 |
Vamos decompor $300$ em fatores primos.
$\begin{array}{r | l}300 & 2\\ 150 & 2\\ 75 & 3\\ 25 & 5\\ 5 & 5\\ 1 & \overline{2^2 \cdot 3 \cdot 5^2}\end{array}$
Após a decomposição em fatores primos, o número de divisores positivos será o produto dos expoentes somados com uma unidade.
$n\left[D_+ (300)\right] = 3 \cdot 2 \cdot 3 = \fbox{$18$}$
Observemos que
$\begin{array}{l c l c l}3^0 = 1 & & 3^1 = 3 & & 3^2 = 9\\ 3^3 = 27 & & 3^4 = 81 & & 3^5 = 243\end{array}$
O algarismo das unidades assume ciclicamente os valores de $1$, $3$, $9$ e $7$. Assim, como $1999 = 4 \cdot 499 + 3$, o algarismo das unidades de $3^{1999}$ é $\fbox{$7$}$.
Dados os números $N_1 = 2^a \cdot 3^b \cdot 5^c$ e $N_2 = 2^{a+1} \cdot 3^{b+1} \cdot 5^c$, determinar
$\begin{array}{l l}\text{a)} & m.m.c. (N_1, N_2)\text{;}\\ \text{b)} & m.d.c. (N_1, N_2)\text{;}\\ \text{c)} & N_1 \cdot N_2\text{;}\\ \text{d)} & m.m.c. (N_1, N_2) \cdot m.d.c. (N_1, N_2)\text{.}\end{array}$
Resolução:
a) $m.m.c. (N_1, N_2) = 2^{a+1} \cdot 3^{b+1} \cdot 5^c$
b) $m.d.c. (N_1, N_2) = 2^a \cdot 3^b$
c) $N_1 \cdot N_2 = 2^{2a+1} \cdot 3^{2b+1} \cdot 5^c$
d) $m.m.c. (N_1, N_2) \cdot m.d.c. (N_1, N_2) = 2^{2a+1} \cdot 3^{2b+1} \cdot 5^c = N_1 \cdot N_2$
Como termina em $25$, pode ser somente um quadrado perfeito de um número que termina em $5$; devemos verificar se as centenas formam um número que é produto de dois inteiros consecutivos.
Como as centenas formam um número ímpar, ele não pode ser um quadrado perfeito.
$\dfrac{2}{\sqrt{3} + 1 + \sqrt{2}} = \dfrac{2[(\sqrt{3} + 1) - \sqrt{2}]}{[(\sqrt{3} + 1) + \sqrt{2}][(\sqrt{3} + 1) - \sqrt{2}]} = \dfrac{2(\sqrt{3} + 1 - \sqrt{2})]}{2 + 2\sqrt{3}} =$
$= \dfrac{(\sqrt{3} + 1 - \sqrt{2})(1 - \sqrt{3})}{-2} = \fbox{$\dfrac{\sqrt{2} - \sqrt{6} + 2}{2}$}$
$\dfrac{15}{\sqrt[3]{49} - 2\sqrt[3]{7} + 4} = \dfrac{15(\sqrt[3]{7} + 2)}{(\sqrt[3]{49} - 2\sqrt[3]{7} + 4)(\sqrt[3]{7} + 2)} =$
$= \dfrac{15(\sqrt[3]{7} + 2)}{7 + 8} = \fbox{$\sqrt[3]{7} + 2$}$
Seja um inteiro positivo $n$ "terminado" em $5$, ou seja, $n = 10a + 5$, sendo $a$ o número de dezenas que compõe o número:
$n^2 = (10a + 5)^2 = 100a^2 + 100a + 25 = 100a(a + 1) + 25$.
Ou seja, para encontrar o quadrado de tal número, tal quadrado "terminará" em $25$ e, antes, será o produto de $a$ pelo seu consecutivo.
Exemplos:
$\begin{array}{l c r}15^2 = \underset{1 \cdot 2}{\underbrace{2}}25 & & 205^2 = \underset{20 \cdot 21}{\underbrace{420}}25\end{array}$
Um posto de combustível vende $10000$ litros de álcool por dia a R\$ $1,50$ cada litro. Seu proprietário percebeu que, para cada centavo de desconto que concedia por litro, eram vendidos $100$ litros a mais por dia. Por exemplo, no dia em que o preço do álcool foi R\$ $1,48$, foram vendidos $10200$ litros.
Considerando $x$ o valor, em centavos, do desconto dado no preço de cada litro, e $V$ o valor, em R\$, arrecadado por dia com a venda do álcool, qual a expressão que relaciona $V$ e $x$?
$V = \underset{\text{Quantidade}}{\underbrace{(10000 + 100x)}} \cdot \underset{\text{Valor unitário}}{\underbrace{(1,5 - 0,01x)}} = \fbox{$-x^2 + 50x + 15000$}$
$0,666\dots$ também pode ser escrito como $0,\overline{6}$.
Definamos $x = 0,\overline{6}$.
$10x = 6,\overline{6}$
$10x - x = 6,\overline{6} - 0,\overline{6}$
$9x = 6\ \therefore\ x = \dfrac{6}{9} = \fbox{$\dfrac{2}{3}$}$
Quantos subconjuntos de $3$ elementos podemos formar com os elementos de $C = \{2, 3, 6, 7, 9, 11, 16, 22, 56, 87, 243, 301\}$ com a característica "a soma de seus elementos é ímpar"?
Resolução:
Observemos que em $C$ há $5$ números pares e $7$ números ímpares.
Observemos também que, para que uma soma de $3$ parcelas seja ímpar, $2$ parcelas devem ser pares e $1$ ímpar, ou as $3$ parcelas devem ser ímpares.
Logo, o número de subconjuntos procurados é $\displaystyle{{5 \choose 2} \cdot 7 + {7 \choose 3}} = \fbox{$105$}$.
Visando chegar a uma contradição, vamos supor que $\sqrt{2}$ seja racional, ou seja, $\sqrt{2} = \dfrac{p}{q},\ p,q \in \mathbb{Q},\ q \neq 0,\ \dfrac{p}{q}\text{ fração irredutível}$.
$2 = \dfrac{p^2}{q^2}\ \Rightarrow\ p^2 = 2q^2$ (I)
Por (I), $p$ deve ser par, logo podemos escrever, para um $s$ inteiro, $p = 2s$.
$p = 2s\ \wedge\ \text{(I)}\ \Rightarrow\ 4s^2 = 2q^2\ \Rightarrow\ 2s^2 = q^2\ \Rightarrow\ q\text{ é par.}$ (II)
(II) é um absurdo, pois, por hipótese, $\dfrac{p}{q}$ é uma fração irredutível.
Logo, $\sqrt{2}$ é irracional.
Lembrando da identidade $a^3 - b^3 =(a -b)(a^2 + ab + b^2)$,
$\dfrac{2}{1 - \sqrt[3]{4}} = \dfrac{2(1 + \sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{16})}{(1 - \sqrt[3]{4})(1 + \sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{16})} = \dfrac{2 + 2\sqrt[3]{4} + 2\sqrt[3]{16}}{1 - 4} =$
$= \fbox{$-\dfrac{2 + 2\sqrt[3]{4} + 2\sqrt[3]{16}}{3}$}$.
