Obter a derivada de $f(x) = \dfrac{2}{x^3} + \dfrac{5}{x^2}$.

$\fbox{$f'(x) = -\dfrac{6}{x^4} - \dfrac{10}{x^3}$}$

Se $x$ é um número real, resolver $3^{2x} + 3^{x+1} = 18$.

$\cancel{3^x = -6}\ \vee\ 3^x = 3\ \Rightarrow\ \fbox{$x = 1$}$

Calculadora: combustível mais vantajoso para abastecer um veículo.

Separados por ponto e vírgula ";", entre com os combustíveis. Cada combustível consiste em três partes separadas por vírgula ",": primeiro: o nome; segundo: o preço por volume; terceiro: o quanto de distância seu veículo percorre com tal volume.

Exemplo:

Input: "Gasolina, 8.53, 20; Etanol, 5.67, 15".

Output: "Etanol".




Combustível mais vantajoso:

Exercício: limite de uma função de duas variáveis #3.

Calcular $L = \displaystyle\lim_{\begin{array}{l}x \rightarrow 2\\ y \rightarrow 3\end{array}} \dfrac{x^2y - 3x^2 - 4xy + 12x + 47 - 12}{xy - 3x - 2y + 6}$.

 

$L = \displaystyle\lim_{\begin{array}{l}x \rightarrow 2\\ y \rightarrow 3\end{array}} \dfrac{x\cancel{(xy - 3x - 2y + 6)} - 2\cancel{(xy - 3x - 2y + 6)}}{\cancel{xy - 3x - 2y + 6}} = \displaystyle\lim_{\begin{array}{l}x \rightarrow 2\\ y \rightarrow 3\end{array}} x - 2 = \fbox{$0$}$

Exercício: limite de uma função de duas variáveis #2.

Calcular $L = \displaystyle\lim_{\begin{array}{l}x \rightarrow 1\\ y \rightarrow 1\end{array}} \dfrac{\sqrt[3]{xy} - 1}{\sqrt{xy} - 1}$.

$L = \displaystyle\lim_{\begin{array}{l}x \rightarrow 1\\ y \rightarrow 1\end{array}} \dfrac{\left(\sqrt[3]{xy} - 1\right)\left(\sqrt{xy} + 1\right)}{xy - 1} = \displaystyle\lim_{\begin{array}{l}x \rightarrow 1\\ y \rightarrow 1\end{array}} \dfrac{\cancel{\left(\sqrt[3]{xy} - 1\right)}\left(\sqrt{xy} + 1\right)}{\cancel{\left(\sqrt[3]{xy} - 1\right)}\left(\sqrt[3]{x^2 y^2} + \sqrt[3]{xy} + 1\right)} = \fbox{$\dfrac{2}{3}$}$

Exercício: limite de uma função de duas variáveis.

Calcular $I = \displaystyle\lim_{\begin{array}{l}x \rightarrow 4\\ y \rightarrow 4\end{array}} \dfrac{x - y}{\sqrt{x} - \sqrt{y}}$.

 

$I = \displaystyle\lim_{\begin{array}{l}x \rightarrow 4\\ y \rightarrow 4\end{array}} \dfrac{\cancel{(x - y)}\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}{\cancel{x - y}} = \displaystyle\lim_{\begin{array}{l}x \rightarrow 4\\ y \rightarrow 4\end{array}} \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right) = \fbox{$4$}$

Obter a reta tangente ao gráfico de $f(x) = e^{-x^2}$ em $x_0 = 1$.

$f(x_0) = \dfrac{1}{e}$

$f'(x_0) = -2x_0 \cdot e^{-x_0^2} = \dfrac{-2}{e}$

Logo a reta procurada é $y - \dfrac{1}{e} = -\dfrac{2}{e}(x - 1)\ \equiv\ \fbox{$2x + ey - 3 = 0$}$.

 

 

Exercício: número de jovens que trabalham.

(Enem 2020). A Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios (Pnad) é uma pesquisa feita anualmente pelo IBGE, exceto nos anos em que há Censo. Em um ano, foram entrevistados 363 mil jovens para fazer um levantamento sobre suas atividades profissionais e/ou acadêmicas. Os resultados da pesquisa estão indicados no gráfico.

De acordo com as informações dadas, qual o número de jovens entrevistados que trabalham?

$(0,136 + 0,452) \cdot 363000 = \fbox{$213444$}$

Se $5^{3y} = 64$, quanto é $5^{-y}$?

$5^y = 4\ \Rightarrow\ \fbox{$5^{-y} = \dfrac{1}{4}$}$

Exercício: micrômetros para metros.

(Enem 2020). Pesquisadores da Universidade de Tecnologia de Viena, na Áustria, produziram miniaturas de objetos em impressoras 3D de alta precisão. Ao serem ativadas, tais impressoras lançam feixes de laser sobre um tipo de resina, esculpindo o objeto desejado. O produto final da impressão é uma escultura microscópica de três dimensões, como visto na imagem ampliada.

A escultura apresentada é uma miniatura de um carro de Fórmula 1, com $100$ micrômetros de comprimento. Um micrômetro é a milionésima parte de um metro. Usando notação científica, qual é a representação do comprimento dessa miniatura, em metro?

Resolução:

$100\ \mu m = \fbox{$1,0 \cdot 10^{-4}\ m$}$

Obter a derivada de $f(x) = x^2 \log x$.

$\fbox{$f'(x) = x + 2x\log x$}$

Obter a derivada de $f(x) = 3\sqrt{x} + 5\sqrt[3]{x} + 10$.

$\fbox{$f'(x) = \dfrac{3}{2\sqrt{x}} + \dfrac{5}{3\sqrt[3]{x^2}}$}$

Obter a derivada de $f(x) = \dfrac{\log x}{\sqrt{x}}$.

$f'(x) = \dfrac{\dfrac{\sqrt{x}}{x} - \dfrac{\log x}{2\sqrt{x}}}{x} = \fbox{$\dfrac{2 - \log x}{2\sqrt{x^3}}$}$

Considerações sobre o comprimento da senoide.

O comprimento da senoide é dado por $S = 4\displaystyle\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1 + \cos^2 x}\ dx$.

Notemos que $0 \le \cos^2 x \le 1$, logo $4\displaystyle\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1}\ dx\ \le\ S\ \le\ 4\displaystyle\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1 + 1}\ dx\ \Rightarrow$

 

$\Rightarrow\ \fbox{$2\pi \le S \le 2\sqrt{2}\pi$}$.

Obter a derivada de $f(x) = \dfrac{\sin x}{x^2}$.

$\fbox{$f'(x) = \dfrac{x^2 \cos x - 2x \sin x}{x^4}$}$

Resolver em $\mathbb{R}$: $-5^{x-1} - 5^x + 5^{x+2} = 119$.

$\left(25 - 1 - \dfrac{1}{5}\right)5^x = 119\ \Rightarrow\ 5^x = 5$

$\fbox{$S = \{1\}$}$

Sejam $a > 0\ \wedge\ a \neq 1$ e $m \neq 0$, mostre que $\log_{a^m} b^n = \dfrac{n}{m} \log_a b$.

$\log_{a^m} b^n = n\log_{a^m} b = n \cdot \dfrac{\log_a b}{\log_a a^m} = \dfrac{n}{m} \log_a b$

Quod Erat Demonstrandum.

Seja $f(x) = 2|x|$, mostre que não existe $f'(0)$.

Seja $L_1 = \displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{2(x + h) - 2x}{h}$, $L_1 = 2$.

Seja $L_2 = \displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{-2(x + h) + 2x}{h}$, $L_2 = -2$.

Como $L_1 \neq L_2$, $\not{\exists}\ f'(0)$.

Quod Erat Demonstrandum.

Resolver em $\mathbb{R}$: $2^{3x - 2} \cdot 8^{x + 1} = 4^{x - 1}$.

$2^{6x + 1} = 2^{2x - 2}\ \Rightarrow\ x = -\dfrac{3}{4}$

 

$\fbox{$S = \left\{-\dfrac{3}{4}\right\}$}$

Mostre que $\displaystyle\int_1^{+\infty} \dfrac{x}{x^4 + 1}\ dx$ é convergente.

$x^4 < x^4 + 1\ \Rightarrow\ \dfrac{1}{x^4 + 1} < \dfrac{1}{x^4}\ \overset{x \ge 1}{\Rightarrow}\ 0 < \dfrac{x}{x^4 + 1} < \dfrac{1}{x^3}$

Como $\displaystyle\int_1^{+\infty} \dfrac{dx}{x^3}$ converge, pelo critério da comparação, $\displaystyle\int_1^{+\infty} \dfrac{x}{x^4 + 1}\ dx$ é convergente.

 

Quod Erat Demonstrandum.

Sendo $\log x = 4$ e $\log y^2 = 7$, qual o valor de $L = \log x^3 + 2\log x + 2\log y$?

$\log y = \dfrac{7}{2}$

 

$L = 12 + 8 + 7 = \fbox{$27$}$

Software: renderizar LaTeX.

Entre com o código LaTeX a renderizar:

Exemplo: entre com: "\displaystyle\int_0^{\pi / 2} \sin x\ dx = 1".

Código LaTeX renderizado:

Calculadora: comprimento de uma curva tridimensional por coordenadas paramétricas.

Entre com uma string contendo, separados por ponto e vírgula: primeiro: a expressão da função para $x$ da qual se deseja obter o valor do comprimento, deve ser uma função em $t$; segundo: a expressão da função para $y$ da qual se deseja obter o valor do comprimento, deve ser uma função em $t$; terceiro: a expressão da função para $z$ da qual se deseja obter o valor do comprimento, deve ser uma função em $t$; quarto: um número real como valor inferior para $t$; quinto: um número real como valor superior para $t$; sexto: a resolução que será utilizada no cálculo.

Exemplo: entre com: "cos(t); sen(t); t; 0; 2*pi; 100".

(pode travar o sistema)

Comprimento da curva tridimensional no intervalo (aproximado):

Calculadora: comprimento de uma curva por coordenadas paramétricas.

Entre com uma string contendo, separados por ponto e vírgula: primeiro: a expressão da função para $x$ da qual se deseja obter o valor do comprimento, deve ser uma função em $t$; segundo: a expressão da função para $y$ da qual se deseja obter o valor do comprimento, deve ser uma função em $t$; terceiro: um número real como valor inferior para $t$; quarto: um número real como valor superior para $t$; quinto: a resolução que será utilizada no cálculo.

Exemplo:

Input: "cos(t); sen(t); 0; 2*pi; 100". Output: aproximadamente "2pi".

(pode travar o sistema)

Comprimento da curva no intervalo (aproximado):

Comprimento de uma curva tridimensional dada por coordenadas paramétricas.

Sejam $f(t)$, $g(t)$ e $h(t)$ três funções diferenciáveis no intervalo $(a, b)$, chamando de $C$ o comprimento da curva $\begin{cases}x = f(t)\\ y = g(t)\\ z = h(t)\end{cases}$ quando $t$ varia de $a$ a $b$:

 

$C = \displaystyle\lim_{N \rightarrow 0} \displaystyle\sum \sqrt{\left[f(t_{i+1}) - f(t_i)\right]^2 + \left[g(t_{i+1}) - g(t_i)\right]^2 + \left[h(t_{i+1}) - h(t_i)\right]^2}$

Sejam $t_{k_1}$, $t_{k_2}$, e $t_{k_3}$ tais que que $t_i \le t_{k_1} \le t_{i+1}$, $t_i \le t_{k_2} \le t_{i+1}$ e $t_i \le t_{k_3} \le t_{i+1}$, pelo TVM (Teorema do Valor Médio):

$C = \displaystyle\lim_{N \rightarrow 0} \displaystyle\sum \sqrt{\left[f'(t_{k_1})\right]^2 + \left[g'(t_{k_2})\right]^2 + \left[h'(t_{k_3})\right]^2} (t_{i+1} - t_i)$

Logo, pela definição de integral:

$\fbox{$C = \displaystyle\int_a^b \sqrt{\left[f'(t)\right]^2 + \left[g'(t)\right]^2 + \left[h'(t)\right]^2}\ dt$}$

Comprimento de uma curva dada por coordenadas paramétricas.

Sejam $f(t)$ e $g(t)$ duas funções diferenciáveis no intervalo $(a, b)$, chamando de $C$ o comprimento da curva $\begin{cases}x = f(t)\\ y = g(t)\end{cases}$ quando $t$ varia de $a$ a $b$:

 

$C = \displaystyle\lim_{N \rightarrow 0} \displaystyle\sum \sqrt{\left[f(t_{i+1}) - f(t_i)\right]^2 + \left[g(t_{i+1}) - g(t_i)\right]^2}$

Sejam $t_{k_1}$ e $t_{k_2}$ tais que que $t_i \le t_{k_1} \le t_{i+1}$ e $t_i \le t_{k_2} \le t_{i+1}$, pelo TVM (Teorema do Valor Médio):

$C = \displaystyle\lim_{N \rightarrow 0} \displaystyle\sum \sqrt{\left[f'(t_{k_1})\right]^2 + \left[g'(t_{k_2})\right]^2} (t_{i+1} - t_i)$

Logo, pela definição de integral:

$\fbox{$C = \displaystyle\int_a^b \sqrt{\left[f'(t)\right]^2 + \left[g'(t)\right]^2}\ dt$}$

Exemplo: sejam $f(t) = \cos t$, $g(t) = \sin t$, $a = 0$ e $b = 2\pi$ (o ciclo trigonométrico):

$C = \displaystyle\int_0^{2\pi} \sqrt{\sin^2 t + \cos^2 t}\ dt = \left.t\right|_0^{2\pi} = 2\pi$.

Meme: não ter para quem motrar Matemática avançada.

 

Comprimento da espiral de Arquimedes.

$C = \displaystyle\int_0^{2\pi} \sqrt{(\cos \theta - \theta\sin \theta)^2 + (\sin \theta + \theta\cos \theta)^2}\ d\theta = \displaystyle\int_0^{2\pi} \sqrt{1 + \theta^2}\ d\theta$

 

Seja $\theta = \tan \varphi$, $d\theta = \sec^2 \varphi\ d\varphi$.

 

$C = \displaystyle\int_0^{\arctan 2\pi} \sec^3 \varphi\ d\varphi = \fbox{$\dfrac{2\pi\sqrt{4\pi^2 + 1} + \log\left(2\pi + \sqrt{4\pi^2 + 1}\right)}{2}$}$

Meme: eu sei Cálculo.

 

Calculadora: comprimento do gráfico de uma função em coordenadas polares.

Entre com uma string contendo, separados por ponto e vírgula: primeiro: a expressão da função da qual se deseja obter o comprimento, deve ser uma função em "teta"; segundo: um número real como valor inferior; terceiro: um número real como valor superior; quarto: a resolução que será utilizada no cálculo.

Exemplo:

Input: "1; 0; 2*pi; 100". Output: aproximadamente "2pi".

(pode travar o sistema)

Comprimento do gráfico da função no intervalo (aproximado):