipótese, é ponto médio de $\overline{AB}$.

Logo, $X\ \equiv\ Y$.

Por que usar redução ao absurdo?

Todos os teoremas matemáticos são conclusões de hipóteses. Ou seja, são afirmações ou proposições da forma Se $p$ então $q$, simbolicamente representado por $(p\ \rightarrow\ q)$.

$(p\ \rightarrow\ q)$ também é uma proposição que pode ser verdadeira ou falsa, de acordo com combinações entre a premissa e a conclusão:

Se $p$ é verdadeira e $q$ é verdadeira, $(p\ \rightarrow\ q)$ é verdadeira.

Se $p$ é verdadeira e $q$ é falsa, $(p\ \rightarrow\ q)$ é falsa.

Se $p$ é falsa e $q$ é verdadeira, $(p\ \rightarrow\ q)$ é verdadeira......[1]

Se $p$ é falsa e $q$ é falsa, $(p\ \rightarrow\ q)$ é verdadeira......[2]

Assim, se desejamos conhecer o valor-verdade ou autenticidade de uma proposição $p$, o caminho ideal não é concluir de $p$ uma proposição verdadeira $q$, visto que, de acordo com [1], $q$ pode ser verdadeira e $p$ pode ser falsa.

Logo, a melhor maneira de conhecer se uma afirmação é autêntica, basta tomar sua negação, e dela concluir uma outra proposição que seja falsa, assim, de acordo com [2], a premissa será falsa, e sua negação será verdadeira.

Demonstração: $\dfrac{p+1}{p}>\dfrac{p+2}{p+1}\ ,\ p\in\mathbb{N}^*$.

Vamos supor o contrário:

$\dfrac{p + 1}{p}\ \le\ \dfrac{p + 2}{p + 1}$

$\dfrac{(p + 1)^2}{p(p + 1)}\ \le\ \dfrac{p(p + 2)}{p(p + 1)}$

Como $p(p + 1)$ é positivo:

$p^2 + 2p + 1\ \le\ p^2 + 2p$

O que é um absurdo. Logo

$\dfrac{p + 1}{p}\ >\ \dfrac{p + 2}{p + 1}$

Como exemplos podemos citar:

$\dfrac{3}{2}\ >\ \dfrac{4}{3}\ >\ \dfrac{5}{4}$

Exercício: dado $y=|\sqrt{x^2-8x+16}-\sqrt{x^2-2x+1}|$, construir o gráfico da função.

Observemos que:

$\sqrt{x^2 - 8x + 16}\ =\ \sqrt{(x - 4)^2}\ =\ |x - 4|$

$\sqrt{x^2 - 2x + 1}\ =\ \sqrt{(x - 1)^2}\ =\ |x - 1|$

Analisemos então o comportamento de $y$ de acordo com o comportamento de suas parcelas modulares.

Para $x\ <\ 1$:

$|x - 1|\ =\ 1 - x$

$|x - 4|\ =\ 4 - x$

Assim:

$y_1\ =\ |(4 - x) - (1 - x)|\ =\ |3|\ =\ 3$
__

Para $1\ \le\ x\ <\ 4$:

$|x - 1|\ =\ x - 1$

$|x - 4|\ =\ 4 - x$

Assim:

$y_2\ =\ |(4 - x) - (x - 1)|\ =\ |-2x + 5|$

Se $x\ <\ \dfrac{5}{2}$:

$|-2x + 5|\ =\ -2x + 5$

$y_{2,1}\ =\ -2x + 5$

Se $x\ \ge\ \dfrac{5}{2}$

$|-2x + 5|\ =\ 2x - 5$

$y_{2,2}\ =\ 2x - 5$
__

Para $x\ \ge\ 4$:

$|x - 1|\ =\ x - 1$

$|x - 4|\ =\ x - 4$

Assim:

$y_3\ =\ |(x - 4) - (x - 1)|\ =\ |-3|\ =\ 3$
__

Construindo agora os gráficos das três funções componentes, uma para cada intervalo de $x$:

Exercício: produção de um pomar.

(Unicamp-SP) Em um pomar em que existiam $30$ laranjeiras produzindo, cada uma, $600$ laranjas, foram plantadas $n$ novas laranjeiras. Depois de um certo tempo, constatou-se que, devido à competição por nutrientes do solo, cada laranjeira (tanto nova como velha) estava produzindo $10$ laranjas a menos, por ano, por cada nova laranjeira plantada no pomar.

Se $f(n)$ é a produção anual do pomar:

a) Determine a expressão algébrica de $f(n)$.

b) Determine os valores de $n$ para os quais $f(n)\ =\ 0$.

c) Quantas novas laranjeiras deveriam ter sido plantadas para que o pomar tivesse produção máxima?

d) Qual o valor dessa produção?

Resolução:

a) A produção será dada pela multiplicação entre o número de laranjeiras e o número de laranjas produzidas por cada uma.

$f(n)\ =\ (600 - 10n)(30 + n)\ =\ -10n^2\ +\ 300n\ +\ 18000$

b) $f(n)\ =\ 0\ \Leftrightarrow\ (600 - 10n)\ =\ 0\ \vee\ (30 + n)\ =\ 0\ \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\ n\ \in\ \{60\ ,\ -30\}$

c) Tomando a função quadrática $f(n) $, $ n_v\ =\ -\dfrac{300}{(-20)}\ =\ 15$.

d) $f(15)\ =\ 20250$.

Exercício: maximizando a receita de um hotel.

(FGV-SP) Um hotel tem $30$ quartos para casais. O gerente verificou que, cobrando $R\$\ 120,00$ por dia de permanência de cada casal, o hotel permanecia lotado, e cada aumento de $R\$\ 5,00$ na diária fazia com que um quarto ficasse vazio.

a) Chamando de $x$ o preço da diária e $y$ o número de quartos ocupados, qual a relação entre $x$ e $y$?

b) Qual o preço que deve ser cobrado por dia para maximizar a receita do hotel?

Resolução:

a) Chamemos de $n$ o número de quartos abandonados pelo incremento na cobrança das diárias. Teremos:

$y\ =\ 30 - n$.....[1]

$x\ =\ 120 + 5n$.....[2]

Multiplicando [1] por $5$ e somando com [2]:

$5y + x\ =\ 270$

b) Chamando de $R$ a receita, teremos:

$R\ =\ yx\ =\ x(54 - \dfrac{x}{5})$

$R\ =\ -\dfrac{x^2}{5} + 54x$

Donde:

$x_v\ =\ -\dfrac{54}{(-\dfrac{2}{5})}\ =\ R\$\ 135,00$