Demonstração: $\dfrac{p+1}{p}>\dfrac{p+2}{p+1}\ ,\ p\in\mathbb{N}^*$.

Vamos supor o contrário:

$\dfrac{p + 1}{p}\ \le\ \dfrac{p + 2}{p + 1}$

$\dfrac{(p + 1)^2}{p(p + 1)}\ \le\ \dfrac{p(p + 2)}{p(p + 1)}$

Como $p(p + 1)$ é positivo:

$p^2 + 2p + 1\ \le\ p^2 + 2p$

O que é um absurdo. Logo

$\dfrac{p + 1}{p}\ >\ \dfrac{p + 2}{p + 1}$

Como exemplos podemos citar:

$\dfrac{3}{2}\ >\ \dfrac{4}{3}\ >\ \dfrac{5}{4}$

Exercício: dado $y=|\sqrt{x^2-8x+16}-\sqrt{x^2-2x+1}|$, construir o gráfico da função.

Observemos que:

$\sqrt{x^2 - 8x + 16}\ =\ \sqrt{(x - 4)^2}\ =\ |x - 4|$

$\sqrt{x^2 - 2x + 1}\ =\ \sqrt{(x - 1)^2}\ =\ |x - 1|$

Analisemos então o comportamento de $y$ de acordo com o comportamento de suas parcelas modulares.

Para $x\ <\ 1$:

$|x - 1|\ =\ 1 - x$

$|x - 4|\ =\ 4 - x$

Assim:

$y_1\ =\ |(4 - x) - (1 - x)|\ =\ |3|\ =\ 3$
__

Para $1\ \le\ x\ <\ 4$:

$|x - 1|\ =\ x - 1$

$|x - 4|\ =\ 4 - x$

Assim:

$y_2\ =\ |(4 - x) - (x - 1)|\ =\ |-2x + 5|$

Se $x\ <\ \dfrac{5}{2}$:

$|-2x + 5|\ =\ -2x + 5$

$y_{2,1}\ =\ -2x + 5$

Se $x\ \ge\ \dfrac{5}{2}$

$|-2x + 5|\ =\ 2x - 5$

$y_{2,2}\ =\ 2x - 5$
__

Para $x\ \ge\ 4$:

$|x - 1|\ =\ x - 1$

$|x - 4|\ =\ x - 4$

Assim:

$y_3\ =\ |(x - 4) - (x - 1)|\ =\ |-3|\ =\ 3$
__

Construindo agora os gráficos das três funções componentes, uma para cada intervalo de $x$:

Exercício: produção de um pomar.

(Unicamp-SP) Em um pomar em que existiam $30$ laranjeiras produzindo, cada uma, $600$ laranjas, foram plantadas $n$ novas laranjeiras. Depois de um certo tempo, constatou-se que, devido à competição por nutrientes do solo, cada laranjeira (tanto nova como velha) estava produzindo $10$ laranjas a menos, por ano, por cada nova laranjeira plantada no pomar.

Se $f(n)$ é a produção anual do pomar:

a) Determine a expressão algébrica de $f(n)$.

b) Determine os valores de $n$ para os quais $f(n)\ =\ 0$.

c) Quantas novas laranjeiras deveriam ter sido plantadas para que o pomar tivesse produção máxima?

d) Qual o valor dessa produção?

Resolução:

a) A produção será dada pela multiplicação entre o número de laranjeiras e o número de laranjas produzidas por cada uma.

$f(n)\ =\ (600 - 10n)(30 + n)\ =\ -10n^2\ +\ 300n\ +\ 18000$

b) $f(n)\ =\ 0\ \Leftrightarrow\ (600 - 10n)\ =\ 0\ \vee\ (30 + n)\ =\ 0\ \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\ n\ \in\ \{60\ ,\ -30\}$

c) Tomando a função quadrática $f(n) $, $ n_v\ =\ -\dfrac{300}{(-20)}\ =\ 15$.

d) $f(15)\ =\ 20250$.

Exercício: maximizando a receita de um hotel.

(FGV-SP) Um hotel tem $30$ quartos para casais. O gerente verificou que, cobrando $R\$\ 120,00$ por dia de permanência de cada casal, o hotel permanecia lotado, e cada aumento de $R\$\ 5,00$ na diária fazia com que um quarto ficasse vazio.

a) Chamando de $x$ o preço da diária e $y$ o número de quartos ocupados, qual a relação entre $x$ e $y$?

b) Qual o preço que deve ser cobrado por dia para maximizar a receita do hotel?

Resolução:

a) Chamemos de $n$ o número de quartos abandonados pelo incremento na cobrança das diárias. Teremos:

$y\ =\ 30 - n$.....[1]

$x\ =\ 120 + 5n$.....[2]

Multiplicando [1] por $5$ e somando com [2]:

$5y + x\ =\ 270$

b) Chamando de $R$ a receita, teremos:

$R\ =\ yx\ =\ x(54 - \dfrac{x}{5})$

$R\ =\ -\dfrac{x^2}{5} + 54x$

Donde:

$x_v\ =\ -\dfrac{54}{(-\dfrac{2}{5})}\ =\ R\$\ 135,00$

Exercício: determinando imagens #2.

Considere a função $f$ de $\mathbb{R}_+^*$ em $\mathbb{R}$ tal que $f(2)\ =\ 1$ e $f(a\ \cdot\ b)\ =\ f(a) + f(b)$, para quaisquer $a,b\ \in\ \mathbb{R}_+^*$. Calcule $f(1)$, $f(4)$ e $f(8)$.

Resolução:

$f(1)\ =\ f(1\ \cdot\ 1)\ =\ 2f(1)\ \Rightarrow\ f(1)\ =\ 0$

$f(4)\ =\ f(2\ \cdot\ 2)\ =\ 2f(2)\ =\ 2$

$f(8)\ =\ f(2\ \cdot\ 4)\ =\ f(2) + f(4)\ =\ 1 + 2\ =\ 3$

Exercício: determinando imagens.

Considere a função $f$ de $\mathbb{R}$ em $\mathbb{R}$ tal que $f(1)\ =\ 3$ e $f(a + b)\ =\ f(a)\ \cdot\ f(b)$ para quaisquer $a,b\ \in\ \mathbb{R}$. Calcule $f(0)$, $f(2)$, $f(3)$ e $f(4)$.

Resolução:

$f(1)\ =\ f(0 + 1)\ =\ f(0)\ \cdot\ f(1)\ =\ 3\ \Rightarrow\ f(0)\ =\ 1$

$f(2)\ =\ f(1 + 1)\ =\ {f(1)}^2\ =\ 9$

$f(3)\ =\ f(1 + 2)\ =\ f(1)\ \cdot\ f(2)\ =\ 3\ \cdot\ 9\ =\ 27$

$f(4)\ =\ f(2 + 2)\ =\ {f(2)}^2\ =\ 81$

Exercício: determinar lei de formação da função.

Considere a função $f$ de $\mathbb{R}$ em $\mathbb{R}$ definida pela lei $f(2x-1)\ =\ 5x + 3$. Calcule $f(x)$.

Resolução:

Chamemos $t\ =\ 2x - 1$.

$x\ =\ \dfrac{t + 1}{2}$

Assim:

$f(t)\ =\ 5\ \cdot\ \dfrac{t + 1}{2}\ +\ 3$

$f(t)\ =\ \dfrac{5t}{2} + \dfrac{11}{2}$

Como $t$ e $x$ são elementos de um mesmo conjunto domínio:

$f(x)\ =\ \dfrac{5x}{2} + \dfrac{11}{2}$

Demonstração: $x>1>y\Rightarrow x+y>xy$.

Sejam $x$ e $y$ números reais tais que $x\ >\ 1\ >\ y$. A soma deles é maior que o produto.

De fato:

$x - 1\ >\ 0$

$y - 1\ <\ 0\ \Rightarrow\ 1 - y\ >\ 0$

$(x - 1)(1 - y)\ >\ 0$

$x + y - 1 - xy\ >\ 0$

$x + y\ >\ xy + 1$

Donde:

$x + y\ >\ xy$

cqd.

Demonstração: $(x,y)\in\mathbb{Q}\times\mathbb{Q};\Rightarrow x+2y \in\mathbb{Q}$.

Dados $x$ um número racional, e $y$ um número irracional, provemos que $x + 2y$ é irracional.

Vamos tomar a hipótese contrária.

Seja $x\ =\ \dfrac{p}{q}$ com $p\ \in\ \mathbb{Z}$ e $q\ \in\ \mathbb{Z}^*$. Teremos:

$\dfrac{p}{q}\ + 2y\ =\ \dfrac{p'}{q'}$ com p'\ \in\ \mathbb{Z}$ e $q'\ \in\ \mathbb{Z}^*$.

Assim:

$y\ =\ \dfrac{p'q - pq'}{2qq'}$

Como $p'q - pq'$ é inteiro e $2qq'$ é inteiro não-nulo, concluímos que $y$ é racional, o que é um absurdo.

Logo, para $x$ racional e $y$ irracional, $x + 2y$ é irracional.

Exercício: censo populacional.

(Cesgranrio-RJ) Tendo sido feito o levantamento estatístico dos resultados do Censo populacional 96 em uma cidade, descobriu-se sobre a população, que:

I - $44\%$ tem idade superior a 30 anos;
II - $68\%$ são homens;
III - $37\%$ são homens com mais de 30 anos;
IV - $25\%$ são homens solteiros;
V - $4\%$ são homens solteiros com mais de 30 anos;
VI - $45\%$ são indivíduos solteiros;
VII - $6\%$ são indivíduos solteiros com mais de 30 anos.

Com base nos dados acima, qual a porcentagem da população dessa cidade que representa as mulheres casadas com idade igual ou inferior a 30 anos?

Resolução:

De (I): $1 - 44\%\ =\ 56\%$ tem idade inferior a 30 anos. [a]
De (II): $32\%$ são mulheres. [b]
De (I) e (III): $44\% - 37\%\ =\ 7\%$ são mulheres com mais de 30 anos. [c]
De (II) e (III): $68\% - 37\%\ =\ 31\%$ são homens com menos de 30 anos. [d]
De (II) e (IV): $68\% - 25\%\ =\ 43\%$ são homens casados. [e]
De (III) e (V): $37\% - 4\%\ =\ 33\%$ são homens casados com mais de 30 anos. [f]
De (VI): $1 - 45\%\ =\ 55\%$ são indivíduos casados. [g]
De (V) e (VII): $6\% - 4\%\ =\ 2\%$ são mulheres solteiras com mais de 30 anos. [h]
De (VI) e (VII): $45\% - 6\%\ =\ 39\%$ são indivíduos solteiros com menos de 30 anos. [i]

De [b] e [c]: $32\% - 7\%\ =\ 25\%$ são mulheres com menos de 30 anos. [j]
De [c] e [h]: 7\% - 2\%\ =\ 5\%$ são mulheres casadas com mais de 30 anos. [k]

De [g], [e], e [k]:

$55\%\ =\ 43\% + 5\% + p$

Onde $p$ é o percentual de mulheres casadas com menos de 30 anos.

Logo $p\ =\ 7\%$.

Exercício: diferentes conversões de moeda e diferença entre preços.

(Cesgranrio-RJ) Em 6 de setembro de 1994, os jornais noticiavam que uma grande empresa havia convertido seus preços para reais usando $R\$\ 1,00\ =\ Cr\$\ 2.400,00$ e não $R\$\ 1,00\ =\ Cr\$\ 2.750,00$. Ao fazer isso, nessa empresa, ou preços subiram ou baixaram, em que percentual?

Resolução:

Consideremos uma mercadoria que custava $Cr\$ 1,00$. Esta mercadoria convertida pela tabela-padrão passou a custar $R\$\ \dfrac{1}{2750}$, enquanto em tal empresa, passou a custar $R\$\ \dfrac{1}{2400}$. Como $\dfrac{1}{2400}\ >\ \dfrac{1}{2750}$ os preços em tal empresa subiram.

Calculando o percentual $p$ de aumento:

$\dfrac{1}{2400}\ =\ (1 + p)\ \cdot\ \dfrac{1}{2750}$

$p\ =\ \dfrac{275}{240} - 1\ \approx\ 14,6\ \%$

Exercício: margem de erro em aproximação numérica.

(Fuvest-SP) A diferença entre $\dfrac{1}{3}$ e seu valor aproximado $0,333$ é igual a $x\ \%$ do valor exato. Qual o valor de $x$?

Resolução:

$\dfrac{1}{3}\ =\ 0,\overline{3}$

$0,\overline{3} - 0,333\ =\ 0,000\overline{3}\ =\ \dfrac{3}{9000}\ =\ \dfrac{1}{3000}$

$\dfrac{x}{100}\ =\ \dfrac{\dfrac{1}{3000}}{\dfrac{1}{3}}\ =\ \dfrac{1}{1000}$

$x\ =\ 0,1$

Exercício: frações de terrenos.

(Cesgranrio-RJ) Um terreno será dividido em três lotes de tamanhos diferentes. A área do lote 3 é $10\%$ maior que a do lote 2, enquanto que esta é $20\%$ maior do que a do lote 1. A que percentual da área desse terreno corresponde, aproximadamente, o lote 1?

Resolução:

Chamemos de $A_1$ a área do lote 1, de $A_2$ a do lote 2, e de $A_3$ a do lote 3.

$A_2\ =\ (1 + 20\%)\ \cdot\ A_1$

$A_3\ =\ (1 + 10\%)\ \cdot\ A_2$

Assim:

$A_3\ =\ 1,1\ \cdot\ 1,2\ \cdot\ A_1\ =\ 1,32\ \cdot\ A_1$

A fração de $A_1$ com relação à área total será:

$\dfrac{A_1}{\sum_{i=1}^3\ A_i}\ =\ \dfrac{A_1}{(1 + 1,2 + 1,32)\ \cdot\ A_1}\ =\ \dfrac{1}{3,52}\ \approx\ 28,4\ \%$

Exercício: leve 3 e pague 2.

(Vunesp-SP) As promoções do tipo "leve 3 pague 2", comuns no comércio, acenam com um desconto, sobre cada unidade vendida em que percentual?

Resolução:

Chamemos de $P$ o preço unitário de uma mercadoria e $d$ o desconto equivalente.

$2P\ =\ (1 - d)\ \cdot\ 3P$

$d\ =\ 1 - \dfrac{2}{3}$

$d\ =\ \dfrac{1}{3}\ =\ \dfrac{100}{3}\ \%$

Exercício: desconto ilusório.

(FGV-SP) Uma loja anuncia um desconto sobre o valor total, $X$, das compras de cada cliente, de acordo com o seguinte esquema:

1) Desconto de $10\%$ para $10000\ \le\ X\ <\ 20000$.
2) Desconto de $15\%$ para $X\ \ge\ 20000$.

Um cliente compra um par de sapatos por $Cr\$\ 18.000,00$ e um par de meias por $Cr\$\ 2.000,00$. O vendedor muito gentilmente se oferece para reduzir o preço das meias para $Cr\$\ 1.500,00$ e o cliente aceita a oferta. No caixa são aplicadas as regras do desconto promocional. Nessas condições, qual foi o lucro ou o prejuízo do cliente?

Resolução:

Mantendo-se o preço do par de meias em $Cr\$\ 2.000,00$, o valor total da compra seria de $2000 + 18000\ =\ 20000$, tendo direito sobre um desconto total de $15\%$, pagando no total:

$20000\ \cdot\ (1 - 15\%)\ =\ 20000 - 3000\ =\ Cr\$ 17.000,00$

Mas, com primeiro desconto oferecido pelo vendedor, o valor integral da compra será de $1500 + 18000\ =\ 19500$, tendo direito a um desconto de $10\%$, pagando no total:

$19500\ \cdot\ (1 - 10\%)\ =\ 19500 - 1950\ =\ Cr\$\ 17.550,00$

Logo o cliente na verdade terá um prejuízo de $17550 - 17000\ =\ Cr\$\ 550,00$.

Exercício: percentual de carros roubados.

(ENEM) Uma companhia de seguros levantou dados sobre os carros de determinada cidade e constatou que são roubados, em média, $150$ carros por ano. O número de carros roubados da marca X é o dobro do número de carros roubados da marca Y, e as marcas X e Y juntas respondem por cerca de $60\%$ dos carros roubados. Qual o número esperado de carros roubados da marca Y?

Resolução:

Chamemos de $c_x$ o número de carros roubados da marca X, e de $c_y$ o da marca Y.

$c_x + c_y\ =\ 60\%\ \cdot\ 150$

$2c_y + c_y\ =\ 90$

$c_y\ =\ 30$

Exercício: criação de coelhos.

(UFMG) Uma criação de coelhos foi iniciada há exatamente um ano e, durante esse período, o número de coelhos duplicou a cada $4$ meses. Hoje, parte dessa criação deverá ser vendida para se ficar com a quantidade inicial de coelhos. Para que isso ocorra, qual a porcentagem da população atual dessa criação de coelhos deve ser vendida?

Resolução:

Chamemos de $c$ a quantidade inicial de coelhos.

Como em um ano temos $3$ períodos de $4$ meses, o número de coelhos será multiplicada por $2^3\ =\ 8$.

Assim, chamando de $p$ o percentual a ser vendido, teremos:

$c\ =\ (1 - p)\ \cdot\ 8c$

$p\ =\ 1 - \dfrac{1}{8}\ =\ 87,5\ \%$

Exercício: porcentagem de acertos em uma prova.

(Fuvest-SP) Em uma prova de $25$ questões, cada resposta certa vale $+0,4$ e cada resposta errada vale $-0,1$. Um aluno resolveu todas as questões e teve nota $0,5$. Qual a porcentagem de acertos desse aluno?

Resolução:

Chamemos de $a$ o número de acertos, e de $e$ o número de erros.

$0,4\ \cdot\ a\ -\ 0,1\ \cdot\ e\ =\ 0,5$

$4a - e\ =\ 5$.....[1]

Da primeira sentença temos:

$a + e\ =\ 25$.....[2]

Somando [1] e [2]:

$5a\ =\ 30\ \Rightarrow\ a\ =\ 6$

A porcentagem de acertos será $\dfrac{6}{25}\ =\ 24\ \%$.

Exercício: determinando preço de custo e preço de venda.

(MACK-SP) Numa loja, para um determinado produto, a diferença entre o preço de venda solicitado e o preço de custo é $3.000$. Se esse produto for vendido com $20\%$ de desconto, ainda assim dará um lucro de $30\%$ à loja. Qual a soma entre os preços de venda e de custo?

Resolução:

Chamemos de $P_c$ o preço de custo, e de $P_v$ o preço de venda.

$P_v\ \cdot\ (1 - 20\%)\ =\ P_c\ \cdot\ (1 + 30\%)$

$P_v\ =\ P_c\ \cdot\ \dfrac{1,3}{0,8}$.....[1]

Da primeira sentença temos:

$P_v - P_c\ =\ 3000$.....[2]

Substituindo [1] em [2]:

$P_c - P_c\ \cdot\ \dfrac{13}{8}\ =\ 3000$

$P_c\ \cdot\ \dfrac{5}{8}\ =\ 3000$

$P_c\ =\ 4800$

Logo:

$P_v\ =\ 4800 + 3000\ =\ 7800$

Donde:

$P_v + P_c\ =\ 12600$

Exercício: massa apos desidratação.

(Fuvest-SP) $95\%$ da massa de uma melancia de $10\ kg$ é constituída por água. A fruta é submetida a um processo de desidratação (que elimina apenas água) até que a participação de água na massa da melancia se reduza a $90\%$. Qual será a massa da melancia após esse processo de desidratação?

Resolução:

Teremos $95\%\ \cdot\ 10\ =\ 9,5\ kg$ de pura água, logo teremos inicialmente na melancia $10 - 9,5\ =\ 0,5\ kg$ de melancia pura.

Após a desidratação essa massa corresponderá a $1 - 90\%\ =\ 10\%$ do total da melancia. Assim $0,5\ =\ 10\%\ \cdot\ M$, onde $M$ é a massa da melancia. Logo $M\ =\ 5\ kg$.

Exercício: número de questões de um teste.

(UFF-RJ) Ao responder a um teste, um aluno acertou $20$ das $30$ primeiras questões e errou $64\%$ do número restante de questões. Feita a correção, verificou-se que o total de acertos correspondia a $47,5\%$ do número de questões propostas. Qual o total de questões do teste?

Resolução:

Chamemos de $r$ o número de questões restantes.

$47,5\%\ \cdot\ (30 + r)\ =\ 20\ +\ (1 - 64\%)\ \cdot\ r$

$14,25\ +\ 47,5\%\ \cdot\ r\ =\ 20\ +\ 36\%\ \cdot\ r$

$11,5\%\ \cdot\ r\ =\ 5,75$

$r\ =\ 50$

Logo o número total de questões será $30 + 50\ =\ 80$.

Exercício: prevendo margem para desconto na negociação.

(Fuvest-SP) Um lojista sabe que, para não ter prejuízo, o preço de venda de seus produtos deve ser no mínimo $44\%$ superior ao preço de custo. Porém ele prepara a tabela de preços de venda acrescentando $80\%$ ao preço de custo, porque sabe que o cliente gosta de obter desconto no momento da compra. Qual é o maior desconto que ele pode conceder ao cliente, sobre o preço da tabela, de modo a não ter prejuízo?

Resolução:

Chamemos de $P_c$ o preço de custo de um produto e $d$ o desconto oferecido no momento da venda.

$(1 - d) (1 + 80\%)\ \cdot\ P_c\ \ge\ (1 + 44\%)\ \cdot\ P_c$

$(1 - d) (1 + 80\%)\ \ge\ (1 + 44\%)$

$d\ \le\ \frac{1,8 - 1,44}{1,8}$

$d\ \le\ \frac{1}{5}$

Logo o desconto máximo oferecido no momento da venda, de modo ao lojista não ter prejuízo, é de $20\%$.

Exercício: cálculo de parcela de débito.

(Cesgranrio-RJ) Carlos contraiu uma dívida que foi paga com uma taxa de juros ao mês e constante. Porém, o recibo do mês de fevereiro extraviou-se e Carlos necessita deste valor para o cálculo do Imposto de Renda. Os valores conhecidos são:

Janeiro	->	$R\$\ 1.000,00$
Março	->	$R\$\ 1.210,00$
Abril	->	$R\$\ 1.331,00$

Com base nos dados acima, qual foi a quantia que Carlos pagou em fevereiro?

Resolução:

Chamemos de $P_f$ a parcela de fevereiro, e $i$ a taxa de juros. Teremos:

$1210\ =\ (1 + i)^2\ \cdot\ 1000$

$(1 + i)\ =\ \sqrt{\dfrac{1210}{1000}}$

$i\ =\ 1,1 - 1 = 10\ \%$

Assim:

$P_f\ =\ (1 + 10\%)\ \cdot\ 1000\ =\ R\$\ 1.100,00$

Observemos que:

$1000\ \cdot\ (1,1)^3\ =\ R\$\ 1.331,00$

Exatamente a parcela de abril.

Exercício: repasse de preço com lucro de comerciantes.

(PUC-SP) Uma cooperativa compra a produção de pequenos horticultores, revendendo-a para atacadistas com um lucro de $50\%$, em média. Estes repassam o produto para os feirantes, com um lucro de $50\%$, em média. Os feirantes vendem o produto para o consumidor e lucram, também, $50\%$ em média. Qual o acréscimo médio do preço pago pelo consumidor em relação ao preço dos horticultores?

Resolução:

Chamemos de $P_o$ o preço de venda original das hortaliças, sem lucro; $P_h$ o preço médio de venda dos horticultores; $P_a$ o preço médio de venda dos atacadistas; e $P_f$ o preço médio de venda dos feirantes.

$P_h\ =\ (1 + 50\%)\ \cdot\ P_o$

$P_a\ =\ (1 + 50\%)\ \cdot\ P_h $

$ P_f\ =\ (1 + 50\%)\ \cdot\ P_a$

Donde:

$P_f\ =\ (1 + 50\%)^3\ \cdot\ P_o\ =\ 3,375\ \cdot\ P_o$

$3,375 - 1\ =\ 237,5\%$

Exercício: enumeração com certa quantidade de algarismos.

(Fuvest-SP) Um estudante terminou um trabalho que tinha $n$ páginas. Para numerar todas essas páginas, iniciando com a página $1$, ele escreveu $270$ algarismos. Qual o valor de $n$?

Resolução:

Consideremos primeiramente os números que possuem apenas $1$ algarismo. Tais são os inteiros que variam de $1$ a $9$, são portando $9$ números.

Consideremos agora os números com $2$ algarismos. Tais são os inteiros que variam de $10$ a $99$, são portando $99 - 10 + 1\ =\ 90$ números. Como estes possuem $2$ algarismos, eles terão ao total $90\ \cdot\ 2\ =\ 180$ algarismos.

Sobraram $270 - (180 + 9)\ =\ 81$ algarismos para serem contados.

Como os próximos números possuem $3$ algarismos cada, teremos $\frac{81}{3}\ =\ 27$ números.

Como o último número a ser computado foi o $99$, $n\ =\ 99 + 27\ =\ 126$.

Demonstração: dados $(p,q)\in{\mathbb{R}^*_+}^2$, $MG_{p,q} \ge MH_{p,q}$.

Dados dois reais positivos $p$ e $q$, chamemos de $MG_{p,q}$ a média geométrica entre os mesmos, e $MH_{p,q}$ a média harmônica. Consideremos ainda um real $x$ tal que:

$x\ =\ MG_{p,q}\ -\ MH_{p,q}$

Desenvolvendo, teremos:

$x\ =\ \sqrt{pq}\ -\ \dfrac{2}{\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q}}$

$x\ =\ \sqrt{pq}\ -\ \dfrac{2}{\dfrac{p+q}{pq}}$

$x\ =\ \sqrt{pq}\ -\ \dfrac{2pq}{p+q}$

$x\ =\ \sqrt{pq}(1 -\ \dfrac{2\sqrt{pq}}{p+q})$

$x\ =\ \sqrt{pq}(\dfrac{p + q - 2\sqrt{pq}}{p+q})$

$x\ =\ \sqrt{pq}(\dfrac{(\sqrt{p}-\sqrt{q})^2}{p+q})$

Consideremos agora duas possibilidades:

a) Se $p\ =\ q$, $\sqrt{pq}$ é positivo, $p + q$ é positivo, e $(\sqrt{p}-\sqrt{q})^2$ é nulo. Logo $x\ =\ 0$

b) Se $p\ \neq\ q$, $\sqrt{pq}$ é positivo, $p + q$ é positivo, e $(\sqrt{p}-\sqrt{q})^2$ é positivo. Logo $x\ >\ 0$

Assim $MG_{p,q}\ \ge\ MH_{p,q}$.

Velocidade como média harmônica e aritmética no MRU.

Consideremos um móvel que se desloca em um trajetória em dois regimes de velocidade constante, chamado em Cinemática de movimento uniforme. No primeiro regime ele possui velocidade $v_1$, desloca-se $S_1$ unidades de comprimento em $t_1$ unidades de tempo. No segundo regime ele possui velocidade $v_2$, desloca-se $S_2$ unidades de comprimento em $t_2$ unidades de tempo. Chamemos de $v_m$ a velocidade média do móvel em todo trajeto.

a) Se $S_1\ =\ S_2\ =\ S$, ou seja, se ele percorre metade do percurso com velocidade $v_1$ e a outra metade com velocidade $v_2$, teremos:

$v_m\ =\ \dfrac{S_1 + S_2}{t_1 + t_2}\ =\ \dfrac{2S}{\dfrac{S}{v_1} + \dfrac{S}{v_2}}\ =\ \dfrac{2}{\dfrac{1}{v_1} + \dfrac{1}{v_2}}$

Ou seja, a velocidade média será a média harmônica das duas velocidades.
__

b) Se $t_1\ =\ t_2\ =\ t$, ou seja, se ele percorre metade do tempo com velocidade $v_1$ e a outra metade com velocidade $v_2$, teremos:

$v_m\ =\ \dfrac{S_1 + S_2}{t_1 + t_2}\ =\ \dfrac{v_1\ \cdot\ t\ +\ v_2\ \cdot\ t}{2t}\ =\ \dfrac{v_1 + v_2}{2}$

Ou seja, a velocidade média será a média aritmética das duas velocidades.

Médias harmônica, aritmética, e aritmética ponderada em uma solução.

Consideremos uma solução composta de duas substâncias de densidades $d_1$ e $d_2$, massas $m_1$ e $m_2$, e volumes $v_1$ e $v_2$. Podemos calcular a densidade $d$ da solução empregando o conceito de médias, facilitando a computação da mesma.

1º caso: $v_1\ =\ v_2\ =\ v$:

$d\ =\ \dfrac{m_1 + m_2}{2v}\ =\ \dfrac{d_1\ \cdot\ v + d_2\ \cdot\ v}{2v}\ =\ \dfrac{d_1 + d_2}{2}$

Logo, se as duas substâncias possuem o mesmo volume, a densidade da solução será a média aritmética das densidades das substâncias componentes.
__

2º caso: $m_1\ =\ m_2\ =\ m$:

$d\ =\ \dfrac{2m}{v_1 + v_2}\ =\ \dfrac{2m}{\dfrac{m}{d_1} + \dfrac{m}{d_2}}\ =\ \dfrac{2}{\dfrac{1}{d_1} + \dfrac{1}{d_2}}$

Logo, se as duas substâncias possuem a mesma massa, a densidade da solução será a média harmônica das densidades das substâncias componentes.
__

3ºcaso: $m_1$, $m_2$, $v_1$, e $v_2$ quaisquer:

$d\ =\ \dfrac{m_1 + m_2}{v_1 + v_2}\ =\ \dfrac{v_1\ \cdot d_1\ +\ v_2\ \cdot\ d_2}{v_1 + v_2}$

Logo, a densidade de uma solução de duas substâncias é igual a média aritmética ponderada das densidades das substâncias componentes cujos pesos são seus respectivos volumes.

Exercício: porcentagem de gêneros conhecidos seus desempenhos.

(Fuvest-SP) Numa classe de um colégio existem estudantes de ambos os sexos. Numa prova, as médias aritméticas das notas dos meninos e das meninas foram respectivamente iguais a $6,2$ e $7,0$. A média aritmética das notas de toda a classe foi igual a $6,5$.

a) A maior parte dos estudantes dessa classe é composta de meninos ou meninas? Justifique sua resposta.

b) Que porcentagem do total de alunos da classe é do sexo masculino?

Resolução:

a) Como a média geral está mais próxima de $6,2$ do que de $7,0$, a maioria da classe é composta de meninos: $| 6,5 - 6,2 | < | 6,5 - 7,0 |$.

b) Chamando de $h$ o percentual de meninos, teremos:

$6,5\ =\ \dfrac{h\ \cdot\ 6,2\ +\ (1 - h)\ \cdot\ 7,0}{h\ +\ (1 - h)}\ =\ \dfrac{7,0 - 0,8h}{1}$

Logo:

$h\ =\ \dfrac{-0,5}{-0,8}\ =\ 62,5\ \%$

Exercício: determinar número dos gêneros conhecidas suas idades.

(Unicamp-SP) A média aritmética de um grupo de $120$ pessoas é de $40$ anos. Se a média aritmética das idades das mulheres é de $35$ anos e a dos homens é de $50$ anos, qual o número de pessoas de cada sexo, no grupo?

Resolução:

A média de 40 anos pode ser tomada como a média aritmética ponderada das idades dos homens e mulheres cujos pesos serão respectivamente a quantidade de cada um deles.

Chamando de $h$ o número de homens, teremos:

$40\ =\ \dfrac{50h + 35(120 - h)}{120}$

$4800\ =\ 15h + 4200$

$h\ =\ 40$

Logo teremos $40$ homens e $120 - 40\ =\ 80$ mulheres.

Demonstração: dados $(p,q)\in(\mathbb{R}_+)^2$, a média aritmética é maior ou igual à média geométrica.

Consideremos o real $x$ tal que:

$x\ =\ \dfrac{p + q}{2}\ -\ \sqrt{pq}$

$x\ =\ \dfrac{p + q - 2\sqrt{pq}}{2}\ =\ \dfrac{(\sqrt{p} - \sqrt{q})^2}{2}$

Como $(\sqrt{p} - \sqrt{q})^2$ é não-negativo, concluímos que $x$ é positivo ou nulo, logo $\dfrac{p + q}{2}\ \ge \sqrt{pq}$.

Como queríamos demonstrar.

Exercício: demonstrar racionalidade de $\sqrt{8+2\sqrt{7}}-\sqrt{8-2\sqrt{7}}$.

Chamemos $x\ =\ \sqrt{8 + 2\sqrt{7}} - \sqrt{8 - 2\sqrt{7}}$.

Como $\sqrt{8 + 2\sqrt{7}} > \sqrt{8 - 2\sqrt{7}}$, então $x\ >\ 0$.

$x^2\ =\ (\sqrt{8 + 2\sqrt{7}} - \sqrt{8 - 2\sqrt{7}})^2\ =$

$=\ 8 + 2\sqrt{7} - 2\sqrt{(8 + 2\sqrt{7})(8 - 2\sqrt{7})} + 8 - 2\sqrt{7}\ =$

$=\ 16 - 2\sqrt{64 - 28}\ =\ 16 - 12$

Logo:

$x^2\ =\ 4$

Como $x\ >\ 0 $, $ x\ =\ 2$, logo $\sqrt{8 + 2\sqrt{7}} - \sqrt{8 - 2\sqrt{7}}$ é racional.